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Funzioni derivabili

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by

castello salvatore

on 3 March 2013

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Transcript of Funzioni derivabili

TEOREMI E CONSEGUENZE PROPRIETA' DELLE FUNZIONI DERIVABILI MASSIMI E MINIMI RELATIVI TEOREMA DI FERMAT TEOREMA DI ROLLE TEOREMA DI LAGRANGE Si dice che x0 è un punto di minimo relativo per f(x) e f(x0) è un minimo relativo se esiste un intorno I(x0 ) di x0 tale che Un punto x0 che sia un punto di massimo relativo o un punto di minimo relativo si dice un punto di estremo relativo o anche un punto di estremo locale. Def.
Si dice che x0 è un punto di massimo relativo per f(x) e f(x0) è un massimo relativo se esiste un intorno I(x0 ) di x0 tale che Osservazioni
Si noti che sulla definizione di massimo relativo non si richiede che la disuguaglianza sia verificata in tutto l’intervallo [a, b] ma solo in un opportuno intorno I(x0) di x0.

I punti di minimo e di massimo della funzione f, per distinguerli dai punti di estremo relativo, si chiamano punti di minimo assoluto e massimo assoluto. Si noti che un massimo assoluto è anche relativo.

Ma tale implicazione non si inverte.

In un intervallo [a,b] possono esserci più massimi e minimi relativi e uno di essi può coincidere eventualmente con il massimo e minimo assoluto. Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, 17 agosto 1601 – Castres, 12 gennaio 1665) TEOREMA di FERMAT
(condizione necessaria di estremo relativo) Sia f(x) una funzione definita in un intervallo [a, b].
Se f(x) ha in x0, punto interno, un estremo relativo
e in x0 la funzione è derivabile
allora f ‘(x0)=0. =0 La tesi segue dall’ipotesi di derivabilità che implica : Passando al limite (per il teo di permanenza del segno): Ma allora se consideriamo il rapporto: DIM:
Supponiamo x0 punto di massimo relativo per f(x).
Ciò significa che esiste un intorno I(x0) di x0 tale che Sia f(x) una funzione definita in un intervallo [a, b].
Se f(x) ha in x0, punto interno, un estremo relativo e in x0 la funzione è derivabile
allora f ‘(x0)=0 Teorema di Fermat
(condizione necessaria di estremo relativo) Si noti che:
Ad esempio la funzione

Si noti che, dal punto di vista geometrico, il teorema di Fermat afferma che nei punti di estremo relativo che sono interni ad un intervallo, la tangente al diagramma è parallela all’asse x.

Si noti che il teorema di Fermat non vale se il punto x0 di estremo relativo non è interno all’intervallo [a, b].


Si noti che il teorema di Fermat non vale se il punto x0 di estremo relativo è un punto di non derivabilità (pensa cuspide o punto angoloso). Osservazioni TEOREMA DI ROLLE (1691) Michel Rolle (Ambert, 21 aprile 1652 – Parigi, 8 novembre 1719) Sia f(x) una funzione
continua nell’intervallo [a, b],
derivabile nei punti interni ad (a, b)
f(a)=f(b)
allora
esiste un punto c interno ad (a, b) tale che f ‘(c)=0 . Dim
Per il teorema di Weistrass che vale in virtù dell’ipotesi 1) f(x) ha in [a, b] minimo e massimo assoluti. Quindi

Se m=M è evidente che la funzione f è costante in [a, b] e il teorema di Rolle è certamente vero si ricordi che la derivata di una costante è nulla.

Se m<M per l’ipotesi 3) almeno uno dei due punti di massimo o minimo è interno. Se per esempio x1 è interno ad [a, b] allora essendo un punto di estremo assoluto, è anche un punto di estremo relativo nel quale f è derivabile per l’ipotesi 2). Dal teorema di Fermat si deduce che e il teorema di Rolle è completamente dimostrato. Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo [a, b], derivabile nei punti interni ad (a, b) e f(a)=f(b) allora esiste un punto c interno ad (a, b) tale che
In altri termini vale la seguente implicazione: TEOREMA DI ROLLE Le tre ipotesi sono fondamentali:
Se non vale la continuità non vale il teorema es

Se non vale la derivabilità non vale il teorema:

Se non vale la terza non vale il teorema es: Osservazioni Ne segue, per il teorema di Rolle, che esiste un punto c interno ad (a,b) La quale,geometricamente, rappresenta la differenza tra le ordinate del punto P del diagramma e del punto Q della retta congiungente gli estremi A=(a,f(a)), B=(b,f(b)) aventi la stessa ascissa(distanza variabile del diagramma della retta).
Si verifica facilmente che g(a)=g(b)=0. D’altra parte g è continua in [a,b], derivabile in (a,b) risulta: Dim
Consideriamo la funzione ausiliare: Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo [a, b], derivabile nei punti interni ad (a, b) esiste un punto c interno ad (a,b) tale che TEOREMA DI LAGRANGE Osservazione
I teoremi di cui ci siamo occupati non valgono in generale se l’insieme di definizione della funzione f non è un intervallo. E ciò per definizione significa che f è crescente in (a,b). Dim.
Siano con x1 e x2 punti arbitrariamente scelti di [a,b] considerando x2>x1 applicando il teorema di Lagrange alla restrizione di f all’intervallo di estremi x1 e x2 e si ha: Sia una funzione continua nell’intervallo [a,b] e derivabile in (a,b) con f’(x)>0
(f ‘(x)<0) per ogni x di (a,b) allora la funzione è crescente (decrescente) in (a,b). CRITERIO DI MONOTONIA Joseph-Louis Lagrange (Torino, 25 gennaio 1736 – Parigi, 10 aprile 1813) Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo [a, b], derivabile nei punti interni ad (a, b) esiste un punto c interno ad (a,b) tale che TEOREMA DI LAGRANGE E ciò implica che f è costante Dove è un punto interno all’intervallo in questione. Ne segue che Dim.
Siano con x1 e x2 punti di [a,b] applicando il teorema di Lagrange alla restrizione di f all’intervallo di estremi x1 e x2 e si ha: Sappiamo che ogni funzione costante in un intervallo è derivabile ed ha derivata identicamente nulla.
Viceversa, mediante il teorema di Lagrange, si dimostra il seguente:
Corollario(sulle funzioni con derivata nulla)
Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo [a,b] e derivabile in (a,b) con f ‘(x)=0 per ogni x di (a,b) allora f è costante. Conseguenze del teorema di Lagrange =0 La tesi segue dall’ipotesi di derivabilità che implica : Passando al limite (per il teo di permanenza del segno): Ma allora se consideriamo il rapporto: DIM:
Supponiamo x0 punto di massimo relativo per f(x).
Ciò significa che esiste un intorno I(x0) di x0 tale che Sia f(x) una funzione definita in un intervallo [a, b].
Se f(x) ha in x0, punto interno, un estremo relativo e in x0 la funzione è derivabile
allora f ‘(x0)=0 Teorema di Fermat
(condizione necessaria di estremo relativo)
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