Loading presentation...

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Make your likes visible on Facebook?

Connect your Facebook account to Prezi and let your likes appear on your timeline.
You can change this under Settings & Account at any time.

No, thanks

Liczbowy wszechświat: 3. Galaktyka wymierna

No description
by

Michał Korch

on 22 March 2016

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of Liczbowy wszechświat: 3. Galaktyka wymierna

układ całkowity
Matematyka dla ciekawych świata
Liczbowy wszechświat
Michał Korch, MIMUW
Cz. 3. Galaktyka wymierna
Matematyka wyborcza
Proporcjonalność
Art. 96, p. 2.
"Wybory do Sejmu są powszechne, równe, bezpośrednie i
proporcjonalne
oraz odbywają się w głosowaniu tajnym"
2051 głosów
do przydzielenia 7 mandatów
1050

504

497
rozszerzona metoda Sainte-Laguë
2001
:1,4
:3 :5 :7
750 350 210 150
360 168 101
354 166 100
13850 głosów
5 mandatów
metoda d'Honta
6000
5700
1950
:1 :2 :3 :4
6000 3000 2000 1500
5700 2850 1900
1950 975
5100
2150
6400
6400 3200 2133 1600
5100 2550 1700
2150 1075
3
2
0
2
1
Czy w ogóle możliwe jest przeprowadzenie wyborów w sposób proporcjonalny?
Nie! Liczby całkowite to uniemożliwiają!
wybory przewodniczącego sawanny
12

9

7

4

3

2

12

9

7

4

3

2

12
9
7
4
3
2
12

9

7

4

3

2

12
9
7
4
3
2
12+4+2
9+7+3
=18
=19
12

9

7

4

3

2

x3 x2 x1
36
27
12+18+21=51
9+12+3+2=26
14+8+9+4=35
24+7+4+6+6=47
12

9

7

4

3

2

12-9-7=-4
9-12-4=-7
7-3-2=2
4
3
2
12

9

7

4

3

2

12
9
7
4
3
2
5
9
16
25
12

9

7

4

3

2

12 : 9+7+4+3+2=25
9 : 12+7+4+3+2=28
9+7=16 : 12+4+3+2=21
9+4=13 : 12+7+3+2=24
7+4+3=14 : 12+9+2=23
Liczby wymierne
p/q
Q
p - całkowita
q - całkowita różna od zera
Liczby wymierne formalnie
Relacje
Dany pewien zbiór. Relacja to jakiś zbiór par elementów tego danego zbioru
Samochód A jest w relacji z samochodem B jeśli mają ten sam kolor.
np.:
Człowiek A jest w relacji z człowiekiem B jeśli A jest ojcem B.
Relacja jest
relacją równoważności
, jeśli:
zwrotna
symetryczna
przechodnia
Zasada abstrakcji.
Relacja równoważności generuje podział zbioru.
klasa abstrakcji
klasa abstrakcji
Jak zrobić liczby wymierne z liczb całkowitych?
Będziemy definiować relację na zbiorze par liczb całkowitych, z których druga nie jest zerem.
To jest relacja równoważności.
Liczby wymierne to klasy abstrakcji tej relacji.
Będziemy oznaczać (a,b) jako a/b. I możemy zdefiniować, co to znaczy dodawanie i mnożenie.
np.:
Czy liczby wymierne da się zakwaterować w hotelu Hilberta?
Tak...
Ale jak to zrobić?
1/1 1/2 1/3 1/4 ...
2/1 2/2 2/3 2/4 ...
3/1 3/2 3/3 3/4 ...
4/1 4/2 4/3 4/4 ...
... ... ... ...
0 1 2 3 4 5 6 7 ...
1 2 1/2 1/3 3 4 3/2 2/3 ...
Czyli |N|=|Q|.
Czyli wszystkie liczby naturalne da się ustawić w pary ze wszystkimi liczbami wymiernymi.
Pytanie: czy da się je tak ustawić w pary, żeby jeśli
n stoi w parze z p
oraz
m w parze z q
, to
n<m wtedy i tylko wtedy p<q
?
Nie!
Bo jeśli 0 ustawimy w parze z liczbą p, to liczba wymierna p-1 nie ma z kim stanąć w parze.
Ale wiemy też, że |N|=|Z|. Czyli też |Q|=|Z|.
Czyli wszystkie liczby
całkowite
da się ustawić w pary ze wszystkimi liczbami wymiernymi.
A czy to da się zrobić zachowując porządek?
Też nie!
Liczby wymierne są:
gęste
czyli pomiędzy dwoma różnymi liczbami wymiernymi zawsze jest jakaś trzecia liczba wymierna.
to:
bo:
-1
0
p
q
(p+q)/2
To nie koniec podróży...
nie jest liczbą wymierną
Dlaczego?
Załóżmy, że jest:
i załóżmy, że ten ułamek jest skrócony, czyli że p nie jest podzielne przez żadny dzielnik q
sprzeczność!
Ciało
+
zbiór, na którym zdefiniowano
.
łączne
przemienne
rozdzielność
zero
istnieje element oznaczany z reguły przez 0, że dla każdego a
jedynka
istnieje element oznaczany z reguły przez 1, że dla każdego a
elementy przeciwne
dla każdego elementu a istnieje element przeciwny b
odwrotności
dla każdego niezerowego elementu a istnieje odwrotność b
Q
Liczby wymierne są ciałem!
N
Z
{0,1,2}
operacje modulo 3
+ 0 1 2
0
0 1 2
1
1 2 0
2
2 0 1
0 1 2
0
0 0 0
1
0 1 2
2
0 2 1
.
przeciwne
0
0
1
2
2
1
odwrotne
0
-
1
1
2
2
Full transcript