Loading presentation...

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Make your likes visible on Facebook?

Connect your Facebook account to Prezi and let your likes appear on your timeline.
You can change this under Settings & Account at any time.

No, thanks

Función lineal

No description
by

Margarita Villegas

on 31 October 2013

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of Función lineal

FUNCION LINEAL
Conceptos generales
Es la función f definida por:
y =
m
x +
b
donde m y b son constantes.
El dominio y el rango de esta función es el conjunto de todos los números reales.
Se representa generalmente de la forma ordinaria
y
x
(0,b)
m(+)
y
x
(0,b)
m(-)
Recta con pendiente negativa
Recta con pendiente positiva
Para dibujar la gráfica de una función lineal se elabora una tabla de valores, en la cual se le dan valores arbitrarios a x para obtener los valores de y.

Después de ubicar cada pareja en el plano cartesiano y marcar un punto, se unen éstos para así obtener su gráfica
.
Dos rectas pueden ser paralelas o perpendiculares entre sí.
Paralelas m1=m2
Perpendiculares m1.m2=-1
y=
m
x+
b
Ecuación
punto pendiente

Si y son las coordenadas de los dos puntos P1 y P2 de la recta, entonces la pendiente m se calcula así:
x
y
Ejercicios de aplicación de la ecuación punto pendiente
La dirección de una empresa debe mantener un registro constante de los costos de operación; de los ingresos resultantes de la venta o prestación servicios y, lo más importante, de las ganancias obtenidas.
Tres funciones ofrecen una medida de estas cantidades: la función de costos totales, la función de ingresos y la función de ganancias.
Otra aplicación importante en la administración es la Depreciación lineal
.
Para la producción de cualquier bien en una empresa intervienen dos tipos de costos que se conocen como costos fijos y costos variables.

Los costos fijos no dependen del nivel o cantidad de artículos producidos.
Ejemplos de éstos son: las rentas, los intereses sobre préstamos y los salarios de administración.

Los costos variables dependen del nivel de producción, es decir, de la cantidad de artículos producidos.
Ejemplo de estos son los materiales y la mano de obra empleada en la producción.

El modelo lineal para el costo total es:
Yc = C(x) = mx + b
Costos totales
Costos variables
Costos fijos
=
El costo variable de procesar un kilo de granos de café es de 50 ¢ y los costos fijos por día son de $300.

a.Halle la ecuación de costo lineal y dibuje su gráfica.
b.Determine el costo de procesar 1000 kilos de café en un día.

C(x) es el costo de procesar x kilos de granos de café por día, donde b= $300 y m= $0.5.
De acuerdo con el modelo lineal queda:

C(x)=0.5x+300

Ahora, si x = 0, entonces, Con las dos parejas (0, 300) y (200, 400)
C(0)=0.5(0)+300 se elabora la gráfica.
C(0)=300

Si x = 1.000 kilos, entonces,
C(1.000)=0.5 (1.000)+300
C(1.000)=500+300 C(1.000)=800

Por lo tanto, el costo de procesar 1.000 kg de café
al día es de $800.
El modelo lineal para la función de ingresos es:



R(x)= Precio por unidad
x = cantidad de unidades vendidas del producto
R(x) = Px
El modelo lineal para la función de ganancia es:



G(x)= Ganancia Total obtenida por la fabricación y venta de
x unidades del producto.
R(x)= Ingresos totales
C(x)= Costos totales
G(x) = Rx - C(X)
+
x = número de unidades producidas o vendidas
m = costo variable por unidad
b = costos fijos.
Ejemplo
Una empresa, fabricante de filtros para agua, tiene costos fijos por $20.000; costos de producción de $20 por unidad, y un precio de venta unitario de $30.

Determine las funciones de costos, ingresos y ganancia para dicha empresa.
Determine también la ganancia por la venta de 2.500 unidades.

Sea x el número de unidades producidas y vendidas. Entonces:

C(x)= 20x+20.000
R(x)= 30x
G(x)= R(x) – C (x)
= 30x – (20x+20.000)
= 30x – 20x – 20.000
= 10x – 20.000
Si x = 25.000, entonces,

G(2.500) = 10(2.500) – 20.000
G(2.500) = 25.000-20.000
G(2.500) = $5.000
Cuando una empresa compra equipo o maquinaria, reporta su valor como un activo en su hoja de balance.

En años subsecuentes, este valor debe disminuir debido al desgaste del equipo.

Esta reducción gradual del valor de un activo se denomina depreciación.

Un método común de calcular el monto de la depreciación es reducir el valor, cada año, en una cantidad constante, de forma tal que dicho valor se reduzca a un valor de desecho al final del tiempo de vida útil estimado del equipo. Esto se denomina depreciación lineal.


Una empresa compra maquinaria por $150.000. Se espera que el tiempo de vida útil de la maquinaria sea de 12 años, con un valor de desecho de cero.
Determine el monto de depreciación anual y una fórmula para el valor depreciado después de x años.

Solución:

Depreciación por año = (Precio de adquisición inicial – Valor de desecho)/(vida útil en años)
Depreciación por año = (150.000 – 0)/12 = 12.500 dólares

Valor después de x años = Valor inicial – ((Depreciación por año) (número de años))
Valor después de x años = (150.000) – (12.500) (x años)
Valor después de x años = 150.000 – 12.500 x
Para resolver una ecuación lineal:
ax + b = 0

Se pasa b al lado derecho, lo que da:
ax = -b

Dividiendo entre a, a los dos lados
de la igualdad se tiene:
x = -b/a

Al resolver ecuaciones, se dejan los términos que incluyen a la variable al lado izquierdo de la ecuación, y se pasan las constantes al segundo miembro.
Sistemas de ecuaciones lineales
Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. Por lo regular involucra una o más variables y el símbolo de igualdad, =.
Resolver un sistema de ecuaciones 2x2 es hallar el valor de las dos variables desconocidas en las dos ecuaciones.

