Loading presentation...

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Make your likes visible on Facebook?

Connect your Facebook account to Prezi and let your likes appear on your timeline.
You can change this under Settings & Account at any time.

No, thanks

Jak skategoryzować wielkość?

No description
by

Michał Korch

on 5 May 2017

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of Jak skategoryzować wielkość?

y
x
Matematyka dla ciekawych świata
Część 1II. Jak skategoryzować wielkość?
Michał Korch, MIMUW
Co już umiemy?
małe zbiory
zbiory większe
miary zero
miary >0 lub niemierzalne
Co wymyślimy w tej części?
Jak rozróżnić zbiory małe od większych nie mierząc ich, a tylko patrząc na ich "strukturę"
Topologia
zwiedzanie
Królewiec
Leonhard Euler:
da się tak zwiedzić miasto, jeśli części miasta, do których prowadzi nieparzysta liczba mostów jest równa 0 lub 2
rzeka Pergoła
1736 r.
1707-1783
graf Eulera, ciąg Eulera, funkcja Eulera,
równanie Eulera, wzór Eulera,
prosta Eulara, liczba Eulera,
cykl Eulera, metoda Eulera
Temperatura na Ziemi
Tw. Borsuka-Ulama:
w każdej chwili na kuli ziemskiej są dwa punkty
położone dokładnie naprzeciwko siebie względem
środka ziemi, w których jest ta sama temperatura,
i ciśnienie.
Wstęga Möbiusa
Odległość w topologii
A
B
393 km
482 km
Metryka
Przykłady:
metryka euklidesowa
metryka miejska
Maurice Fréchet
1878-1973
przestrzeń Frecheta
różniczka Frecheta
Topologia na prostej
G. Cantor
(a,b) = {x: a<x<b}
odcinek otwarty
zbiór otwarty
suma dowolnie wielu odcinków otwartych
Przykłady zbiorów otwartych:
suma dowolnie wielu zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym
zbiór domknięty
zbiór, którego dopełnienie jest zbiorem otwartym
Przykłady zbiorów domkniętych:
Wnętrze zbioru
int A
suma wszystkich zbiorów otwartych zawartych w zbiorze A
największy zbiór otwarty zawarty w A
suma wszystkich przedziałów otwartych zawartych w zbiorze A
Przykłady:
A=[0,1]
int A= (0,1)
Domknięcie zbioru
cl A
najmniejszy zbiór domknięty zawierający zbiór A
przecięcie wszystkich zbiorów domkniętych zawierających zbiór A
Przykłady:
A=(0,1)
cl A = [0,1]
mówimy, że A jest gęsty, jeśli cl A = R. Np.: Q
Podsumowanie, czyli jak to sobie wyobrazić?
Zbiory otwarte
(0,2)
(3,4)
Zbiory otwarte charakteryzują się tym, że dla każdego ich punktu znajdziemy odcinek zawarty w naszym zbiorze.
Zbiory domknięte
[0,1]
[2,4]
zbiory domknięte to te, że dla każdego punktu, który do nich nie należy znajdziemy odcinek, w którym ten punkt leży, nieprzecinający się z naszym zbiorem
Wnętrze zbioru
[0,1]
[2,4]
wnętrze zbioru, to wszystkie punkty mieszczące się w dowolnym odcinku otwartym zawartym w wyjściowym zbiorze
Domknięcie zbioru
wszystko co nie leży w dowolnym odcinku otwartym zawartym w dopełnieniu wyjściowego zbioru
cl Q =
q
R
wniosek: Q jest zbiorem gęstym
Dwa drobne spostrzeżenia
cl A = R\int(R\A)
zbiór jest gęsty, jeśli w każdym odcinku otwartym znajdziemy jakiś punkt z tego zbioru
Zbiory wątłe i Tw. Baire'a
Zbiory nigdziegęste
idea: w dowolnie dużym powiększeniu w dowolnym miejscu znajdę w zbiorze dziurę
w dowolnym przedziale
przedział poza zbiorem
A
inaczej:
wnętrze domknięcia
zbioru A jest puste
Kwestia przeliczlanych sum
Przypomnienie:
suma przeliczalnie wielu zbiorów miary zero jest miary zero
Niestety:
nie jest tak w przypadku zbiorów nigdziegęstych
np. Q
Zbiory wątłe
zbiory będące sumą przeliczalnej liczby zbiorów nigdziegęstych
przykład:
Przykłady:
zbiór Cantora
Q
Pytanie:
czy nie przesadziliśmy?
czy całe R nie jest przypadkiem zbiorem wątłym?
Tw. Baire'a
Dopełnienie każdego wątłego zbioru jest gęste.
Dowód:
Niech A będzie zbiorem wątłym.
gdzie A nigdziegęste
n
Chcemy udowodnić, że w dowolnym przedziale jest punkt nie należący do żadnego z nich.
a
b
przedział (domknięty) w którym nie ma żadnego punktu z A
1
przedział, w którym nie ma żadnego punktu z A
2
przedział, w którym nie ma żadnego punktu z A
3
przedział, w którym nie ma żadnego punktu z A
4
i tak dalej...
punkt, który nie jest ani w A , ani w A ,...
1 2
ckd.
René-Louis
1874-1932
przestrzeń Baire'a
twierdzenie Baire'a
własność Baire'a
Topologia na płaszczyźnie
tak samo, jak na prostej, z tym, że za każdym razem, gdy tam mówiliśmy o odcinku, tu mówimy o prostokącie.
np. zbiór jest otwarty, jeśli dla każdego punktu w nim jest otwarty prostokąt zawarty w badanym zbiorze
Przykłady:
koło bez brzegu
jest otwarte
jego domknięciem jest to samo koło, ale z brzegiem
prosta
jest domknięta
jej wnętrze jest puste
nie ma prostokąta,
który by siedział w tej prostej
Wnioski
Można podzielić zbiory na prostej na dwie kategorie pod kątem jak są małe ze względu na swoją strukturę
Kategorie
zbiory pierwszej kategorii
zbiory wątłe
bardzo małe, gdy się im przyjrzeć z bliska
zbiory drugiej kategorii
reszta
Nowa metoda dowodzenia, że istnieje punkt, który nie ma danej własności
Cała prosta rzeczywista nie jest zbiorem wątłym.
Więc jeśli zbiór punktów o danej własności jest zbiorem wątłym, to istnieje punkt niemający tej własności.
Np.: istnieje punkt x, taki że dla każdej liczby wymiernej q, punkt x-q nie należy do zbioru Cantora
C
q
zbiór Cantora przesunięty o q
-- nigdzie gęsty
więc suma wszystkich takich zbiorów jest zbiorem wątłym, więc jest x, który do tej sumy nie należy
wszystkie te przykłady są miary zero!
Nowe pytanie: a może zbiory wątłe to po prostu zbiory miary zero?
Miara a kategoria
Czyli czy zbiory wątłe i zbiory miary zero to to samo?
Argumenty na "tak":
zbiory miary zero
zbiory wątłe
np. Q, zbiór Cantora
np. Q, zbiór Cantora
przeliczalna suma zbiorów miary zero jest miary zero
przeliczalna suma zbiorów wątłych jest zbiorem wątłym
zbiór miary zero nie może zawierać żadnego przedziału
zbiór wątły nie może zawierać żadnego przedziału
dopełnienie zbioru miary zero jest gęste
dopełnienie zbioru wątłego jest gęste
nie musi być to prawdą dla sumy continuum wiele takich zbiorów
nie musi być to prawdą dla sumy continuum wiele takich zbiorów
Odpowiedź:
Nie!
i to bardzo!
Twierdzenie
Prostą można podzielić na dwa zbiory A i B (których sumą jest cała prosta), takie że A jest zbiorem miary zero, a B jest zbiorem wątłym.
Dowód:
...
m(A)=0
q
odcinek, który jest w A
0
więc nie jest w B
0
nigdziegęsty
nigdziegęsty
nigdziegęsty
wątły
Istota matematyki zawiera się w jej wolności.


