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Introducción al Cálculo del Valor en Riesgo

Concepto del VaR - Metodos paramétricos y no paramétricos para calcular el Var de un activo y de un portafolio - Extensiones del VaR: volatilidad no constante
by

Dafner Gonzales López

on 27 September 2012

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Transcript of Introducción al Cálculo del Valor en Riesgo

Value at Risk Se pretende responder:
¿Cuánto podemos perder con una probabilidad de (1- alfa)% en los próximos N días?
VaR

Es la máxima pérdida esperada para un activo o portafolio en un horizonte de tiempo determinado(N) y un nivel de confianza determinado (1- alfa)%
No necesariamente da información sobre posibles ganancias. Métodos para calcular el VaR de un activo. Paramétricos:
Modelo Normal
No Paramétricos:

Simulaciones históricas. Supongamos que usted es un administrador de un portafolio de un activo con una:

Rentabilidad media - 15%
Desviación estándar - 20%
el portafolio se encuentra valorado hoy:
Valor inicial (Vo) = 100 millones.


con un 99% de confianza ¿Cuál es la máxima pérdida posible al final del año? (Media - Varianza)

Los métodos paramétricos implican suponer una distribución o modelo que sigue el comportamiento del valor del portafolio. Por ejemplo: Aplicación.
R(t+i) - N(15%(20%)^2)
MEDIA:

E(Vf) = E(Vo(1+Rf)) ------valor esperado del rendimiento
donde Rf es rendimiento futuro.

E(Vf) = Vo*E(1+Rf) ------Vo es conocido.

E(Vf) = Vo(1+E(Rf)) ------para nuestro caso, dado que E(R(t+i)) = 15%

E(Vf) = Vo(1+u)
E(Vf) = 100(1+15%) = 115 --------valor medio del portafolio Aplicación.
R(t+i) - N(15%(20%)^2)
VARIANZA:

Var(Vf) = Var(Vo(1+Rf)) = Var(Vo*Rf)
Var(Vf) = Vo^2*Var(Rf) -------Varianza del valor del portafolio.

Raiz(Var(Vf)) = Raiz(Var(Rf)) ------desviación estándar.

Raiz(Var(Vf)) = 100*Raiz(Var(Rf))
Raiz(Var(Vf)) = 100*20% = 20 -------desviación estándar del valor del portafolio. Vf del portafolio seguirá:

Una distribución normal con media de 115 millones.
Una desviación estándar de 20 millones.

Vf - N(115(20)^2)


Vc --- el valor corte con una probabilidad del 1% ayudará a encontrar el VaR de la siguiente manera: Nivel de Confianza --- 99%
alfa (1-99%) --- 1%
Media --- 15%
Desviación estandar --- 20%
Valor inicial (Vo) --- 100
Valor medio (Monto) --- 115
Desviación estándar (Monto) --- 20

Aplicando en excel:

Vc = Distr.Norm.Inv(alfa,Vm,De(Monto)) = 68.47
VaR = Vo - Vc = 100 - 68.47 = 31.53

sólo existe un chance de 100 de obtener una pérdida anual mayor a 31.53 millones cuando el mercado se encuentra en condiciones normales. Vo(1+R1),Vo(1+R2)...Vo(1+Rn) ----- valor del portafolio bajo una serie de rendimientos ----R1,R2,...,Rn.

Ejem:
250 dias -datos - rendimientos - escenarios
Vo de 100 millones - portafolio

con un 99% de confianza ¿Cuál es la máxima pérdida posible al final del próximo día? Portafolio bajo escenarios distintos se resuelve de la siguiente manera:

Vo(1+R1)
Vo(1+R2)
.
.
.
Vo(1+R250)

Esto permitirá tener una distribución de los posibles valores futuros del portafolio a partir de rendimientos empíricos. Para hallar Vc:

primero se ordena de menor a mayor el "portafolio bajo diferentes escenarios"

