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Funciones trigonométricas directas y recíprocas.

Razones trigonométricas.
by

Anónimo Poe

on 1 March 2015

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Transcript of Funciones trigonométricas directas y recíprocas.

Funciones trigonométricas directas y recíprocas
Valor exacto para ángulos agudos
Funciones trigonométricas directas y recíprocas.
Valor exacto para ángulos agudos
Integrantes:
Emmanuel Acosta Espinoza………..................1
Luis Genaro Esteban Peralta……………………13
Leonardo José Gallegos Martínez………….............15
Luis Gustavo Díaz Hernández……...………….9

Profesor Román Ricárdez Ricárdez

¡FIN!
¡Muchas gracias por su atención!
Triángulos rectángulos
Pueden haber dos tipos de triángulo rectángulo:

Triángulo isósceles:
ambos catetos tienen la misma longitud, por lo que los ángulos formados entre ambos catetos con la hipotenusa miden 45° cada uno, la medida del ángulo formado por ambos catetos es igual a 90°.



Triángulo escaleno:
todos los ángulos y lados tienen diferentes medidas, cumpliendo siempre la ley de la suma de los ángulos resultando un ángulo llano. Hay casos en los cuales las medidas de los ángulos suelen ser directamente proporcionales, dando ángulos de 30, 60 y 90 grados.


¿Y qué hacemos si no nos proporcionan todos los datos?
En algunos casos no se nos proporcionan las medidas de todos los lados, en estos casos nos es útil el teorema de Pitágoras:

El cuadrado de
c
es igual a la suma de los cuadrados de
a
y
b
.
El cuadrado de
b
es igual al cuadrado de
c
menos el cuadrado de
a
.
El cuadrado de
a
es igual al cuadrado de
c
menos el cuadrado de
b
.

NOTA:
Las funciones trigonométricas son las razones entre dos lados con respecto a un ángulo determinado, pero consideraremos esencial reconocer estas funciones trigonométricas aplicables al triángulo rectángulo, a sus ángulos agudos.

Lados de un triángulo rectángulo
Como sabemos, son tres los lados de un triángulo rectángulo:

Cateto opuesto:
se encuentra del lado opuesto al ángulo, suele representársele con la letra
a
.
Cateto adyacente:
se encuentra en el lado adyacente al ángulo, esto es, cercano a él. Suele ser representado con la letra
b
.
Hipotenusa:
lado opuesto al ángulo recto, es el más largo del triángulo. Se representa por
c
.

Instituto Tabasco
¡Fieles al deber!
Funciones trigonométricas directas
Seno:
es la razón entre la longitud del lado opuesto del ángulo x y la hipotenusa.
El resultado siempre es menor que la unidad, y se expresa de la siguiente manera:
sen= lado opuesto/hipotenusa
Coseno:

es la asociación de la longitud del lado adyacente del ángulo x y la hipotenusa.
En este caso el resultado igual es menor a uno.
cos= lado adyacente/hipotenusa

Tangente:
la función tangente es la relación existente entre la longitud del lado opuesto y el lado adyacente del ángulo x.
tan= lado opuesto/lado adyacente

En la imagen se toma de referencia el ángulo A
Funciones trigonométricas inversas o recíprocas
Cotangente:
la función cotangente entra en el campo de las funciones trigonométricas recíprocas, siendo esta la inversa de la función tangente, es la razón entre la longitud del lado adyacente y la del lado opuesto del ángulo x.
cot= lado adyacente/lado opuesto

Secante:
la función secante es también una función recíproca, en este caso a la función coseno, obteniéndose al establecer la relación entre la longitud de la hipotenusa y el lado adyacente de x ángulo.
sec=hipotenusa/lado adyacente
Cosecante:
la función cosecante es, al igual que la cotangente y la secante, una función trigonométrica recíproca, en este caso a la función seno, y establece una razón entre la longitud de la hipotenusa y el lado opuesto de un ángulo x.
cosec= hipotenusa/lado opuesto
En los casos de la función secante y cosecante, el resultado es mayor que la unidad.

Correspondencia
Para complementar la información que nos proporcionaron en el vídeo anterior, obtenemos:
El seno de un ángulo es igual al coseno del otro, es decir:
sen A= cos⁡ B
y
sen B= cos⁡ A
La tangente de un ángulo es igual a la cotangente del otro, es decir:
tan⁡ A= cot⁡ B
y
tan⁡ B= cot ⁡A

La secante de un ángulo es igual a la cosecante del otro o sea:
sec A=cosec B
y
cosec B=sec A

Si lo que queremos obtener es el valor de una función, pero tenemos el valor de otra, podemos:
sen A(cosec A)=1
y
sen B(cosec B)=1
cos⁡ A(sec⁡ A)=1
y
cos⁡ B(sec⁡ B)=1
tan⁡ A(cot⁡ A)=1
y
tan⁡ B(cot B)=1
De este modo, podemos obtener:
cosec= 1/sen
cos= 1/sec
cot= 1/tan