Georg Cantor
Dodatek B. Klej i wymiary
Kiedy dwie rzeczy są takie same?
nie
On:
(poeta) Mario, kocham cię. Kocham tak, jak nikt przedtem i potem. Jak nikt na świecie. Jak nikt w dziejach. Tak nie kochał ani Dante, ani Don Juan. Miłość. Czy ty rozumiesz, co to jest miłość?
Ona:
(medyczka) Rozumiem. Jest to psychiczna hipermetamorfoza prowadząca do hipercenestezji, co w konsekwencji daje angiopatyczną neurastenię.
K U R T Y N A
spada ze złowieszczym świstem.

Osoby: On & Ona
Miłość
Homeomorfizm
Przekształcenie, które nie skleja
dwóch punktów w jeden, ani niczego
nie rozrywa.
I w dodatku przekształcenie odwrotne też ma tę cechę.
plastelinowy
a sfery?
Otoczenie punktu
Taki obszar, że nie wchodząc
na niego nie da się podejść dowolnie blisko danego punktu
Homeomorfizm
1. On i przekształcenie odwrotne każdy punkt przekształca na dokładnie jeden punkt.
2. Dla każdego punktu istnieje jego otoczenie, takie że, jeśli ograniczymy nasze rozważania do tego otoczenia, przekształcenie jest homeomorfizmem plastelinowym.
"Bezmiar matematycznej wyobraźni", K. Ciesielski, Z. Pogoda
Rozmaitości
powierzchnia, która jest lokalnie podobna do płaszczyzny
powierzchnia, której każdy punkt ma otoczenie homeomorficzne z otoczeniem punktu na płaszczyźnie
atlas - komplet map
Sfera
Torus
Butelka Kleina
Felixa
1849-1925
Płaszczyzna rzutowa
A jak byśmy się czuli w trójwymiarowym torusie?
Matematyka podobna jest do wieży, której fundamenty położono przed wiekami, a do której dobudowuje się coraz wyższe piętra. Aby zobaczyć postęp budowy, trzeba iść na piętro najwyższe, a schody są strome i składają się z licznych stopni. Rzeczą popularyzatora jest zabrać słuchacza do windy, z której nie zobaczy ani pośrednich pięter, ani pracą wieków ozdobionych komnat, ale przekona się, że gmach jest wysoki i że wciąż rośnie.
Hugo Steinhaus
dopełnienie zbioru A to zbiór wszystkich liczb nie będących w A
R\A
(0,1)
0 nie leży w otwartym odcinku z dopełnienia, bo każdy taki odcinek otwarty z zerem nachodzi na (0,1)
cl (0,1)=
[0,1]
Full transcript