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A Matemática de Alguns Experimentos Sonoros

O uso de experimentos sonoros para o aprendizado da matemática. Música, Matemática, Trigonometria, Educação, GeoGebra, Som.
by

Mario Sérgio Almeida

on 21 October 2016

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Transcript of A Matemática de Alguns Experimentos Sonoros

A Matemática de Alguns Experimentos Sonoros
Universidade Federal da Bahia - UFBA
Instituto de Matemática - I.M.
Mestrado Profissional em Matemática - PROFMAT
Mario Sérgio Mattos de Almeida
Salvador - Bahia
2014
A Matemática de Alguns Experimentos Sonoros
“Não sei como pareço aos olhos do mundo, mas eu mesmo vejo-me como um pobre garoto que brincava na praia e se divertia em encontrar uma pedrinha mais lisa uma vez por outra, ou uma concha mais bonita do que de costume, enquanto o grande oceano da verdade se estendia totalmente inexplorado diante de mim.”

Isaac Newton

Matemática
Música
A arte de experimentar nos caminhos da educação
Multidisciplinaridade
Interdisciplinaridade
Pluridisciplinaridade
conhecer linguagens
relacionar teoria à prática
autonomia intelectual
pensamento crítico
aprender a aprender
flexibilidade
adaptações
metodologias
temas transversais
iniciativa
estímulo
significado das ciências e das artes
art. 35
Interpretações
Deus Pã
Deus Apolo
Deus Mercúrio
A matemática na música
Ilustração de Franchinus Gafurius (Theorica musicae, 1492),
Um pouco de fisiologia
Quanto ao intervalo entre frequências
Quanto aos limites máximos e mínimos de frequências
Quanto à velocidade
Capacidade humana de distinguir dois sons produzidos a um certo intervalo de tempo.
Fenômenos decorrentes:
eco e reverberação
Quanto à intensidade
A percepção varia de pessoa a pessoa.
Compreende-se a infinidade de sons entre duas frequências distintas.
Ouvido humano: [ 20, 22000] Hz
Conceitos e definições
Acústica
Onda
é uma perturbação oscilante de alguma grandeza física no espaço e periódica no tempo.
Som
o som é a propagação de uma frente de compressão mecânica ou onda mecânica.
Refração
Difração
Interferência
Dispersão
Vibração
Polarização
Altura
Intensidade
Timbre
Duração
Eco
Reberberação
Ressonância
O GeoGebra como sintetizador
TocarSom[ <Função>, <Valor Mínimo>, <Valor Máximo> ]
TocarSom[ <Nota>, <Duração>, <Instrumento> ]
TocarSom[ <Sequência de notas>, <Instrumento> ]
TocarSom[ <Tocar (true | false)> ]
Tema comum
Tema comum
Relação de cooperação
Cooperação e diálogo
Ação coordenada
Transdisciplinaridade
Cooperação entre todas as disciplinas e interdisciplinas
Pitágoras de Samos, Grécia
570 a.C. - 495 a.C.
Experiência 7: Timbre
Experiência 4: Séries
Experiência 3: Acordes
Experiência 2: Tubos e Cordas
Experiência 5: Batimento
Experiência 6: Som de Tartini
Experiência 8: Efeito Doppler
Experimento 9: Barreira Sônica
Experimento 10: Placa de Chladni
Experiência 1: Produção de uma nota musical
Objetivo
Executar uma nota musical.
Material
GeoGebra
Procedimento
Subsídio teórico
Tabelas
Roteiro
Experimento
Fotos
Laboratório de informática com o GeoGebra instalado
Um instrumento musical qualquer
ROTEIRO PARA LABORATÓRIO DE COMPUTAÇÃO
Funções Trigonométricas - Fragmento

3a Parte - Pesquisa

Para cada uma das questões a seguir, procure uma função trigonométrica que satisfaça à seguinte condição:

1) Possua amplitude 4.
2) Possua imagem [-1,3].
3) Possua uma frequência maior que a função f(x)=sen(x) .
4) Possua amplitude 4 e período π/4 rad.
5) Possua período de 180 graus e imagem no intervalo [-3,1].

