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Modes

光・レーザーでよく利用されるモードという言葉を中心に、光伝搬と共振器について解説する。
by

Yuji Oki

on 27 November 2016

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Transcript of Modes

Modes
なぜモードを使うのか?
縦モード
横モード
導波モード
で表される
伝わり方で示される光波の要素
フーリエ変換
任意の時間波形は複数のSin波の重ねあわせで示す事が可能である。
任意の空間の伝搬光は複数のモードの重ね合わせで表すことができる。
これと同様に
光の(空間)伝搬は非常に複雑
殆どの導波状態はモードの重ね合わせで表現できる。
モードの伝搬は単純な計算で求めることが可能である。
ホイヘンスの原理
フレネル(回折)領域と
フラウンホーファー(回折)領域
フレネル・キルヒホッフ回折積分
フレネル回折積分
光の回折が無視でき、平面波的な伝搬で近似できる領域
常に積分計算するわけにはいかない
あらゆるケースを単純化した導波形式の重ね合わせで表すことができれば良い
例:フーリエ変換
モードという考え方の導入
モードはE(r), k(r), ωで特徴付けることができる
Transverse
Longitudinal

伝搬にともなう断面方向の電界の状態がある規則に則る点光源の組みあわせで形成される要素的光波
1.空間伝搬において推測が容易な光波に分けて考える
2. もっとも回折が小さい伝搬モードなど、応用的に有用である。
3. レーザー共振器はモードを選択する機構である。
伝搬の様子
平面波(633nm)
2mmのスリット
1mm
2cm
20cm
1m
6m
10m
15m
30m
フレネル領域
フラウンホーファー領域
光は球面波の様に広がる
光は平面波の様
に伝わる
フラウンホーファー回折における近似

これはフーリエ変換に相当する。
0.2mm slitからの633nm光。
20m伝搬後
コンフォーカル長 は1.5m
コンフォーカル長・コンフォーカルパラメーター
回折スリットでは、開口部D,波長λに対し、
ガウスビームなどのコンフォーカルパラメーターは
ビーム直径が√2倍になる位置。(ビームウエスト半径がω)
「開口面積を波長で割ると求められる」
Cornu spirals : コルニュのらせん
クロソイド曲線ともよばれる。
フレネル積分関数C,Sでプロットでき、平面波をスリットで貸したときの回折光を図示するのにも利用できる。
宿題:打ち込んで見るべし
ガウシアンモード
Longitudinal
Transverse
キャビティー内の定在波条件
モード競合
モードロック
位相関係を保って多数の縦モードを重ね合わせると
非常に短いパルスを作製する事ができる。
パルスレーザーがその出力の中でスパイク上にランダムに変化する。低品質レーザーで見られる現象。
Mathematicaで下記の様にすれば再現できる。
時間 [ps]
パルス幅 3ns
ファブリーペロー共振器を利用した
光導波路
光ファイバー
Mathematicaの使い方:超即席版
使い方:①コマンド入力➁評価(Shift+Enter)➂出力が得られる
注意:大文字小文字の区別あり。青は未定義。黒は既知
入力セル
出力セル
テスト:①a x^2-E x-a+Eをタイプして、評価([Shift+Enter])➁出力セルをクリックすると、「サジェスチョンバー」(SB)がでる。
➂SBの「因数分解」をクリック。どういうコマンドが発行され、結果がどうなったかを見よう。
➃新しい出力に対して「展開」をクリック。
⑤同様に順々に「簡約」、「xを積分」、「その他」の「零点」、「n番目の解」(最初の回の横の▼)で2を入力、「変数に規則を適用する」、最期に「プロット」
⑥先頭に戻り、最初の出力を編集して-c-b x+ a x^2に変えて「
Eはネイピア数
a,xは未定義(青)
テスト2:パレット>数学授業アシスタントを使い、①Cos[ω t - k x]^2をタイプして、評価する
➂SBの「xを微分」。「指数形式に変換」「xを積分」「指数関数を三各関数に」「簡約」
➃出力に /. t->tt を追加して評価、plotしてみる。
⑤➂出力に /. {ω-> 3*^8 k, t -> t - t0, x -> x - x0}で3Dplot
  Plot3d[.........,{k,2π/8*^-7,2π/3*^-7},{t,0,10^-15},{x,0,5*^-7}, {t0,0,10^-15},{x0,0,5*^-7}]
宿題:この結果は具体的に何を表しているかを説明せよ。
宿題:この結果は具体的に何を表しているかを説明せよ。
以下はMathematicaでのガウスモードの
表式である。
宿題
TEM00(l=0, m=0)の、z=t=0の3次元プロットが、上記の3Dプロット左端になることを示せ。必要な値は適当なものを与えよ。

まずは「ヘルプ」>「デモンストレーション」で「waveguide」を検索し、Electromagnetic Waves in a Parallel-Plate Waveguide をみてみよう
Electromagnetic Waves in a Cylindrical Waveguide を参照
 
N=0,1,2について得られるVに対して、対応するbを求めることでβを得ることができる。
V=1.9πの時、4つの導波モードを持つ。
宿題:
前回の宿題を参考に右のグラフ(V-bプロット)を作製せよ。
 可能であれば、N, aを可変パラメーターと
 して、Manipulateでインタラクティブグラフ
 としてN=0~10でプロットしてみよう。
ヒント:
宿題2
まず、注意点として、Nは使えないことに注意。[esc]dsN[esc]や、NNといった利用可能なシンボルにする必要がある。

ここでは、NNを使う事とする。まず、NNとaを調整可能なグラフをダミーで作る。

NN x + a を評価し、サジェスチョンバーからプロットを選ぶと、雛形ができる。ここで、aの可動範囲は、0から1に、NNの可動範囲は0から10で刻みを1とする。

別のセルに、NN, aを使って特性方程式を打ち込む。この式をVについて解く(サジェスチョンバー)、変数に規則を適用し、 /. b->x を後ろに付けて評価することで、 bをxで置き換える。
得られた、xの式を、先ほど作製したManipulateの雛形に入れ込む。
宿題3 (可能なら)
導波路の実効屈折率が求まると、これを元に電界のプロファイルを計算できる。例えば、以下はz方向に伝搬し、x方向に閉じ込められたTEモードのy方向電界強度の分布である。
この式を導出せよ
X-Yを入れ替えるには、
Plot[f[x],.....]を
ParametricPlot[{f[x],x},....]
に変更する。
10本のグラフは、
ParametricPlot[Table[{fi[x],x},{i,0,NN}],,....]
とすれば、描画できる。
屈折率1.5で厚さ5ミクロンのコア層が屈折率1.495のクラッド層に挟まれている光導波路を考える。波長分散は考えないものとする。
波長500nmに対する規格化周波数はいくつか
V-bプロットから求まる導波モードの数はいくつか?
求めたそれぞれのbに対する実効屈折率を求めよ。
片方のクラッド層が空気となった場合、これまでの計算はどうなるか?

TE mode
TM mode
損失
Graded Index Fiber
ヒント:
LP01モードはHE11モードの結合で構成されるため、l=1, n=1の分散方程式 を解く。
全て代入すると、
=0
となるので、左辺f(neff)のグラフを書いて交点があるかをみる。neffの取り得る範囲に注意。
左辺がf[neff]とすると、FindRoot[f[neff]==0, {neff,1.428}] のような感じで、数値計算する。
ヒント:興の計算では
 7.64ns/km
6/6 間違っていた!5.45nsぐらい?
HEモード
EHモード
https://prezi.com/wcfq29lwvt3s/
ここで、pは伝達関数
g(x,y)を光源分布関数
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