Loading presentation...

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Make your likes visible on Facebook?

Connect your Facebook account to Prezi and let your likes appear on your timeline.
You can change this under Settings & Account at any time.

No, thanks

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELIPS

No description
by

Satria Satria

on 29 September 2014

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of PERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELIPS

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELIPS
C. Rumusan masalah

• Mendefinisikan pengertian garis singgung elips.
• Menggambar persamaan garis singgung elips.
• Cara menggambar garis singgung elips.
• Menyebutkan unsur-unsur yang ada didalam garis singgung elips.


NAMA KELOMPOK
Fara pratiwi
M algifahri
Raja mhelissa shella
Rica suci ningsih
Satria
Widya presilia
Bab 1
Pendahuluan

A. Latar Belakang Masalah
Geogebra merupakan salah satu dari sekian banyak DGS (Dynamic Geometry Software). Kita dapat mengkonstruksi bangun-bangun geometri dengan titik, vektor, segmen, garis, poligon, kerucut, dan fungsi. Elemen-elemen dapat dimasukkan dan dimodifikasi secara langsung pada layar, atau melalui input bar yang ada. Geogebra memiliki kemampuan menggunakan variabel untuk nomor, vektor dan titik, menemukan turunan dan integral dari fungsi dan memiliki perintah seperti akar atau ekstrem. Guru dapat menggunakan Geogebra untuk membuat dugaan dan membuktikan teorema geometri.

B. Tujuan pembelajaran

• Siswa dapat menyebutkan unsur-unsur persamaan garis singgung elipse.
• Siswa dapat menentukan persamaan elips jika diketahui unsur-unsurnya.
• Siswa dapat melukiskan garis singgung elips dengan benar.
• Siswa dapat menentukan panjang garis singgung elips dengan benar.
• Siswa dapat menyelesaikan soal-soal persamaan elips.

Bab 2
Pembahasan

A. Definisi elips
Elips adalah tempat keduduka titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap. Kedua titik tertentu itu disebut titik focus.
Dari gambar diatas, titik F1 dan F2 dan adalah titik focus elips dan A, B, C, D adalah titik puncak elips. Elips mempunyai dua sumbu simetri, yaitu :
1. Garis yang memuat fokus dinamakan sumbu mayor. Pada gambar, sumbu mayor elips adalah AB.
2. Garis yang tegak lurus sumbu mayor di titik tengah disebut sumbu minor. Pada gambar , sumbu minor elips adalah CD.
Sedangkan titik potong kedua sumbu elips itu disebut pusat elips.
Elips juga didefinisikan sebagaitempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis yang diketahui besarnya tetap. ( e < 1 ). Titik itu disebut fokus dan garis tertentu itu disebut direktriks.
Gambar diatas menunjukkan sebuah elips dengan :
- Pusat elips O(0,0) ;
- Sumbu simetri adalah sumbu x dan sumbu y ;
- Fokus F1 (-c,0) dan F2 (c,0) ;
- Sumbu mayor pada sumbu x, puncak A(-a,0) dan B(a,0) , panjang sumbu mayor = 2a
- Sumbu minor pada sumbu y, puncak C(0,b) dan D(0,-b) , panjang sumbu minor = 2b
- Eksentrisitas :
- Direktriks : atau
Panjang lactus rectum

A. Persamaan elips yang berpusat di O(0,0)
Selain diketahui pusat elipsnya, persamaan elips juga ditentukan dari titik fokusnya.
1. Untuk elips yang berfokus pada sumbu x, persamaan elipsnya adalah




Dengan : - Pusat (0,0)
- Fokus F1 (-c,0) dan F2 (c,0)

2. Untuk elips yang berfokus pada sumbu y, persamaan elipsnya adalah





Dengan : - Pusat (0,0)
- Fokus F1 (0,-c) dan F2 (0,c)
Catatan :

B. Persamaan elips yang berpusat di P(α,β)
1. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu x, persamaan elipsnya adalah





Dengan :
- Pusat (α,β)
- Titik fokus di F1 (α-c, β) & F2(α+c, β)
- Titik puncak (α-a, β) & (α+a, β)
- Panjang sumbu mayor=2a
- Panjang sumbu minor=2b
- Persamaan direktriks

2. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu y, persamaan elipsnya adalah





Dengan :
- Pusat (α,β)
- Titik fokus di F1 (α,β-c) & F2(α,β+c)
- Titik puncak (α,β-a) & (α,β+a)
- Panjang sumbu mayor=2a
- Panjang sumbu minor=2b
- Persamaan direktriks