f(x) = A + B.sen(Kx+M)
Execute notas no instrumento com intensidades e alturas diferentes.
Consiste em emitir uma nota musical em um instrumento variando intensidade (amplitude) e altura (frequência).
Conteúdo Programático
Funções trigonométricas
Análise
Observar amplitude, defasagem, frequência e as relações com a música como intensidade e altura. É sugerido que sejam averiguadas as constantes A, B, n e M em que se deve concluir que B é responsável pela intensidade do som (volume) e n pela altura do som (mais grave ou mais agudo). Já A e M não alteram as características do som.
Laboratório de Informáca
f(x) = 2*sen(440*2* pi * x)
TocarSom[f(x),0,3]
Objetivo
Produzir sons harmônicos em tubos e cordas.
GeoGebra
Procedimento
Cordas
Subsídio teórico
Tabelas
Fotos
• Para realizarmos o experimento de busca dos harmônicos em uma corda, vamos manter todas as variáveis fixas e alterar apenas uma das variáveis, mantendo as demais constantes. No caso, iremos fazer variar o tamanho da corda.
• Meça o comprimento de uma corda.
• Emita o som da corda. Escute.
• Divida o comprimento da corda por 2, obtendo assim o 2º harmônico.
• Pressione o dedo nessa posição, a partir do extremo do braço do instrumento.
• Emita o novo som.
• Proceda da mesma forma, dividindo o tamanho original da corda por 3 e por 4.
• Pressione o dedo nessas novas posições e verifique o som dos novos harmônicos.
• Anote o nome das notas que foram emitidas, pesquisando pela posição do dedo no instrumento.
• Faça a leitura das notas ou das frequências onde aconteceram os harmônicos.
• Construa uma tabela identificando os harmônicos pelas frequências.
• Analise e discuta sobre as frequências obtidas.

Objetivo
Gerar um acorde.
Material
GeoGebra
Procedimento
Subsídios teóricos
Roteiro
Um teclado ou qualquer outro instrumento que possa emitir duas notas simultaneamente.
ROTEIRO PARA LABORATÓRIO DE COMPUTAÇÃO
Funções Trigonométricas - Fragmento

3a Parte - Pesquisa

Para cada uma das questões a seguir, procure uma função trigonométrica que satisfaça à seguinte condição:

1) Possua amplitude 4.
2) Possua imagem [-1,3].
3) Possua uma frequência maior que a função f(x)=sen(x) .
4) Possua amplitude 4 e período π/4 rad.
5) Possua período de 180 graus e imagem no intervalo [-3,1].

Chama-se acorde a combinação de duas ou mais notas musicais.
• Emitir uma combinação de dois sons.
• Escolher ao acaso duas notas entre uma oitava, gerando possibilidades.
• Escolher dois pares de sons que se combinem e dois pares de sons que não se combinem. Anotar.

Conteúdo Programático
Séries, logaritmo, sequências, proporção.
Metodologia
Aula expositiva com realização de experimento.
Objetivo
Reproduzir a série harmônica e série de Fourrier.
Material
GeoGebra
Procedimento
Mínimo: um instrumento musical.
Outras variações: instrumentos musicais diversos, instrumentos com possibilidade de alterar a afinação, diapasão, afinador, voz

• Emitir uma nota qualquer no instrumento.
• O estudante deve pesquisar e experimentar o som que mais se aproxime e emitir a mesma nota.

Conteúdo Programático
Séries, gráficos de funções, funções periódicas.
Objetivo
Obter timbres diferentes.
Gerar sons em instrumentos diferentes e identificar qual o instrumento tocado.

Material
GeoGebra
Procedimento
Subsídios teóricos
O jogo
Foto
Diversos instrumentos musicais ou um teclado com sons previamente definidos.
Recurso: voz humana.

• Execute notas de mesma frequência em instrumentos diferentes.
• Identifique qual o instrumento que gerou a nota.

