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calculo: series finitas e infinitas

presentacion con informacion y ejemplos
by

alex moreno

on 26 November 2012

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Transcript of calculo: series finitas e infinitas

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Images from Shutterstock.com series finitas e infinitas Definición de Serie Series infinitas historia & biografías
introducción De la escuela de los matemáticos griegos, Eudoxo (408−355 a. C.) usó el método exhaustivo, el cual prefiguraba el concepto de límite, para calcular áreas y volúmenes, mientras que Arquímedes (287−212 a. C.) desarrolló más allá su idea inventando un método heurístico que se asemeja al cálculo infinitesimal. Euxodo Arquímedes El período antiguo introdujo algunas de las ideas del cálculo integral, pero no parece haber desarrollado estas ideas en una manera rigurosa o sistemática.

En el cálculo de áreas y volúmenes, la función básica del cálculo integral puede ser rastreada en el tiempo hasta los papiros matemáticos de Moscú que datan del año 1890 a.C, en los que un egipcio calculó satisfactoriamente el volumen del tronco de una pirámide. El método exhaustivo fue más tarde usado en China por Liu Hui en el siglo III a. C. para encontrar el área de un círculo. En el siglo V d. C., Zu Chongzhi usó lo que más tarde sería llamado la “teoría de los indivisibles” por el matemático italiano Bonaventura Cavalieri para encontrar el volumen de una esfera. Oresme, en su obra Quaestiones, estudió ciertas series infinitas y logró demostrar el resultado de la suma de sus términos, así como su carácter convergente. Considérese las siguientes sucesiones: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128;
1-x+x²-x³+x⁴-x⁵+x⁶-….+ (-1)n+1 x n-1 . En la primera, cada número es igual al que lo procede multiplicado por 2, y en la segunda, que se ha obtenido dividiendo 1 entre 1+x, cada termino es igual al que lo precede, multiplicando por –x. Las sucesiones (₁) y (²) se llaman series, la serie (₁) es finita.
La serie (²) es infinita si ∞. Definición: Serie es la suma de un límite ilimitado de términos cuya formación sigue determinada ley.
Las series difieren de los polinomios en que estos son una suma limitada de términos, y aquella no. Todas las Progresiones son series.
Termino General: En la serie (²), en el enésimo termino (-1)n+1 x n-1, se llama termino general; de él puede deducirse tantos términos de la serie como se quisieran haciendo variar n de 1 a ∞.
Diferentes clases de series: Hay series de términos constantes como (₁) y series términos variables, cómo (²). Entre las series de términos constantes, se distinguen las series cuyos términos son de signos iguales, positivos o negativos, y series de términos cualesquiera, ya sean estos alternados, o bien se presenten en un orden cualquiera.
Las series pueden ser, además, convergentes, divergentes y oscilantes. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + • • lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio: .
El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que n crece indefinidamente. Una secuencia o cadena finita, tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo.
Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos. Sumas Parciales
Para cualquier secuencia de números racionales, reales, complejos, sus funciones, etc., la serie asociada se define como la suma formal ordenada:



La sucesión de sumas parciales asociada a una sucesión está definida para cada como la suma de la sucesión desde hasta :
. Series finitas

Sucesión es una secuencia ordenada de números u otras cantidades, y serie es la suma de todos los términos de dicha secuencia.
Una sucesión se representa como a1, a2 …, an … Las a son números o cantidades, distintas entre sí o no; a1 es el primer término, a2el segundo, y así sucesivamente. Si el último término aparece en la expresión, es una sucesión finita; si no aparece es infinita. Una sucesión es definida o establecida si y sólo si existe una regla dada que determina el término n-ésimo correspondiente a un n entero positivo; esta regla puede estar dada por la fórmula del término n-ésimo. Por ejemplo, todos los números enteros positivos, en su orden natural, forman una secuencia infinita definida por la fórmula an=n. La fórmula an = n2 define la sucesión 1, 4, 9, 16 … La regla de empezar con 0 y 1 y calcular cada término como la suma de los dos términos anteriores define la sucesión 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 …; que se conoce como sucesión de Fibonacci.
La teoría y el uso de las series infinitas son importantes en prácticamente todas las ramas de las matemáticas tanto, puras como aplicadas. Progresión aritmética Los números naturales 1, 2, 3, 4 forman una progresión aritmética de razón 1. Los números 22, 19, 16, 13, 10, 7 están en progresión aritmética de razón -3. Para calcular la suma de los términos de una progresión aritmética, se multiplica la suma del primer y el último término por la mitad del número de términos. De este modo, la suma de los diez primeros números naturales es (1 + 10) × (10 : 2) = 55.
Usando el lenguaje algebraico, una progresión aritmética se escribe como a0, a0 + d, a0 + 2d, a0 + 3d, … donde tanto el término a0—conocido como el término cero— como la razón d son números arbitrarios. El término enésimo de esta progresión—generalmente escrito como an— está dado por la siguiente fórmula: an = a0 + n d. La suma de los términos de a0 a an es: 1 (n + 1) (a0 + an).
Progresión geométrica Sucesión de números tales que la proporción entre cualquier término (que no sea el primero) y el término que le precede es una cantidad fija llamada razón. Por ejemplo, la secuencia de números 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 es una progresión geométrica con razón 2; y 1, 1, 3, 7, 9, >, … (1)i, es una progresión geométrica con razón 1. La primera es una progresión geométrica finita con siete términos; la segunda es una progresión geométrica infinita. En general, una progresión geométrica se puede describir utilizando la siguiente notación: a es el primer término, la razón es r y, en una progresión finita, n es el número de términos. Una progresión geométrica finita se escribe formalmente como y una progresión geométrica infinita como En general, si el término enésimo
de una progresión geométrica es an,
se deduce de la definición que Si el símbolo Sn representa la suma de los
n primeros términos de una progresión
geométrica, se puede comprobar que matemático francés, considerado uno de los impulsores del análisis en el siglo XIX. Nació en París y estudió en la Escuela Politécnica de esta ciudad. Fue profesor simultáneamente en el Colegio de Francia, en la Escuela Politécnica y en la Universidad de París. En 1848 fue nombrado profesor de astronomía matemática de esa universidad.
Cauchy verificó la existencia de funciones elípticas recurrentes, dio el primer impulso a la teoría general de funciones y sentó las bases para el tratamiento moderno de la convergencia de series infinitas. También perfeccionó el método de integración de las ecuaciones diferenciales de primer grado. En el campo de la física se interesó por la propagación de la luz y la teoría de la elasticidad.
Cauchy, Augustin Louis matemático alemán conocido por sus muy diversas contribuciones al campo de la física, especialmente por sus estudios del electromagnetismo.
a los 17 años comenzó a interesarse por las matemáticas e intentó dar una solución al problema clásico de la construcción de un heptágono regular, o figura de siete lados, con una regla y un compás. No solamente consiguió probar que esto era imposible, sino que siguió aportando métodos para construir figuras de 17, 257 y 65.537 lados.
un teorema, que ha sido un desafío para los matemáticos durante siglos, se sigue denominando teorema fundamental de álgebra. Su tratado sobre la teoría de números, Disquisitiones arithmeticae (1801), es una obra clásica en el campo de las matemáticas.




Gauss, Carl Friedrich oresme
En esta presentación a las series finitas e infinitas
notaremos ejemplos sobre las series finitas e infinitas y un poco de las personas que han dedicado el estudio de las series. gracias
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