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Probabilidad

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by

Sasha Khomenko

on 27 May 2013

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Transcript of Probabilidad

Tema 14: L a P r o b a b i l i d a d Ej.: Xavi Hernández, jugador del F.C. Barcelona, juega el 90% de los partidos de la selección española. De ese 90%, gana el 90% y de los que no juega , gana el 80%. Se pide:
a) Probabilidad de que España gane.
b) Sabiendo que España no ha ganado, calcular la probabilidad de que Xavi juegue. Xavi 0.9 0.1 J J' G G' G G' 0.9 0,1 0,8 0,2 0,81 0,09 0,08 0,02 a) P(G)=0,81+0.08= 0.89 Sol: La probabilidad de que España gane, independientemente de que esté Xavi o no, es de 0,89. b) P(J/G')= P(J G') P(G') P(G')=1-P(G)=1-0,89=0,11 = 0,09 0,11 = 0,81 Sol.: Sabiendo que España no ha ganado, la probabilidad de que haya jugado Xavi es de 0.81 Pruebas compuestas Pruebas compuestas; pueden ser dependientes o independientes EJEMPLO. En una caja hay 5 bolas: 3 azules y 2 verdes. Se extrae una bola, se anota el color y se repite el mismo proceso otra vez. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 bolas azules?.
¿Cuál es la probabilidad de que la 1ª sea verde y la 2ª azul? Sin devolución Con devolución SOLUCIÓN Caso a) Con devolución PROPIEDADES
DE LAS
PROBABILIDADES AXIOMAS 1)
2)
3) ≥ P[A U B] = P[A] + P[B] TEOREMAS 1)
2)
3)
4)
5)
6)
7) P[A`] = 1 - P[A] Si A c B, entonces P[B]=P[A]+P[B-A] Si A c B, entonces P[A] < P[B] Si A1, A2,... Ak son incompatibles:
[A1 U A2 U...U Ak] = P[A1] + P[A2] +...+P[Ak] P[A U B]= P[A] + P[B] - P[A B] E finito y S= {x1, x2,... xk}, entonces: P[S] = P[X1] + P[X2] + ... + P[Xk] P[ ] = 0 LEY DE LAPLACE EJEMPLO De los sucesos A y B se sabe que:
P[A] = 0.4 P[B] = 0.5 P[A` B`] = 0.3 Hallar P[A U B] y P[A B] SOLUCIÓN Aplicando el teorema 1:
P[A´ B´]=P[(A U B)´]=1-P[A U B] Como P[A´ B´]=0.3, obtenemos: P[A U B]=1-0.3= 0.7 Aplicando el teorema 6:
P[A U B]=P[A]+P[B]-P[A B] 0.7=0.4+0.5-P[A B]
P[A B]=0.2 Si E={X1, X2,... ,Xn} y P[X1]=P[X2]=...=P[Xn], entonces:

P[S]= , es decir,

P[S]= número de elementos de S n número de casos favorables a `S´ número de casos posibles EJEMPLO En una baraja donde se han suprimido varias cartas, entras las que quedan se dan las siguientes probabilidades de ser extraídas: P[rey]=0.15 P[bastos]=0.3 P[ni rey ni bastos]=0.6
a)Probabilidad de escoger el rey de bastos, en caso de que se encuentre.
b)¿Cuántas cartas hay? SOLUCIÓN El suceso `ni rey ni bastos´ es el complementario de `rey o bastos´.
R´ B´= (R U B)' por lo tanto, aplicando el teorema 1:
P[(R U B)']= 1-P[R U B] P[R U B]= 0.4
Siguiendo el teorema 6:
P[rey U bastos]=P[rey] + P[bastos] - P[rey bastos]
Sustituimos:
o.4 = 0.15 + 0.3 - P[rey bastos] P[rey bastos] = 0.05
Por lo tanto el rey de bastos está y la probabilidad de escogerlo es:

[rey bastos] = 0.05 = 1 20 Las cartas de una baraja es un instrumento aleatorio de Laplace, lo que quiere decir que existe la misma probabilidad de extaer cualquiera de las cartas. Así que si la probabilidad de extraer el rey de bastos es de 1/20 es porque hay 20 cartas ≥ Dos casos en los que no se puede aplicar la ley de
Laplace INSTRUMENTOS IRREGULARES Un ejemplo sería un dado mal construido o una chincheta. En este caso se recurre a la Ley de los grandes números.
1)Efectuamos una experiencia un número grande de veces: dejamos caer 100 chinchetas del mismo tipo 10 veces obteniendo 1000 resultados.
2)Obtenemos la frecuencia, f(S) de un determinado suceso:
f( )=243 y f( )=757
3)Con ellas, podemos hallar la frecuencia relativa, fr(S)=f(S)/N, que será una medida aproximada de la probabilidad.
P[ ]~fr( )=0.243 P[ ]~fr( )=0.757 INSTRUMENTOS REGULARES, SUCESOS NO EQUIPROBABLES Si se lanzan dos dados correctos y sumamos sus resultados, no es igualmente probable que la suma sea 3, 7, 10... Se puede modificar la descripción de la experiencia de modo que lo sucesos elementales sean equiprobables. Anteriormente, E={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}, ahora lo descomponemos en 36 sucesos elementales: (1,1), (1,2),...(3,4),etc. todos con la misma probabilidad: 1/36. Con lo cual las sumas son sucesos no elementales y obtenemos su probabilidad más fácilmente: P[suma 3]=2/36=1/18
P[suma 7]=6/36=1/6
P[suma 10]=3/36=1/12 Caso b) Sin devolución Probabilidad total Teorema de la probabilidad total

Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la expresión: La probabilidad total se ejemplifica con la fórmula de Bayes Dos pruebas compuestas son independientes cuando el resultado de una no influye en la otra. En caso contrario, son dependientes. Experiencias aleatorias. Espacio muestral. Sucesos. Aquella cuyo resultado depende del azar. Es cualquier subconjunto de E. Elementos de E = casos. También existe suceso vacío y suceso seguro (propio E). Número de sucesos de E= 2^n. Conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria. Unión: A U B, todos los elementos de A y de B. Verificado cuando ocurre uno de los dos, o ambos. Intersección: A y B ocurren simultáneamente y tienen elementos comunes. Operaciones con sucesos Diferencia: A - B, se verifica cuando lo hace A y no B. Formado por todos los elementos de A que no son de B. Complementario: el suceso A' se cumple siempre que no se cumpla A. Se lee como "no A". Sucesos incompatibles: ningún elemento en común. Propiedades:
Si A está contenido en B, la unión de A y B será igual a B, y su intersección a A.
La no unión de A y B es igual a la intersección de no A con no B.
La no intersección de A y B es igual a la unión de no A y no B.
Estas dos últimas propiedades son las leyes de Morgan. Frecuencias absoluta y relativa Absoluta: es el número de veces que ocurre S. Se designa por f(s). Relativa: es la proporción de veces que ocurre S. Ley de los grandes números La frecuencia relativa tiene a estabilizarse al repetir muchas veces una experiencia aleatoria. Por ejemplo, cuando lanzamos un dado, obtenemos el número 3 para N= 20, 40, 60, 80, 100, ... Los valores de fr(3) se estabilizan en torno a 0,166. Probabilidad Condicionada probabilidad de A condicionada a C

P[A/C]

Así podemos saber las veces que ocurre A,
mientras ocurre C:

P[A/C]= (P[A C]) / (P[C])

Deducimos

P[A C]=P[C] P[A⁄C] Dados A y C, Fórmula de Bayes U U Dos sucesos A y C son independientes:

P[A/C]= P[A] y P[C/A]= P[C]

y al cumplirse:

P[A C]=P[A] P[C]

Por lo que diremos que el producto de sus probabilidades = a la probabilidad de su intersección P[A/C]=P[A]


P[A∩ C]=P[C]∙ P[A⁄C] = U P[C] P[A]∙ SON INDEPENDIENTES !! EJEMPLO P[PAR/VERDE]= P[ ] P[VERDE] P[PAR/ROJO]= P[ROJO] P[PAR/NEGRO]= P[NEGRO] P[ ] P[ ] =1/3 =2/4 = 1/2 =1/1=1 Tablas de Contingencia P[PAR/ROJO] = P[PAR] = 1/2 INDEPENDIENTES!!! 1. Escoger las características
2. Sumas parciales y totales
3. Analizar tabla
4. Calcular probabilidad V R N TOT 1 2 TOT 2 3 5 a) Completa la tabla con color y números

b) Calcula la probabilidad de R, N, V, 1 y 2

c)Calcula la P. Condicionada de P[1/ROJO], P[1/VERDE], P[1/NEGRO], P[2/ROJO], P[2/VERDE], P[2/NEGRO], P[ROJO/1], P[VERDE/1].

d)Di si alguno de los caracteres R,N o V es independiente de 1 o 2. RESPONDE : RESPUESTA 2 2 2 -> 6
0 3 1 -> 4
2 5 3 -> 10 P[ROJO]= 5/10=0,5
P[NEGRO]=3/10=0,3
P[VERDE]=2/10=0,2
P[1]=6/10=0,6
P[2]=4/10=0,4 EJEMPLO P[1/ROJO]=2/5=0,4
P[1/VERDE]= 2/2=1
P[1/NEGRO]=2/3=0,6
P[2/ROJO]=3/5=0,6
P[2/VERDE]=0/2=0
P[2/NEGRO]=1/3=0,3
P[ROJO/1]=2/6=0,3
P[VERDE/1]=2/6=0,3
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