Consiste em após formados grupos com os estudantes de cada grupo um dos participantes é desafiado a identificar o colega que leu uma frase preestabelecida.
Conteúdo Programático
Funções trigonométricas, gráficos, transformações.
Análise
Objetivo
Produzir o efeito de batimento.
Material
GeoGebra
Procedimento
Duas fontes geradoras de frequências
(sugestão: o próprio GeoGebra e um celular com um aplicativo gerador de frequências).
• Emita uma das fontes uma frequência “pura”, por exemplo, 8000 Hz.
• Escute por 3 a 5 segundos e desligue.
• Emita, a seguir, uma frequência, por exemplo, 8015 Hz.
• Escute por 3 a 5 segundos e desligue.
• Ligue ambos ao mesmo tempo e escute a interferência das ondas, gerando o que é chamado de batimento.
• Varie as frequências e verifique frequências em que o batimento se torna mais evidente

Conteúdo Programático
Transformações trigonométricas.
Metodologia
Aula expositiva experimental participativa
Objetivo
Produzir experimentalmente o som de Tartini.
Material
GeoGebra
Procedimento
Duas fontes geradoras de frequências
• Execute uma frequência mais alta, por exemplo, 2300 Hz e uma segunda com valor de 2500 Hz.
• Observe a formação de um terceiro som, resultado da diferença entre as frequências.
• Procure duas frequências que atendam à possibilidade de ouvir um terceiro som.
• Elabore para tais frequências a curva envoltória.
• Gere o terceiro som mais uma vez usando as mesmas frequências e observe se o som da curva envoltória calculada coincide com o som percebido.

Conteúdo Programático
Transformações trigonométricas.
Objetivo
Realizar em sala o efeito Doppler.
Material
GeoGebra
Avaliação
Subsídio teórico
Fotos
Livre
Considere a velocidade do som no ar 340 m/s e:

1) escreva a função que descreve a velocidade do som no ar.

2) defina a função que descreve o deslocamento do som em determinado tempo.

3) se percebemos a claridade de um raio e ouvimos o trovão 3 segundos após, calcule a distância em que ocorreu o fenômeno.

4) considerando um observador parado e uma fonte sonora emitindo uma frequência de 440 Hz, se aproximando a uma velocidade de 144 km/h.
a) calcule a frequência ouvida pelo observador.
b) após a fonte ter passado pelo observador, calcule a nova frequência do afastamento.

5) sejam observador e fonte, ambos em movimento de aproximação com velocidades de 20 m/s e 40m/s, respectivamente, em que a fonte emite uma frequência de 500 Hz. Calcule as frequências antes e depois da ultrapassagem.


Conteúdo Programático
Trigonometria, ondas, funções trigonométricas, senóide, movimento de gráfico, cinemática, função afim.
Metodologia
Trabalho em grupo.
Objetivo
Apresentar um seminário constando texto escrito, experimento prático e utilização do GeoGebra, sobre Barreira Sônica.
Material
GeoGebra
Fotos
Livre
Conteúdo Programático
Função afim.
Metodologia
Seminário
Fotos
Conclusão
Banco de arquivos do GeoGebra
Agradecimentos
Fotos Material
Conteúdo Programático
Trigonometria, séries, logaritmos, sequências, progressão geométrica.
Procedimento
O.A. GeoGebra
• Defina a espessura do tubo. Anote.
• Defina o comprimento do tubo. Anote.
• Altere na função trigonométrica f(x) = B*cos(n*2*pi*x), B e n de forma a coincidir nos limites do tubo as amplitudes máximas. Anote B e n.
• Continue o procedimento para achar os 3 primeiros harmônicos.
• Escolha uma nova espessura, anote e identifique novamente os 3 primeiros harmônicos.
• Faça isso para, pelo menos, três espessuras diferentes.
• Recomece, então, mantendo uma mesma espessura e variando o comprimento do tubo, novamente encontrando os três primeiros harmônicos e novamente para três comprimentos diferentes.
• Monte uma tabela com as espessuras, comprimentos e harmônicos encontrados.
• Analise e discuta os resultados encontrados.


Procedimento
Tubos
• Escolha um tubo.
• Sopre-o de forma a gerar um harmônico.
• Gere outros harmônicos. Anote quantos harmônicos foram gerados.
• Escute o som emitido.
• Faça uma tabela que relacione o tamanho do tubo, a espessura e a observação da altura (grave ou agudo) do som emitido.