Sifat utama garis singgung
Garis singgung disuatu titik pada ellips membagi dua sama besar sudut antara garis penghubung titik itu dengan titik api yang satu dan perpanjangan garis penghubung titik api tersebut dengan titik api

XI MIA 2
C. Garis Singgung dengan
Bergradien m
Jika garis h = y = mx + n menyinggung elips x^2/a^2 +y^2/b^2 = 1, = 0, maka besarnya diskriminan D = 0 dari persamaan kuadrat yang dihasilkan dari dua persamaan diatas adalah:
x^2/a^2 +y^2/b^2 = 1 x^2/a^2 +〖(m+n)〗^2/b^2 = 1
= 1
=
= 0
(b^2+a^2 m^2 ) x^2+2a^2 mnx+a^2 (n^2-b^2)= 0
a b c
D = b^2 - 4ac
= - 4
=
=
D = -4 a^2 b^2 (n^2-b^2-a^2 m^2)
Sehingga dapat dicari persamaan garis singgung pada elips:
-4 a^2 b^2 (n^2-b^2-a^2 m^2)= 0
a^2 b^2 (n^2-b^2-a^2 m^2) = 0
n^2=b^2-a^2 m^2
n = √(b^2-a^2 m^2 )
Jadi, persamaan garis singgung pada elips x^2/a^2 +y^2/b^2 = 1 dengan gradient m didefinisikan dengan persamaan:
y =

B. Cara menggambar elips
C. Unsur-unsur yang terdapat di persamaan garis singgung elips
Titik pusat
Titik pusat adalah titik yang merupakan perpotongan antara dua sumbu pada elips.
Focus
Focus merupakan koordinat titik yang terletak pada sumbu terpanjang elips yang jaraknya sama dengan titik pusat.
Sumbu mayor
Sumbu mayor merupakan sumbu yang dibentuk oleh dua titik yang jaraknya paling jauh pada elips.
Sumbu minor
Sumbu minor merupakan sumbu yang dibentuk oleh dua titik pada elips yang jaraknya paling dekat.
Latus Rectum
Latus rectum adalah ruas garis yang melalui focus elips dan tegak lurus terhadap sumbu mayor, serta terletak didalam elips.
LR = L_1 L_2= 〖2b〗^2/a

Eksentrisitas
Eksentrisitas adalah perbandingan antara jarak titik focus terhadap titik pusat elips dengan jarak antara pusat terhadap sumbu mayor.
e= c/a dengan 0<e<1
Bab 3
Contoh soal

1. Tentukan persamaan elips yang berpusat di O(0,0), fokus (-4,0) dan (4,0) dengan sumbu mayor 10 satuan.
Jawab :
Fokus di F1 (-4,0) dan F2 (4,0) maka c = 4 ( fokus pada sumbu x )
Panjang sumbu mayor = 10, maka 2a = 10. Sehingga a = 5

Persamaan elipsnya :

Jadi persamaan elipsnya adalah

2. Tentukan persamaan elips yang berpusat di O (0,0) jika diketahui titik puncaknya (9,0) dan (-9,0) serta fokusnya (4,0) dan (-4,0)

3. Sebuah elips mempunyai persamaan x^2/25+y^2/16= 1. Tentukanlah
a. Koordinat pusat, focus, dan puncak dari elips
b. Panjang sumbu mayor dan sumbu minor
Jawab:
Gunakan x^2/a^2 +y^2/b^2 = 1

x^2/25+y^2/16 = 1

A = 5, b = 4 dan c = √(a^2- b^2 ) = √(5^2- 4^2 )
= √9 = 3
Koordinat titik pusat di O(0,0)
Koordinat focus di F1(-3,0) dan F2(3,0)
Koordinat titik puncak di A(-5,0) dan B(5,0)
Titik potong dengan sumbu y di C(0,-4) dan D (0,4)
b. Panjang sumbu mayor 2a = 2 . 5 = 10
Panjang sumbu minor 2b = 2 . 4 = 8

