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MATRICES ESTOCÁSTICAS

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on 27 November 2013

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Universidad Santo Tomas
MATRICES ESTOCÁSTICAS
Las matrices estocásticas corresponden a un tipo especial de matrices definidas positivas y se usan con
frecuencia en el estudio de fenómenos aleatorios, en Teoria de la Probabilidad y Estadística.
Definición 1
Una matriz A = [aij ] de tamaño n x n se dice que es estocástica por filas (columnas)
si todos sus elementos son números reales no negativos y la suma de los elementos de cada una de sus
filas (columnas) es igual a 1.Es decir,

0 <= aij <= 1 i; j = 1,2,...,n
TEOREMA 1
Si A y B son matrices estocásticas (doblemente estocásticas) se verifica:
1. AB es doblemente estocástica.
2. Para todo k E N, A^k es doblemente estocástica.
3. Cuando A es doblemente estocástica, entonces A^t también lo es.
Definición 2
Matriz regular
Una matriz estocástica A se dice regular si todas las componentes de al menos una de sus potencias A^k (k entero positivo) son estrictamente positivas.
Catalina Plata
Mónica Gutierrez
Carlos Rincón
Mario Garcia

y además
Si A es estocástica por filas la sumatoria desde j=1 hasta n de los aij va a ser igual a uno (1). Lo mismo para A si es estocástica por columnas.
Se dice que A es doblemente estocástica cuando es estocástica tanto por filas como por columnas.
Ejemplo
Teorema 2
Si A es una matriz estocástica por filas (columnas) entonces l\ = 1 es uno de sus valores propios.
Definición 3
Cadena de Markov
Una cadena de Markov es una sucesión de ensayos similares u observaciones en la cual cada ensayo tiene el mismo número finito de resultados posibles y en donde la probabilidad de cada resultado para un ensayo dado depende solo del resultado del ensayo inmediatamente precedente y no de cualquier resultado previo.
Definición 4
Matriz y probabilidad de transición
A cada cadena de Markov se le puede asignar una única matriz de transición P, cuyos elementos son las probabilidades Pij. Esta matriz es cuadrada y su dimensión depende del número posible de estados, la matriz P resulta ser estocástica. La probabilidad de transición Pij(i,j=1,2,...n), como la probabilidad de que el sistema pase del
estado j al estado i en la siguiente observación.
Definición 5
Vector de probabilidad
Un vector de probabilidad es un vector columna, con entradas no negativas, en el que la suma de sus elementos es igual a la unidad. Se dice que los vectores de probabilidad X(n) para n = 0; 1; ::: son los vectores de estado de un proceso de Markov, si la componente de orden i,p(n)
i de X(n), es la probabilidad de que el sistema esté en el estado i cuando se hace la observación n.
Teorema 3
Si p es la matriz de transición regular de un proceso de Markov y X^(n) es el vector columna de la observación n, se tendrá que:
1. Si P es estocástica por columnas entonces PX^(n-1)
2. Si P es estocástica por filas entonces P^t X^(n-1)
Definición 6
Un proceso de Markov es regular si su matriz de transición es una matriz estocástica regular.
Teorema 4
Si P es una matriz de transición regular de tamaño n x n, entonces cuando n tiende a infinito, P^n tiende a una matriz R de tamaño n x n, de la forma R = [v v......v]
donde v es un vector de probabilidad de tamaño n x 1, con todos sus s elementos mayores que cero.
Teorema 5
Si P es una matriz de transición regular de tamaño n x n y R y v son como el Teorema 4, entonces:
1. Para cualquier vector X^(0) de probabilidad inicial, P^nX^(0) tiende a v cuando aumenta n, esto es,

2. El vector estacionario v es el único vector de probabilidad que satisface la ecuación Pv = v,o, (P-I)v = 0
Luego, v es un vector propio de P asociado al valor propio l\ = 1
FIN
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