Material
Um instrumento de corda com possibilidade de alteração do tamanho. Por exemplo: violão, violino, bandolim, cavaquinho.
Trena ou fita métrica.
Tabela contendo o nome das notas no instrumento escolhido ou aplicativo para leitura das frequências.
Tabela 1: frequências de cada nota.
Tabela 2: nome das notas no instrumento escolhido.

Material
Tubos de PVC de comprimentos e espessuras diversas.

Material
Sala de informática com o programa GeoGebra instalado nos computadores.
Objeto de aprendizagem criado no GeoGebra e disponibilizado.
Giuseppe Tartini, Pirano, Itália.
1692 - 1770
François Marie Charles Fourier
Besançon, França
1772 - 1837
Johann Christian Andreas Doppler Salzburgo, Áustria
1803 - 1853)
Ernst Florenz Friedrich Chladni
Wittenberg, Alemanha
1756 - 1827
No Efeito Doppler ocorre a percepção de uma frequência relativa, que é diferente da frequência de emissão da onda.
Ressonância
Vibração
Magia
Tecnologia
Matemática
Música
Ciência que investiga relações entre entidades definidas abstrata e logicamente.
(FERREIRA, Aurélio B. H. 1986. Dicionário da Língua Portuguesa)
Arte e ciência de combinar sons de modo agradável ao ouvido.
(FERREIRA, Aurélio B. H. 1986. Dicionário da Língua Portuguesa)
Fotos
Fotos
Jogando com os timbres
Foto
Foto
“A música é um exercício oculto de aritmética de uma alma inconsciente que lida com números”
Leibniz
Amplitude
Frequência
Intensidade
Velocidade
Timbre
Revista Superinteressante. Novembro 2014
Experimentos sugeridos
Toalha molhada.

Estalo do chicote.
Curiosidade
Fascínio
Fórmulas
Hipóteses
Pesquisa
Força criadora
Lógica
A Matemática de Alguns Experimentos Sonoros
Educação não se faz apenas com conhecimentos e com livros. Muito dela é feita com o coração.
Orientador: Prof. Dr. Vinícius Moreira Mello
Coorientador: Prof. Dr. Perfilino Eugênio Junior
É uma referência ao intervalo microtonal definido por Pitágoras.
Músicos costumam dividir cada tom em 9 comas.
Δƒ
Banco de Arquivos
Disponibilizados em:
http://www.ciadamatematica.com.br
http://www.geogebratube.org
A Matemática de Alguns Experimentos Sonoros
Capítulo 1: Matemática e Música
Capítulo 2: GeoGebra como Sintetizador
Capítulo 3: Experimentos Sonoros
Elementos básicos e conceituais.
Som no GeoGebra.
10 experimentos para o ensino da trigonometria na matemática básica.
Para cada experimento:
conteúdo,
construção no GeoGebra e
prática.
Subsídios teóricos
Subsídios teóricos
Estrutura da Apresentação
Matemática e Música
GeoGebra como Sintetizador
Experimentos Sonoros
Recortes dos experimentos.
Aproximações
Música Porto. Dori Caymi. Interpretação: MPB4. Gráfico construido no aplicativo Free Audio Editor. Fonte: o autor.
Salvador refletida. Foto e arte: o autor.
Porto dos Tainheiros - Salvador. Foto: Gabriel Ormuz
Versão 3.2
Fragmentos.
Musical Instrument Digital Interface é uma especificação para sintetizadores que impõe vários requisitos para além da norma MIDI.
É um código aberto de programação em Java para a música sem as complexidades do MIDI.
A Matemática de Alguns Experimentos Sonoros
Propor a utilização de experimentos para o ensino da matemática na matriz curricular da 1ª a 3ª séries do ensino médio, voltados em primeira instância à trigonometria, envolvendo a música como elemento motivador.
Objetivo
Estrutura do Trabalho
Utilizar o programa GeoGebra como elemento facilitador da aprendizagem.
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