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Distribución Normal

Distribución Normal, Estándar, y aplicaciones
by

Antonio Avendaño

on 2 April 2013

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Transcript of Distribución Normal

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Una de las herramientas de mayor uso en las organizaciones es la utilización de la curva normal para describir situaciones donde podemos recopilar datos. Esto nos permite tomar decisiones que vayan a la par con las metas y objetivos de la organización. La distribución normal fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) realizó estudios más a fondo donde formula la ecuación de la curva conocida comúnmente, como la “Campana de Gauss".  Aparece de manera natural:
Errores de medida.
Distancia de frenado.
Altura, peso, propensión al crimen.. Está caracterizada por dos parámetros: La media, μ, y la desviación típica, σ.

Características:
Puede tomar cualquier valor (- inf, + inf)
Hay más probabilidad para los valores cercanos a la media m
Conforme nos separamos de m , la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simétrica).
Conforme nos separamos de m , la probabilidad va decreciendo dependiendo la desviación típica s. Su función de densidad es: La Distribución Normal Estándar

Z se la denomina variable tipificada de X, y a la curva de su función de densidad se le conoce como la curva normal estándar.
Es una distribución normal con promedio 0 y una desviación estándar de 1.
Todas las variables normalmente distribuidas se pueden transformar a la distribución normal estándar utilizando la fórmula para calcular el valor Z correspondiente. Tipificación

Dada una variable de media μ y desviación típica σ, se denomina valor tipificado,z, de una observación x, a la distancia (con signo) con respecto a la media, medido en desviaciones típicas, es decir En el caso de variable X normal, la interpretación es clara: Asigna a todo valor de N(μ, σ), un valor de N(0,1) que deja exáctamente la misma probabilidad por debajo.

Nos permite así comparar entre dos valores de dos distribuciones normales diferentes, para saber cuál de los dos es más extremo. Características de la Distribución Norma Estándar

No depende de ningún parámetro.
Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación estándar es 1.
La curva  f(x)  es simétrica respecto del eje de Y
Tiene un máximo en el eje de Y.
Tiene dos puntos de inflexión en z=1 y z=-1 Ejemplos y ejercicios

1.- Supongamos que sabemos que el peso de los/as estudiantes universitarios/as sigue una distribución aproximadamente normal, con una media de 140 libras y una desviación estándar de 20 libras.

¿Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso menor o igual a 150 libras? Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
Gráficamente si decimos que a=150 libras, el área de la curva que nos interesa es la siguiente: Paso 2 - Determinar el valor Z: Paso3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Buscamos en la Tabla el valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.691 Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada.
En este ejemplo no es necesario realizar ningún computo adicional ya que el área es la misma. Ejemplo 2
Si deseamos calcular la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso mayor o igual a 150 libras Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
 
Gráficamente si decimos que a=150 libras, el área de la curva que nos interesa es la siguiente: Paso 2 - Determinar el valor Z: Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
 Buscamos en la Tabla el valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.6915. Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada.
En este ejemplo el área de 0.6915 no representa el área que nos interesa sino la contraria. En este caso debemos restarle 1 a la probabilidad encontrada.
 1 - 0.6915 = 0.3085 Ejemplo 3
Si deseamos la probabilidad de que una persona, elegida al azar, tenga un peso entre 115 y 150 libras. Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
 
Gráficamente si decimos que a=115 libras y b=150 libras, el área de la curva que nos interesa es la siguiente Paso 2 - Determinar el valor Z

Cuando X=115

Cuando X=150 Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
 
Buscamos en la Tabla el valor Z=-1.25 y obtenemos el área de 0.8944.
 Buscamos en la Tabla el valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.6915 Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada.
 
El área de 0.8944 se le resta la diferencia de 1-.6915.
 
0.8944 – (1-.6915) = .5859 Ejemplo 5
Determine la probabilidad de que una persona tenga un peso entre 150 libras y 160 libras. Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.
 
Gráficamente si decimos que a=150 libras y b= 160 libras, el área de la curva que nos interesa es la siguiente: Paso 2 - Determinar el valor Z
 
Como vimos en el ejemplo 1, el valor Z cuando X=150 es 0.50.
Para X=160 el valor Z será: Paso 3 - Buscar en la tabla de probabilidades.
Buscamos en la Tabla el valor Z=0.50 y obtenemos el área de 0.6915.
Cuando Z = 1.0 el área es de 0.8413. Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrar la probabilidad deseada.
 
En este ejemplo se resta el área mayor menos el área menor como se interpreto en el paso 1.
 
0.8413 - .6915 = 0.1498 ¿Por qué es importante la distribución normal?

Las propiedades que tiene la distribución normal son interesantes, pero todavía no hemos hablado de por qué es una distribución especialmente importante.

La razón es que aunque una v.a. no posea distribución normal, ciertos estadísticos/estimadores calculados sobre muestras elegidas al azar sí que poseen una distribución normal.

Es decir, tengan las distribución que tengan nuestros datos, los ‘objetos’ que resumen la información de una muestra, posiblemente tengan distribución normal (o asociada). http://www.bioestadistica.uma.es/baron/apuntes/ PRESENTACIÓN TOMADA DE CLASES DE PROFESOR:

Francisco Javier Barón Lopez
Universidad de Malaga
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