Luego:
250/1% = 2.5 = 2.

quiere decir:
el Vc corresponde al portafolio que garantice que únicamente existen dos portafolios con menor valor que él. En este caso corresponderá al tercer escenario ordenado, pues este garantiza que dos observaciones están por debajo de él

Vc = 99.309

Por tanto:
VaR = Vo - Vc
= 100 - 99.309 = 0.691

quiere decir:
sólo existe un chance de 100 de obtener una pérdida diaria mayor a 691 mil si el mercado se encuentra en condiciones normales. Métodos para calcular el VaR de un portafolio. Paramétrico
No
Paramétrico (Media - Varianza - Covarianza)

Cuando consideramos un portafolio conformado por más de un activo, tendremos que tener en cuenta no sólo los rendimientos esperados y sus correspondientes desviaciones estándar, sino también las relaciones que existen entre ellas.
Por ejemplo: σ supongamos que contamos con 3 activos:

A1 - A2 - A3 ------cada uno con con media y

varianzas Asi mismo tendremos la matriz de varianza y covarianza para cada uno de los 3 portafolios; Vo de cada activo corresponde:

q1 - q2 -q3 Entonces: Rendimiento esperado del portafolio corresponderá al promedio ponderado de las rentabilidades esperadas de cada uno de los activos, es decir: También es fácil demostrar la varianza del rendimiento de portafolio: Aplicando en excel tenemos la formulación de la siguiente manera:

=MMULT(MMULT(q1q2q3,u1u2u3),TRANSPONER(q1q2q3))

para que nos de el resultado se debe presionar simultáneamente la tecla "ctrl+shift" y enter. Luego se obtiene la desviación estándar del rendimiento del portafolio de la siguiente manera:

RAIZ(Var(Rportafolio) = resultado expresado en porcentajes. Para obtener el Valor medio del Portafolio:

E(Vf) = Vo(1É(Rportafolio))

Por tanto la desviación estándar del Portafolio:

Vo*RAIZ(Var(Rf)) En conclusión Tendremos que el valor final (Vf) del portafolio, seguirá una distribución normal con media y desviación estándar:




Vf - N((E(Vf))(VoRaiz(Var(Rf)^2))) Supongamos que contamos con 3 activos:

A1 - A2 - A3

La participación de cada uno de los 3 activos corresponde a:
q1 - q2 - q3

Cuenta con una serie lo suficientemente grande de los rendimientos para cada uno de los 3 activos:

R11 R12 R13
R21 R22 R23
M M M
Rn1 Rn2 Rn3------- donde "n" son los diferentes
escenarios de rendimientos. Ejemplo:

Tenemos 250 observaciones de la rentabilidad diaria de 3 activos.
Vo de 100 mil
q1 q2 q3 = (0.4 , 0.25 , 0.35) Aplicando excel para el dia 1 de la siguiente manera:

= Vo((q1(1+Act1))+(q2(1+Act2))+(q3(1+Act3)))

donde:

Vo-------valor inicial lo cual va presionado con F4
q1-------representa la participación del activo en el portafolio, lo cual va presionado con F4
(1+Act1)--- es el rendimiento diario que se presenta en relación al activo.
Por último para hallar Vc:

primero se ordena de menor a mayor, luego se aplica:

250/1% ------- Vc= 99.46

Por tanto:
VaR = Vo - Vc
= 100 - 99.46 = 0.5348

Esto quiere decir:
sólo existe un chance de 100 de obtener una pérdida diaria mayor a 534.8 mil si el mercado se encuentra en condiciones normales. Extensiones del VaR: Volatilidad constante. Consideraremos la posibilidad de que la volatilidad de los rendimientos varíe en el tiempo Volatilidad Histórica: Promedio Móvil La varianza cambiará de acuerdo a la información que se va acopiando en los últimos m dias:

donde corresponden a la varianza estimada para el periódo t y la media de los rendimientos ambos calculados a partir de los últimos m datos.

