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DESARROLLO DE FUNCIONES EN SERIE DE POTENCIAS

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carlos eduardo mejia trejo

on 29 November 2013

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DESARROLLO DE FUNCIONES EN SERIE DE POTENCIAS
SERIE DE TAYLOR
¿QUE ES?
La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.
¿COMO FUNCIONA?
La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras mas operaciones tenga la serie mas exacto será el resultado que se esta buscando. Dicha ecuación es la siguiente:
o expresado de otra forma
INTRODUCCION
FUNCION: Es la razón de 2 variables una dependiente y otra independiente, para cada valor que se le asigne a la variable independiente “x” siempre tendrá un valor la variable dependiente f(x).
SERIE DE POTENCIAS: Es una serie en donde los términos son monomios de potencias enteras, positivas y ascendentes de una variable “x”.
(1) a0 +a1x+ a2x2 +a3x3+….+anxn
En donde los coeficientes a0, a1, a2, a3, an. Son independientes de “x”.
¿Qué es el desarrollo de funciones en serie de potencias?
Es representar una función como serie de potencias.
Si una función se representa por una serie de potencias la forma de los coeficientes se obtendría suponiendo un valor a “x”.
En la serie (1) puede derivarse término a término, y que admite derivadas sucesivas
.

f´(x)= a1+ 2a2x+3a3x2+…..+ nanxn-1
f´´(x)= 2a2+ 6a3x+……+n(n-1) anxn-2
f´´´(x)= 6ª3 +……+ n(n-1)(n-2) anxn-3

Haciendo x=0, se obtiene:
f´(0)= a1 , f´´(0)= 2 ! a2 ,f´´´(0)= 3 ! a3 ,…,f n (0)= n ! an
Despejando de (3) los valores de a1, a2,….., an y sustituyendo en (1) resulta:
(M) f(x)= f (0) + f’(0) x/ 1! + f’’(0) x2/ 2! + f’’’(0) x3/ 3! +……..+ f(n)(0) xn/ n!

Esta fórmula expresa a f(x) como una serie de potencias, y decimos que “la función f(x) ha sido desarrollada en una serie de potencias en x”
(M) Así llegamos a la serie de Maclaurin

SERIE DE MACLAURIN
En matemáticas, la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma: sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.
f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^(n)(a)}{n!} (x-a)^{n}

Esta representación tiene tres ventajas importantes:

* La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.

* Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.

* Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

APLICACIONES
Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor. Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

Esta representación tiene tres ventajas importantes:

* La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.

* Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.

* Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

GRAFICAS
GRACIAS POR SU ATENCION
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