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Integración de Ecuaciones

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by

Gabriela Solano

on 23 December 2013

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Transcript of Integración de Ecuaciones

Fórmula del trapecio para n subintervalos:

Sea I(h) el valor de la integral que aproxima a: entonces:
CAMBIO DE VARIABLE
Existen dos tipos de datos que se pueden presentar para la integración numérica, a través de una tabla de valores o mediante una función. De esta forma cada uno de estos datos tiene su manera de ser evaluados, aunque hay que tomar en cuenta que si se nos presenta una tabla tabulada, se limita el número de puntos a analizar, mientras que si se presenta una función se pueden generar infinitos valores en f(x).
Para analizar casos en donde se tiene una función, existes dos técnicas que aprovechan la ventaja de poder generar distintos valores para poder dar solución a distintos problemas, estas son:

• La primera técnica de basa en la extrapolación de Richardson, método combina dos estimaciones numéricas de la integral a obtener y conseguir un tercer valor más exacto. El algoritmo computacional para poder implementar esta extrapolación toma el nombre de integración de Romberg.
• El segundo método lleva como nombre Cuadrada de Gauss. Los valores a emplear para este método se encuentran entran entre a y b de una integral definida, de esta manera se puede tomar una estimación más exacta de dicha integral.

Finalmente en el caso de integrales impropias (integrales con límites infinitos), se pueden analizar mediante cambios de variables y fórmulas de integración abierta.

Introducción
Integración de Ecuaciones
Las fórmulas particulares de cuadratura de Gauss descritas en esta sección se denominan fórmulas de Gauss-Legendre. A través del método de coeficientes indeterminados podemos encontrar la técnica de integración de la cuadratura de Gauss.
La ecuación se expresa como:

I= Co f(a)+ C1 f(b)


Tomando en cuenta que ab>0. Por lo tanto se puede presentar que a sea positiva y be infinito, o a es menos infinito y b es negativa. Si los límites son desde -∞ a un valor positivo o desde un valor negativo a ∞, la integral se la puede integrar por dos partes.
La siguiente identidad trabaja con cualquier función decreciente de cero, conforme x se aproxime a infinito:
Las fórmulas abiertas de aplicación múltiple se pueden combinar en formulas cerradas para los segmentos interiores y fórmulas abiertas para los extremos.
Si se combina la regla del trapecio de segmentos múltiples y la regla del punto medio se obtiene:

MÉTODO DE INTEGRACIÓN DE ROMBERG
INTERGRALES IMPROPIAS
Escuela Superior Politécnica del Chimborazo
Facultad de Informática y Electrónica
Escuela de Ingeniería Electrónica en Control y Redes Industriales
CUADRATURA DE GAUSS
Mejor Estimación de la Integral
Ahora observe que la regla del trapecio deberá dar resultados exactos cuando la función que se va a integrar es una constante o una línea recta


Al sustituirse en la ecuación
original nos da:

I=(b-a)/2 f(a)+(b-a)/2 f(b)

Equivalente de la regla del
trapecio


Resolviendo tenemos:

Co=C1=(b-a)/2
Desarrollo de la fórmula de Gauss-Legendre de dos Puntos

Así como en el caso anterior para la obtención de la regla del trapecio,
el objetivo de la cuadratura de Gauss es determinar los coeficientes de una ecuación de la forma :
Las integrales impropias se caracterizan por tener su límite inferior -∞ y/o un límite superior +∞. Normalmente hemos estado acostumbrados a resolver este tipo de integrales haciendo un reemplazo en los límites que tienden a infinito, transformando los límites infinitos a finitos.
Es posible desarrollar fórmulas semiabiertas en caso donde uno u otro extremo del intervalo es cerrado. Una fórmula para el límite inferior abierto y cerrado en el superior seria:
REGLA EXTENDIDA DEL PUNTO MEDIO
Esta fórmula se basa en los límites de integración que están en h/2 después y antes del primer y del último dato respectivamente.
EJEMPLO:
La distribución normal acumulativa es una fórmula importante de estadística:
Fórmulas con más puntos
Donde x=(y-y ̅)/s_y se llama la desviación estándar normalizada, la cual representa un cambio de variable para escalar la distribución normal, de tal forma que esté centrada en cero y la distancia a lo largo de la abscisa se mida en múltiplos de la desviación estándar.
La ecuación representa la probabilidad de que un evento sea menor que x. Por ejemplo, si x = 1, la ecuación se utiliza para determinar la probabilidad de que ocurra un evento que es menor que una desviación estándar por arriba de la media, es decir N(1) = 0.8413. En otras palabras, si ocurren 100 eventos, aproximadamente 84 serán menores que la media más una desviación estándar.

IN
TE
GRAN
TES
Erika Taday
Caroline Jara
Janeth Yumbillo
Henry Lema
Alejandra Castillo
Gabriela Solano
¡
G
r
a
c
i
a
s
!
Para entender el método, es conveniente pensar que se trabaja en niveles de aproximación. En un primer nivel aplicamos la regla del Trapecio, al segundo nivel se usa la fórmula que conoceremos posteriormente después pasamos al tercer nivel de aproximación , pero aquí cambia la fórmula de Romberg, y así sucesivamente hasta el último nivel, que se alcanza cuando solo contamos con una pareja del nivel anterior. Para que este método funcione, el integrando debe ser suficientemente derivable en el intervalo, aunque es posible evaluar el integrando en puntos no equiespaciados, en ese caso otros métodos como la cuadratura gaussiana o la cuadratura de
Clenshaw–Curtis
son más adecuados.
DIAGRAMA ESQUEMÁTICO:

FÓRMULA GENERALIZADA DE ROMBERG:


EJERCICIO APLICANDO EL MÉTODO DE ROMBERG
Usar el algoritmo de Romberg, para aproximar la integral
usando segmentos de longitud 1,1/2,1/4
El método de extrapolación de Richardson combina dos aproximaciones de integración numérica, para obtener un tercer valor más exacto.
El algoritmo más eficiente dentro de éste método, se llama Integración de Romberg,
Se ha visto que el error que se comete con la regla del trapecio para n subintervalos está dado por las siguientes fórmulas:
Si suponemos f" es constante, entonces:
Sustituyendo en la primera igualdad
De aquí podemos despejar E(h2)
En el caso cuando
(que es el algoritmo
de Romberg)
Esta fórmula es solo una
parte del algoritmo de Romberg
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