Loading presentation...

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Make your likes visible on Facebook?

Connect your Facebook account to Prezi and let your likes appear on your timeline.
You can change this under Settings & Account at any time.

No, thanks

Liczbowy wszechświat: 4. Supergomada rzeczywista

No description
by

Michał Korch

on 6 October 2016

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of Liczbowy wszechświat: 4. Supergomada rzeczywista

galatyka wymierna
Matematyka dla ciekawych świata
Liczbowy wszechświat
Michał Korch, MIMUW
Cz. 4. Supergromada rzeczywista
Nie wszystkie liczby są wymierne...
nie jest liczbą wymierną
Dlaczego?
Załóżmy, że jest:
i załóżmy, że ten ułamek jest skrócony, czyli że p nie jest podzielne przez żaden dzielnik q
sprzeczność!
R
...
Ciągi
1 1 1 1 1 1 1 1 ...
1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 ...
1 -1/2 1/3 -1/4 1/5 -1/6 1/7 ...
0 1/2 3/4 7/8 15/16 ....
0 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
1 1,4 1,41 1,414 1,4142 1,41421...
rosnący
każdy kolejny element jest większy lub równy poprzedniemu
rosnący
ograniczony
z góry
żaden element
nie jest większy
od pewnej danej
liczby
ograniczony
Cauchy'ego
jeśli dla każdej liczby naturalnej n>0 od pewnego miejsca dowolne dwa wyrazy ciągu różnią się nie więcej niż o 1/n
Augustin Louis
1789-1857
kryterium Cauchy'ego
metoda Cauchy'ego
rozkład Cauchy'ego
twierdzenie podstawowe Cachy'ego
Cauchy'ego
Fakt.
Ciąg rosnący i ograniczony z góry jest zawsze ciągiem Cachy'ego.
liczb wymiernych
Liczby rzeczywite to
granice
wszystkich możliwych rosnących i ograniczonych z góry ciągów liczb wymiernych.