Como normalmente los rendimientos diarios exhiben una media muy cercana a cero, supondremos que esta es cero y por tanto tenemos que: Ejemplo:
Se presenta el cálculo de la varianza diaria para periodos:

una semana (m=5)
dos semanas (m=10)
un mes (m=20)
dos meses (m=40)


Nos piden hallar la opción que describa de mejor forma la variabilidad de los rendimientos diarios de la Tasa Representativa del Mercado (TRM). Se puede emplear una medida de bondad de ajuste, conocida como la Raíz del Error Cuadrado - Root Mean Squared Error: Donde T corresponde al número total de observaciones consideradas. Esta medida recoge la diferencia que existe entre cada valor estimado y el observado, de tal manera que un RMSE menor será considerado mejor que uno grande. En nuestra tabla se reporta el cálculo del RMSE para nuestro ejemplo. En este caso, tenemos que el menor RMSE corresponde a la media móvil que considera un periodo de una semana. Promedio Móvil con ponderaciones Exponenciales (RiskMetrics) El EWMA (Exponential Weighted Moving Average) pondera de manera diferente cada observación de tal forma que asigna mayor peso a las observaciones más recientes.

La varianza en el momento t será: Donde es una parámetro que se debe escoger por medio de un proceso de optimización. JP Morgan emplea en su RiskMetrics un de 0.94 para datos diarios y 0.97 para dtos mensuales. Esto implica: Es decir, la varianza de hoy ser igual veces la volatilidad del día anterior más el cuadrado de la rentabilidad del día anterior. ¿Como predecir la Volatilidad a partir del EWMA? Modelos Univariados de series de tiempo con Varianza no constante. Modelo ARCH: relajn al supuesto de la volatilidad constante y permiten detectar cambios en la volatilidad de acuerdo a patrones preestablecidos en la historia de la serie.
Su objetivo es pronosticar la variabilidad de los rendimientos y no tanto el rendimiento per se.

La varianza condicional estimada para el periodo T+1 (fuera de la muestra) viene dad por:
y por tanto la rentbilidd en T+1 seguirá una distribución con media estimada dad por y varianaza condicional es decir:
Ejemplo de un ARCH:

Consideremos la tasa de cambio nominal diaria (pesos por dolares) en Colombia para los año 2000 a 2003. Para este activo el Modelo ARCH es:
Ahora supongamos que la rentabilidad en el día T es excepcionalmente alta, por ejemplo 5%; en este caso tendremos que la varianza condicional para el periodo T+1 será:
Donde la varianza condicional de la innovación viene dad por: Modelo GARCH(p.q) : Otro modelo muy empleado es el de heteroscedasticidad condicional auto-regresiva generalizado. En este caso tenemos que: Donde la varianza condicional se supone que seguirá el siguiente patrón: con p,q,alfa,beta>=0 y alfa0>0. Noten que este modelo es una generalización del modelo ARCH donde la varianza condicional depende no solo de los p cuadrados anteriores de las innovaciones, sino también de los q valores pasados de la misma varianza. Modelo TARCH : Un modelo poco menos usado pero mucho más potente. Intenta capturar la presencia de comportamientos asimétricos en la varianza, es decir, a rentabilidades negativas se asignan mayores varianzas condicionales con respecto a rentabilidades positivas. En este caso el modelo corresponde a: Donde la varianza condicional se supone que seguirá el siguiente patrón: Modelo TARCH Multivariado: Proporciona una estructura más rica que en el caso univariado; sin embargo, el número de parámetros que hay que estimar crece rápidamente y obliga a introducir ciertas hipótesis ad hoc, tanto para facilitar la estimación como para garantizar ciertes características deseadas en la matriz de varianzas y covarianzas Por simplicidad, consideremos dos activos, en este caso un modelo multivariado GARCH(1.1) corresponde a: Así, la correspondiente matriz de varianzas y covarianzas condicional corresponde a:
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