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Probabilidade

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by

Cássio Lucas

on 31 October 2013

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Transcript of Probabilidade

PROBABILIDADE
Probabilidade
Define a provável ocorrência do evento em um experimento. É calculada dividindo o número de eventos escolhidos pelo número total de eventos do espaço amostral.

EX.: Em um lançamento de dado a probabilidade de sair 4 ou 5 é
S={1,2,3,4,5,6} n(S)=6 eventos do espaço amostral
A={4,5} n(A)=2 eventos escolhidos
P(A)=n(A)/n(S) P(A)=2/6 P(A)=33,33%

Probabilidade de não ocorrer dois ou mais eventos
É o complemento do evento e é indicada pela fórmula: P(Ᾱ)=1-P(A)

Ex.:
Chance
Indica a quantidade de eventos que podem ocorrer em relação à quantidade que não pode ocorrer.

Ex.:
Probabilidade de ocorrer dois eventos (A e B)
Pode ser dividida em:
Eventos independentes
Dois eventos são independentes quando a realização ou não de um dos eventos não afeta a probabilidade de realização do outro.

P=P¹*P² ou P(A∩B)=P(A)*P(B)

Ex.:
Exemplo
Em um lançamento de dado a chance de sair 4 ou 5 é:

Probabilidade de ocorrer
S={1,2,3,4,5,6} n(S)=6
A={4,5} n(A)=2
P(A)=n(A)/n(S) P(A)=2/6 P(A)=1/3
Complemento ou Probabilidade de não ocorrer
P(Ᾱ)=1-P(A) P(Ᾱ)=1-1/3 P(Ᾱ)=2/3
Chance=P(A)/P(Ᾱ) Chance=(1/3)/(2/3) Chance=3/6 Chance=1/2
As chances de ocorrer o evento são de 1 para 2.

Eventos dependentes
Dois eventos são dependentes quando a realização ou não de um dos eventos afeta a probabilidade de realização do outro.

P=P¹*P² ou P(A∩B)=P(A)*P(B\A) onde B\A lê-se B dado A

Ex.:
Eventos mutuamente exclusivos
Dois eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do outro.

P(A∩B)=0

Ex.:
Exemplo
Em um globo com bolas numeradas de 1 a 10 são retiradas duas bolas
sem reposição
. Qual a probabilidade de sair os números 7 e 9?
S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} n(S)=10
P(A∩B)=1/10*1/9 P(A∩B)=1,11%

Dados os eventos A, B e C do lançamento de uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos:
S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}
A={K2, K4, K6};
B={K2,K3,K5,R2,R3,R5};
C={R1,R3,R5}.
Escreva os eventos em que:
a) A ou B ocorrem;
b) B e C ocorrem;
c) Somente B ocorre;
d) A e C ocorrem.
(a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}
(b) B e C = B∩C = {R3,R5}
(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C;
B∩A∩C = {K3,K5,R2}
(d) A e C são mutuamente exclusivos, porque A∩C = Ø

No lançamento de 3 dados. A probabilidade de não ocorrer:
a) ∑5
n(S)=6*6*6 n(S)=216
E={(1,1,3);(3,1,1);(1,3,1);(2,2,1);(2,1,2);(1,2,2)}
n(E)=6 P(E)=6/216
P(Ē)=1-P(E) P(Ē)=1-6/216 P(Ē)=97,22%

b) ∑6
n(S)=6*6*6 n(S)=216
E={(1,1,4);(4,1,1);(1,4,1);(2,2,2);(3,1,2);(1,2,3);(1,3,2);(3,2,1);(2,1,3);(2,3,1)}
n(E)=10 P(E)=10/216
P(Ē)=1-P(E) P(Ē)=1-10/216 P(Ē)=95,37%

Em um globo com bolas numeradas de 1 a 10 são retiradas duas bolas
com reposição
. Qual a probabilidade de sair os números 7 e 9?
S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} n(S)=10
P(A∩B)=1/10*1/10 P(A∩B)=1%

Probabilidade de ocorrer ao menos um de dois eventos (A ou B)
Se divide em
Os eventos mutuamente exclusivos
São os eventos que não podem ocorrer simultaneamente.

P=P¹+P² ou P(AUB)=P(A)+P(B)

EX.:
Exemplo
Em um bingo onde as bolas são numeradas de 1 a 60, qual a probabilidade de, em uma retirada, sair 7 ou 13 ou 24 ou 33?
P(7)+P(13)+P(24)+P(33)
P(7ou13ou24ou33)=1/60+1/60+1/60+1/60
P(7ou13ou24ou33)=4/60=1/15
P(7ou13ou24ou33)=6,67%

Os eventos não mutuamente exclusivos
São os eventos que podem ocorrer simultaneamente.

P=P¹+P²-P¹² ou P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

EX.:
Exemplo
Em uma caixa há bolas numeradas de 1 a 10, sendo, 10 azuis, 10 vermelhas, 10 pretas e 10 brancas. Qual a probabilidade, em uma escolha, de sair uma bola azul ou uma bola com o número 1 ou ambos (bola azul com número 1)?
P(azul)=10/40=1/4
P(1)=4/40=1/10
P(azul 1)=1/40
P(azul ou 1 ou azul 1)=P(azul)+P(1)-P(azul 1)
P(azul ou 1 ou azul 1)=1/4+1/10-1/40=13/40=32,5%
Obs.: Usa-se o “-P(A∩B)” para que a intercessão não seja somada duas vezes, ou seja, no exemplo ao sair “azul”, poderá também sair “azul 1” e ao sair “1” também poderá sair “azul 1”. Dessa forma elimina a chance de sair duas vezes o “azul 1”.

Exemplo
Exemplo
Exemplo
Fluxograma da Probabilidade
Os eventos são mutuamente exclusivos ?
Sim
Não
Sim
Sim
Não
P(A e B) = 0, quando ocorrerem dois eventos
P(A ou B) = P(A) + P(B), quando ocorrer ao menos um de dois eventos
Os eventos são independentes ?

por ex.: P(A|B)=P(A) ?
P(A e B) = P(A) x P(B), quando ocorrerem dois eventos

P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B), quando ocorrer ao menos um de dois eventos
Amostras com reposição
1. Binomial

2. Quando o valor de n é grande e o de p é pequeno, usar a Tabela ou a Fórmula de Poisson.
Amostras sem
reposição
Hipergeométrica
O eventos são condicionais ?
(é um evento dependente do outro ?)
Quando ocorrerem dois eventos e um depender da ocorrência do outro.
P(A e B) = P(A) x P(B|A)
P(A e B) = P(B) x P(A|B)
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