Valores de las razones trigonométricas para ángulos específicos
Sabemos que las medidas de los ángulos internos de un triángulo equilátero son iguales y su suma forma un ángulo llano. Si tuviéramos un triángulo equilátero ABC y la longitud de cada uno de sus lados es igual a 2, y trazáramos una línea en el medio, formando entonces un ángulo de 60, otro de 30 y uno último de 90°. Así, formamos dos triángulos
escalenos.
A
B
C
D
2
2
AD=CD=2/2=1
Obtenemos de este modo que:
BD=1.73
BC=2
CD=1
Valores para ángulos de 30° y 60°
sen 30°=
LO/H=
1/2=
0.5
cos 30°=
LA/H=
1.73/2=
0.865
tan 30°=
LO/LA=
1/1.73=
0.57
cot 30°=
LA/LO=
1.73/1=
1.73
sec 30°=
H/LA=
2/1.73=
1.15
cosec 30°=
H/LO=
2/1=
2
sen 60°=

LO/H=
1.73/2=
0.865
cos 30°=sen 60°
cos 60°=

LA/H=
1/2=
0.5
sen 30°=cos 60°
tan 60°=

LO/LA=
1/1.73=
0.57
cot 30°=tan 60°
cot 60°=
LA/LO=
1.73/1=
1.73
tan 30°=cot 60°
sec 60°=
H/LA=
2/1=
2
cosec 30°=sec 60°
cosec 60°=
H/LO=
2/1.73=
1.15
sec 30°=cosec 60°
30°:
:60°
EJERCICIOS
Obtener los valores de las funciones trigonométricas de los siguientes triángulos rectángulos del principio de la presentación. Asimismo, identificar el tipo de triángulo del que se trata en cada caso. Obtengan la medida de la hipotenusa siguiendo el teorema de Pitágoras y usen sólo dos decimales en sus resultados.
Considerado que en el primero:
a
=1
Y en el segundo la medida de ambos catetos es 1.
1
c
sen=LO/H
cos=LA/H
tan=LO/LA
cot=LA/LO
sec=H/LA
cosec=H/LO
La comprobación de estos resultados será el tema a tratar a continuación.
1
Valores de las funciones trigonométricas para 45°
Consideremos en esta ocasión el triángulo
isósceles
del ejercicio 2, cuyos lados miden 1. Por el teorema de Pitágoras obtenemos:
c= 1.41
sen 45°=
LO/H=1/1.41=
0.7
cos 45°=
LA/H=1/1.41=
0.7
tan 45°=
LO/LA=1/1=
1
cot 45°=
LA/LO=1/1=
1
sec 45°=
H/LA= 1.41/1=
1.41
cosec 45°=
H/LO=1.41/1=
1.41
Como podemos darnos cuenta, se forman 3 pares de valores, esto gracias a la correspondencia y que los dos ángulos agudos sean iguales.
El seno de un ángulo es igual al coseno de otro, la tangente a la cotangente y la secante a la cosecante.
Cómo obtener el valor de funciones trigonométricas con la calculadora
Revisar que la calculadora se encuentre en modalidad DEG (grados).
Oprimir la tecla de la función
sen
(
sin
),
cos
, o
tan
, según sea el caso.
Teclear la medida del ángulo.
Oprimir la tecla
=
.
Obtuvimos el resultado.
Ejemplo: seno de 50°.
50°=0.76604
Medida del ángulo si sen=0.76604:
50°
*Por favor cada uno compruébelo con su calculadora*
Nos encontramos a cientos de kilómetros de distancia, y cientos de años atrás en el tiempo, en la biblioteca de Alejandría. Ustedes son matemáticos que quieren reproducir imaginariamente la batalla de Hidaspes, en la cual las tropas de Poros mostraron gran valentía.
Usarán los conocimientos sobre trigonometría que recién han adoptado de los babilonios y que han perfeccionado ustedes mismos.
Partiendo de un punto cualquiera, Alejandro, con su ejército de más de 10,000 hombres, decide avanzar 40 kilómetros al norte, pero prevé el uso de elefantes por parte de Poros, por lo que decide cambiar de dirección de modo que pueda llegar al mismo punto, pero ubicado 30 kilómetros al este. Así, los tomarán por sorpresa sin que los elefantes espanten a los caballos. Deben obtener el ángulo de desviación con respecto a la trayectoria inicial y la razón de ésta con la nueva.
¡Un último ejercicio!
a
=40 km
b=30 km
c=?
cos A=
c=
Ángulo CAB=
A
B
C
Cómo obtener medidas de ángulos por medio de razones
Si se nos proporciona sólo el valor de
hipotenusa
en un triángulo rectángulo del que queremos obtener
A
, podemos aplicar estas razones, siendo
c
=80:
sen
A
= a/c y cos
A
= b/c
Si conocemos la medida del ángulo, en este caso 63°, tenemos:
sen 63°=a/80
a=80 sen 63°=80(0.891)
a=71.28
También podemos usar:
cos
A
=b/a
cos 63°=b/80
b=80 cos 63°
b=6.32
Para obtener razones inversas, se oprime la tecla INV, SHIFT o 2ND, según sea el caso, con el resultado de la razón trigonométrica correspondiente, oprimiendo la tecla de dicha razón.
Si tenemos el valor de la razón seno, oprimimos la inversa en la calculadora con el resultado de la misma.
Si lo que no nos proporcionan es la hipotenusa, podemos usar el teorema de Pitágoras y luego:

tan A=a/b
después:
Usamos el resultado de la razón tangente y por medio de la calculadora oprimimos la inversa, y lo multiplicamos por dicho resultado.
Full transcript