4. Diketahui elips dengan persamaan + = 1, tentukan :
a. Koordinat titik pusat, koordinat titik puncak, koordinat titik ujung sumbu minor dan koordinat focus.
b. Persamaan sumbu utama, persamaan sumbu sekawan, panjang sumbu mayor dan panjang sumbu minor.
c. Nilai eksentrisitas dan persamaan direkstriks.
d. Panjang latus rectum
Jawab:
+ = 1, merupakan elips horizontal dengan a2 = => a = , dan b2 = 4 => b = 2, dari hubungan c2=a2-b2, didapat c2= - 4= => c =
a. Koordinat titik pusat di M(4,3)
Koordinat titik puncak A1 (p-a,q) = (4- , 3) = ( 1 , 3)
A2 (p+a,q) = (4+ , 3) = (6 , 3)
Koordinat titik ujung sumbu minor B1 (p, q-b) = (4, 3-2) = (4,1)
B2 (p, q+b) = (4,3+2) = (4,5)
Koordinat focus F1 (p-c,q) = (4- ,3) = (2 , 3)
F2 (p+c,q) = (4+ ,3) = (5 , 3)
b. Persamaan sumbu utama adalah y=3 dan persamaan sumbu sekawan adalah x = 4
Panjang sumbu mayor = 2a = 2 ( ) = 5 dan
panjang sumbu minor = 2b= 2(2) = 4
b. Nilai eksentrisitas e = = = = 0,6
c. Persamaan direktriks x = p - = 4- = -
g2 x = p + = 4+ = 8
d. Panjang latus rectum = = =


5. Persamaan garis singgung pada elips x^2/4^2 +y^2/〖16〗^2 = 1, dengan gradient m = 3. Tentukan persamaan garis singgung tersebut!
Jawab:
x^2/4^2 +y^2/〖16〗^2 = 1, diperoleh a2= 4 ⟶ a = 2
b2 = 16 ⟶ b = 4
Persamaan garis singgunngnya adalah:
y =
= 3x
= 3x
= 3x
= 3x
Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = 3x ±√(36+16)

6. Tentukan persamaan garis singgung pada elips x2+2y2-16 = 0, dititik P(2√2,2) ?
Jawab:
x2+2y2-16 = 0 ⟶ x2 + 2y2 = 16
= 1
dititik P(2√2,2) ⟶ = 1⟶
ini artinya P(2 ,2) terletak pada elips = 1, jadi persamaan garis singgungnya:
(xx_1)/a^2 +(yy_1)/b^2 =1 〖(2√2)〗^2/16+〖(2)〗^2/8= 1
2√2 x + 4y = 1 6 √2, x + 2y = 8
2y = 8 - √2
y = 4 - 1/2 √2,

7. Tentukan persamaan garis singgung pada elips melalui titik p(2,7), tentukan titik singgungnya……..?
Jawab :
⟺ (x.2)/100+(y.7)/25=1
y =
⟺ = 1
x2 – 2x - 48 = 0
( x-8) (x+6) = 0
x = 8 dan x = -6
untuk maka
untuk maka
titik singgungnya adalah dan
Persamaan garis singgung melalui titik dan titik adalah


7. Tentukanlah titik pusat, jari-jari pendek dan panjang dari persamaan elips 4x2 + 9y2 +16x - 18y - 11 = 0
Penyelesaian :
4x2+9y2+16x-18y-11=0
4x2+16x+9y2-18y-11=0
4(x2+4x)+9(y2-2y)-11=0
4(x2+4x+4)+9(y2-2y+1)=11+16+9
4(x+2)2+9(y-1)2=36




Pusat elips (-2,1)
Jari-jari panjang a2 = 9, maka a = √9 = 3
Jari-jari pendek b2 = 4, maka b = √4 = 2

9. Salah satu kordinat fokus elips 〖9x〗^2 + 〖25y〗^2 +18x – 100y = 116 adalah ....
Penyelesaian :
9(x^2 + 2x + 1) + 25(y^2 – 4y + 4) = 116 + 9 + 100
〖(x+1)〗^2/25 + 〖(y-2)〗^2/9 = 1
25 = 9 + c^2
C = 4
Koordinat focus (-1 + 4,2) dan (-1 – 4,2) = (3,2) dan (-5,2)


Salah satu persamaan garis singgung pada elips x^2 + 〖4y〗^2 -4x-8y- 92 = 0 yang bersudut 135° dengan sumbu X positif adalah ....
Penyelesaian :
〖(x^2- 4x + 4)〗^2 + 4(y^2- 2y + 1) = 92 + 4 + 4
〖(x-2)〗^2 + 4〖(4y-1)〗^2 = 100
〖(x-2)〗^2/100 + 〖(y-1)〗^2/25 = 1
m = tan 135° = -1
Persamaan garis singgung dengan m = -1 adalah
y-1 = -1 (x-2) ±√(100.1+25)
y-1 = -x + 2 ± 5 √5
y = -x + 3 + 5 √5 atau y =-x + 3 - 5 √5

Bab 4
Penutup

MATEMATIKA MINAT
Full transcript