Se resuelven por varios métodos:


Se elige la variable que va a eliminarse. Se debe buscar que ésta quede con el mismo coeficiente en las dos ecuaciones, pero con signo contrario.

Luego, se suman o restan verticalmente las dos ecuaciones, se despeja la variable que queda y se halla su valor.

Posteriormente, se reemplaza este valor en una de las ecuaciones anteriores para hallar la otra variable.


Se resuelve con el siguiente arreglo:

Sean las ecuaciones:
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que comparten variables
La solución de un sistema de ecuaciones son los valores que han de tomar las variables de modo que hagan ciertas todas las igualdades del sistema


Se selecciona una de las variables y se despeja en una de las ecuaciones.
La variable despejada se sustituye en la otra ecuación y resolvemos la ecuación de una sola variable que queda.
La variable resuelta se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones del sistema.
Gráfica
m

= pendiente o inclinación de la recta.
b
= intercepto o corte con el eje y del plano cartesiano.
La inclinación o pendiente depende del signo de

m
La ecuación de la linea recta en su forma ordinaria se construye conociendo la pendiente y la ordenada al origen
y
x
b
m
y=mx+b
La función lineal presenta una ecuación muy importante, denominada ecuación punto pendiente.
Esta ecuación se obtiene luego de conocer las coordenadas de dos puntos y de la línea.
La ecuación punto pendiente tiene la forma:
Aplicaciones
Las leyes de la oferta y la demanda también son fundamentales en cualquier análisis económico
Función de costos totales
Función de ingresos
Función de ganancia
Ejemplo
Depreciación lineal.
Tasa depreciación anual=(Valor inicial-valor de desecho)/tiempo de vida en años
Ejemplo
Ley de la demanda
Ley de la oferta
La cantidad x de cualquier artículo, que será adquirida por los consumidores, depende del precio en que el artículo esté disponible.

La ley más simple es una relación del tipo:
P = mx + b.

Donde:
P es el precio por unidad del artículo y m y b son constantes. La gráfica de una ley de demanda se llama curva de demanda.

El precio por unidad de un artículo aumenta, la demanda por el artículo disminuye, porque menos consumidores podrán adquirirlo; mientras que si el precio por unidad disminuye, la demanda se incrementará.

La pendiente de esta función es negativa y su gráfica se inclina hacia abajo y hacia la derecha.
La cantidad de un artículo determinado, que sus proveedores están dispuestos a ofrecer, depende del precio al cual pueden venderlo.

Una relación que especifique la cantidad de cualquier artículo que los fabricantes (o vendedores) puedan poner en el mercado a varios precios, se denomina ley de la oferta y su gráfica se le llama curva de oferta.

En general, los proveedores inundarán el mercado con una gran cantidad de artículos, si pueden colocarle un precio alto.



Un fabricante de televisores advierte que a un precio de $500 por televisor, las ventas ascienden a 2.000 televisores al mes.
Sin embargo, a $450 por televisor, las ventas son de 2.400 unidades.
Determine la ecuación de demanda, suponiendo que es lineal, y realice su gráfica.

Solución:
Formando las parejas cantidad (x) y precio (p), se tiene:(2.000, 500) y (2.400, 450)

m = (450 – 500)/(2.400-2.000) = -0.125

Utilizando la ecuación punto – pendiente:

P – P1 = m (X-X1) queda
P – 500 = 0.125 (X – 2.000)P = -0.125X + 250 + 500
P = -0.125X + 750
Si x = 0, entonces, P = 750
Si x = 6,000, entonces, P = 0
Ejemplo



A un precio de $10 por unidad, una compañía proveería 1.200 unidades de su producto, y a $15 por unidad, 4.200 unidades.
Determine la relación de la oferta, suponiendo que sea lineal.

Solución:
(1.200, 10) y (4.200, 15)
m = (15-10)/(4.200-1.200)=1/600

P – P1 = m (x –x1)
P – 10 - (1/600)(x – 1.200)
P = 1/600x – 2 + 10
P = (1/600)(x + 8)
Si x = 0, entonces, P = 8
Si x = 6.000, entonces, P = 18
Ejemplo
Ecuaciones lineales
Una ecuación polinomial de grado 1, se denomina ecuación lineal.
La forma canónica de una ecuación lineal en la variable x es:

ax + b = 0 (a = 0)

Donde a y b son constantes
Cuando el sistema tiene coeficientes fraccionarios...
Método de reducción o eliminación
Método de Determinantes
Método de sustitución
Método de igualación
De ambas ecuaciones se despeja la misma variable y, luego, se igualan las ecuaciones resultantes.

Hallada una de las variables, se sustituye ese valor en alguna de las ecuaciones para hallar la otra variable.
Solución de un sistema de ecuaciones
lineales 2 x 2
Ejemplo
Su nombre se debe a que su representación en un sistema de coordenadas de dos dimensiones, es una línea recta.
Ecuación punto pendiente
y=
m
x+
b
x
y
Full transcript