Loading presentation...

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Make your likes visible on Facebook?

Connect your Facebook account to Prezi and let your likes appear on your timeline.
You can change this under Settings & Account at any time.

No, thanks

О сумме многогранников по Минковскому

No description
by

Daniyar Meiramov

on 11 December 2014

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of О сумме многогранников по Минковскому

Цель исследования:
- Изучение фигур на плоскости применением арифметических операции;

- Изучение фигур в пространстве применением арифметических операции;

- Изучение введения элементарных функций на множестве многогранников.

О сумме многогранников по Минковскому
Сумма Минковского фигур имеет следующие свойства:
• Операция коммутативна.

• Сумма Минковского содержит каждое из слагаемых после подходящего параллельного переноса.

• Сумма Минковского двух выпуклых многогранников – выпуклый многогранник.

• Для и любого выпуклого многогранника , справедливо:
Свойства опорной функции:
1. В начале координат опорная функция равна нулю:
h
(0)=0.
2. Для λ>0 имеем .
3. Опорная функция одноточечного многогранника-линейная функция. В частности, график опорной функции выпуклого многогранника из есть плоскость в трехмерном пространстве.
4. Любая линейная функция, принимающая значение 0 в начале координат, является опорной функцией некоторого одноточечного многогранника.
Опорная функция суммы Минковского равна сумме опорных функций слагаемых:

ОПОРНАЯ ФУНКЦИЯ И ВЕЕР
ВЫПУКЛОГО МНОГОГРАННИКА

Определение.
Опорной функцией выпуклого многогранника называется функция заданная на (или ) равенством
О сумме многогранников по Минковскому
Выполнили:

Ученики 11 класса Мейрамов Данияр и Турлыбеков Максат

Руководитель:

Әділ Нұржігіт Әділұлы

Научный руководитель:

Сулейменов Кенесары Машимович

СЛОЖЕНИЕ ФИГУР ПО МИНКОВСКОМУ
Определение.
Выпуклым многогранником (в или ) называется выпуклая оболочка непустого конечного множества точек.
Определение.
Суммой Минковского (или векторной суммой) двух выпуклых многогранников и называется множество точек.

K
K 1= K
K
K

x
)= λ
h
(
x
)
K
R
2
h
Определение.
Разбиение трехмерного многогранника на многогранные конусы называется веером многогранника .

Имея многогранник, легко построить его сферический веер:
1. Отметим на сфере концы внешних нормалей граней многогранника.
2. Соединим на сфере каждые две полученные точки кратчайшим отрезком
(куском большого круга), если соответствующие грани делят ребро.

Комбинаторная двойственность многогранника и его веера:
Вершины веера соответствуют грани многогранника.
Ребрам веера соответствуют ребра многогранника.
Клеткам веера соответствуют вершины многогранника.

K
K
Теорема.
Опорная функция многогранника выпукла, т.е. для
или что график функции
h
– выпуклая вниз поверхность.
1. Каждая непрерывная выпуклая функция
h
, принимающая значение
O
в начале координат, которая кусочно линейна относительно некоторого веера (т.е. разбиения пространства на конуса), является опорной функцией некоторого выпуклого многогранника.
Множество таких функций обозначим
H
.
2. Опорная функция одноточечного многогранника-линейная функция. В частности это означает, что график опорной функции точки из
R
есть плоскость в трехмерном пространстве.

K
2
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ПО ЭЙЛЕРОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ

Определение.
Множество точек будем называть многогранным, если его можно получить конечном числом операции объединения, пересечения и дополнения из некоторого (конечного) набора выпуклых многогранников.
Определение. Клеточным разбиением многогранного множества называется разбиение на непересекающиеся многогранные подмножества (клетки разбиения) такие, что каждая клетка есть одно из следующих множеств:
0: точка (0-мерная клетка);
1: открытый отрезок (отрезок с выброшенными концами) (1-мерная клетка);
2: открытый двумерный многоугольник (многоугольник с удаленной границей) (2 мерная клетка);
3: открытый трехмерный многогранник (3-мерная клетка).
Определение. Эйлеровой характеристикой клеточного разбиения множества называется
=(число 0-мерных)-(число 1-мерных)+(число 2-мерных)-
-(число 3-мерных).
M
x
(
M
)
Важное свойство эйлеровой характеристики-аддитивность:
Определение.
Пусть – функция, заданная на некотором многогранном множестве , такая, что
f
принимает конечное множество целочисленных значений, причем прообраз каждого числа – многогранное множество. Такие функции мы будем называть многогранными, а множество всех многогранных функций, заданных на всем пространстве, будем обозначать через
M
.
Положим по определению

Это и есть интеграл функции по эйлеровой характеристике.
Теорема.

Теорема Фубини.
Спасибо за внимание!
Для изучения фигур на плоскости введем следующие виды инвариантов. Два из них простые. Система инвариантов Хадвигера.

Определение.
Величины, определяемые в виде
и
называются
нулевым и вторым инвариантом Хадвигера
многогранной функции .
Теорема.
Для выпуклого многогранника
K
справедливо равенство



Значит, вместо бесконечного ряда у нас останется простая конечная сумма.

(K-1) =0
4
h (f)= f(x)dx(x)
0
h (f)= f(x)dx
2
R
R
2
3
1={
O
}
R
R
2
3

В математике геометрия различных областей, т.е. свойства замкнутости или открытости (топологические свойства) играет с одной стороны для изучения свойств функций, заданных на этих областях, а с другой стороны, для изучения самих областей.
В работе введены арифметические операции к геометрическим фигурам, т.е. многогранникам и изучены соответствующие свойства. Кроме того, данные операции связаны с умножением фигуры на целое число и обобщено на умножение в дроби, показана связь с функциями логарифмической и экспонентой.
Работа может быть применена на факультативных и кружковых работах с с наиболее математически подготовленными учащимися старших классов, а также может быть полезной студентам математикам педагогической специальности.

Заключение
Определение.
Пусть
f
˗ многогранная функция такая, что
f(x)d
x
(x)=0
Положим по определению
Введенные нами логарифм и экспонента обладают знакомыми со школы свойствами.
Теорема.
Пусть многогранные функции
f
и
g
таковы, что

Пусть
f
многочлен. Рассмотрим новый многочлен
f(x)
, полученный гомотетичным сжатием оси
x
:


При этом свободный член нового многочлена остается прежним, коэффициент при
x
увеличивается в 2 раза, коэффициент при
x
увеличивается в 4 раза, и так далее.
Пусть выпуклый многогранник. Тогда


Действительно,


(2)
f(x)=f
(2
x
)
2
.
(2)ln
K
= 2 ln
K
2 ln
K
= ln (
K

K
) = ln ((2)K) = (2)ln K
.
Full transcript