Relacja
dwa rosnące, ograniczone z góry ciągi liczb wymiernych są w relacji jeśli ich przeplot jest ciągiem Cauchy'ego
1 1 1 1 1 1 ...
0 1/2 3/4 7/8 ...
1 0 1 1/2 1 3/4 1 7/8 1 ...
To jest relacja równoważności.
Formalnie liczby rzeczywiste to klasy abstrakcji tej relacji.
Liczba
g
jest
granicą
danego ciągu, jeśli dla każdej liczby naturanej n>0 wszystkie wyrazy ciągu od pewnego miejsca różnią się od
g
o co najwyżej
1/n
mają granicę
"są zbieżne"
1
0
1
1
1-1/3=0,667
4
2,667
1-1/3+1/5=0,867
3,467
1-1/3+1/5-1/7=0,724
2,895
1-1/3+1/5-1/7+1/9=0,835
3,340
1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11=0,744
2,976
1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13=0,821
3,284
1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15=0,754
3,017
1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15+1/17=0,813
3,252
1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15+1/17-1/19=0,760
3,042
1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15+1/17-1/19+1/21=0,808
3,232
1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15+1/17-1/19+1/21-1/23=0,765
3,058
1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15+1/17-1/19+1/21-1/23+1/25=0,805
3,218
1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15+1/17-1/19+1/21-1/23+1/25-1/27=0,768
3,070
Podziwu godna liczba Pi
trzy koma jeden cztery jeden
.
Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe
pięć dziewięć dwa
, ponieważ nigdy się nie kończy.
Nie pozwala się objąć
sześć pięć trzy pięć
spojrzeniem,
osiem dziewięć
obliczeniem,
siedem dziewięć
wyobraźnią,
a nawet
trzy dwa trzy osiem
żartem, czyli porównaniem
cztery sześć
do czegokolwiek
dwa sześć cztery trzy
na świecie.
Najdłuższy ziemski wąż po kilkunastu metrach się urywa.
Podobnie, choć trochę później, czynią węże bajeczne.
Korowód cyfr składających się na liczbę Pi
nie zatrzymuje się na brzegu kartki,
potrafi ciągnąć się po stole, przez powietrze,
przez mur, liść, gniazdo ptasie, chmury, prosto w niebo,
przez całą nieba wzdętość i bezdenność.
O, jak krótki, wprost mysi, jest warkocz komety!
Jak wątły promień gwiazdy, że zakrzywia się w lada przestrzeni!
A tu dwa trzy piętnaście trzysta dziewiętnaście
mój numer telefonu twój numer koszuli
rok tysiąc dziewięćset siedemdziesiąty trzeci szóste piętro
ilość mieszkańców sześćdziesiąt pięć groszy
obwód w biodrach dwa palce szarada i szyfr,
w którym słowiczku mój a leć, a piej
oraz uprasza się zachować spokój,
a także ziemia i niebo przeminą,
ale nie liczba Pi, co to to nie,
ona wciąż swoje niezłe jeszcze pięć,
nie byle jakie osiem,
nie ostatnie siedem,
przynaglając, ach przynaglając gnuśną wieczność
do trwania.
Liczby z nieskończonym rozwinięciem po przecinku
To tak naprawdę granica ciągu.
np.:
0,3 0,33 0,333 0,3333 0,33333 ....
1/3
czyli
0,3333....=1/3
ale w takim razie czasem trzeba uważać:
1,59 1,599 1,5999 1,59999 ....
1,6
czyli
1,599999....=1,6
=1,60000....
czyli w tym wypadku liczba ma więcej niż jedno możliwe nieskończone rozwinięcie po przecinku
czy w rozwinięciu występuje jakiś konkretny ciąg cyfr?
np. 0123456789
tak
(1997)
zaczyna się na
17387594880
miejscu
stosunek
obwodu koła
do jego średnicy
P=
....
1PLN
100% rocznie
2
2,25
2,44
2,61
2,69
2,71
2,71
e
2,718281828459...
Fakt.
jest niewymierna
(Lambert)
Johann Heinrich
1728-1777
prawo Lamberta
szereg Lamberta
twierdzenie Lamberta o paraboli
Wręcz
jest
przestępna
nie ma równania
w postaci wielomianu
ze współczynnikami
wymiernymi
, które ta liczba spełnia.
żadne równanie w stylu:
mając odcinek 1cm nie da się przy pomocy cyrkla i linijki skonstruować odcinka o długości cm
Kwadratura koła jest niemożliwa!
e
Rozkład normalny
1!=1
2!=2
3!=6
4!=24
5!=120
6!=720
2
2,5
2,667
2,708
2,717
2,718
e
....
A może w takim razie wszystkie nieskończone zbiory są równoliczne?
I tak dalej. Istnieje
liczba p
należący do wszystkich tych coraz mniejszych odcinków.
|N|<|R|
Nie!
Dowód
niewprost:
Skupmy się na odcinku [0,1]. I załóżmy przeciwnie, że wszystkie liczby z tego odcinka udało się zakwaterować w hotelu Hilberta.
0
1
1/3
2/3
Dzielimy odcinek na trzy części.
Bierzemy tę z nich, w której nie ma .
Wybrany odcinek znów dzielimy na trzy części.
Bierzemy tę z nich, w której nie ma .
Wybrany odcinek znów dzielimy na trzy części.
Bierzemy tę z nich, w której nie ma .
...
p
....
p nie jest na tej liście
Sprzeczność!
Zbiór Cantora
Iteracyjnie dzielimy odcinek
na 3 i wyrzucamy środkową część.
...
Każdy punkt w zbiorze Cantora ma swój ares będący
nieskończonym ciągiem zer i jedynek
.
0 1 1 0 1 0...
lewy prawy prawy lewy prawy lewy ...
Czy wszystkie nieskończone ciągi 0 i 1 (a więc wszystkie punkty zbioru Cantora) da się zakwaterować w hotelu Hilberta?
Załóżmy przeciwnie:
0
1
2
3
4
...
spórzmy na przekątną i zróbmy na złość.
0 0 1 1 1 0 0 0 ...
0 1 0 0 1 0 0 0 ...
1 1 1 0 0 0 1 0 ...
0 0 0 0 1 0 0 1 ...
1 1 0 1 0 0 0 0 ...
...
1 0 0 1 1 ...
w ten sposób na n-tym miejscu
gwarantujemy, że nasz ciąg jest inny niż ten w n-tym miejscu!
Czyli nie ma go w tabelce!
Sprzeczność!
P(N)
zbiór wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych
{ , , }
A=
P(A)=
,{ }, { }, { },
{ , }, { , }, { , },
{ , , }
{ }
Każdy podzbiór liczb naturalnych można zakodować ciągiem zero-jedynkowym
{2, 3, 5, 7, 11, ...}
0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, ...
a zatem podzbiorów liczb naturalnych jest tyle, co nieskończonych ciągów zerojedynkowych.
|N|<|P(N)|
Twierdzenie Cantora
Niech A będzie dowolnym zbiorem.
|A|<|P(A)|
|N|=|Z|=|Q|
zbiory przeliczalne
|P(N)|=|[0,1]|=|R|
>
zbiory mocy continuum
Georg
1845-1918
przestrzeń Cantora,
twierdzenie Cantora, zbiór Cantora, funkcja Cantora
ojciec teorii mnogości
Pytanie: Czy istnieje nieskończony zbiór, który nie jest przeliczalny, ale ma mniej elementów niż zbiory mocy continuum?
Hipoteza continuum: Nie istnieje.
Tw. Cohen, Goedel
(lata 60-te)
Jeśli matematyka jest
niesprzeczna
,
to
nie rostrzyga
hipotezy continuum.
z aksjomatów matematyki nie da się udowodnić ani hipotezy continuum, ani jej zaprzeczenia
(o ile są one niesprzeczne)
Tw. Goedla
Na gruncie matematyki
nie da się wykazać, że jest ona niesprzeczna.
Nieskończenie wiele (bardzo nieskończenie wiele) nieskończoności.
I to też nie koniec. Świat matematyki rozciąga się
niesamowicie nieskończenie daleko.
problemy Hilberta
Międzynarodowy Kongres Matematyków,
Paryż 1900
...
Nieskończoność! Żadne inne pytanie nie poruszyło tak głęboko duszy człowieka.
David Hilbert
e
jest
niewymierna
i
przestępna
Nie!
"Liczba pi"
W. Szymborska
Full transcript