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Espacios Vectoriales

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by

Mariana Sánchez

on 11 November 2012

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Transcript of Espacios Vectoriales

ESPACIOS VECTORIALES Definición de Vector El término vector se aplica
a una amplia variedad de objetos,
principalmente a cantidades que
representan magnitudes y dirección,
ya sea un fuerza, una velocidad o
una distancia. Definición de
Espacio Vectorial APLICACIÓN EN LA VIDA
DIARIA Un espacio vectorial es una estructura algebraica
creada a partir de un conjunto no vacío, una
operación interna (suma) y una operación externa (llamada producto por un escalar), con 8
propiedades fundamentales. Nuestro mundo son vectores, aunque no nos hayamos dado cuenta antes. Desde abrir una puerta hasta caminar de un lado a otro en nuestros hogares. El término vector también se usa para describir
entidades como matrices, polinomios o funciones. Propiedades Las propiedades se dividen en las que corresponden a la suma y las que corresponde a la multiplicación por un escalar. Suma de Vectores 1) Asociativa: (u+v)+w = u+(v+w)
2) Conmutativa: v+u=u+v.
3) Existe un elemento neutro, el vector 0 , tal que 0+ v = v para cualquier vector v.
4) Para cada vector v existe un elemento opuesto, –v, que sumado con él da 0 . Producto Vector por Escalar 5) Asociativa: β ( α v )=( β α ) v
Distributivas:
6) Respecto de la suma de escalares: (α+β) v = αv +v β
7) Respecto de la suma de vectores: α(u + v) = αu +αv
8) Existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que 1· v = v para cualquier vector v. EJEMPLO [SUMA DE VECTORES] Teniendo las matrices A= [ 3 5 ] , B= [ 8 4 ] y C= [ 4 1 ] comprobar:

La propiedad conmutativa:
A + B= B + A
[ 3 5 ] + [ 8 4 ] = [ 8 4 ] + [ 3 5 ]
[ 11 9] = [ 11 9 ]
La propiedad con valor neutro :
A + 0 = A
[ 3 5 ] + [0 0] = [ 3 5]
La propiedad asociativa
(A + B ) + C = A + ( C + B )
([ 3 5 ] + [ 8 4 ]) + [ 4 1 ] = [ 3 5] ( [8 4] + [4 1] )
[ 11 9 ] + [ 4 1] = [ 3 5] + [12 5]
[ 15 10] = [15 10]
La propiedad con elemento opuesto
A + (-A) = 0
[ 3 5 ] + [ -3 -5] = 0
0 = 0 EJEMPLO PRODUCTO POR ESCALAR SUMA DE VECTORES Recorrido entre varios puntos de la Universidad. PRODUCTO DE VECTORES Lunes = ¿Cuanto es el recorrido de
un edificio a otro? 2 Y 3 DIMENSIONES Se pueden tener vectores que se encuentren en dos o tres dimensiones: Comprobando cada una de las propiedades:

Asociativa: β ( α v )=( β α ) v

2[4(2,3)] = [ 2(4)] (2,3) ]
2(8,12)=8(2,3)
(16,24)=(16,24)

Respecto a la suma de escalares: (α+β) v = αv +v β

(4+3)(2,5)=[4(2,5)]+[(2,5)3]
7(2,5)=(8,20)+(6,15)
(14,35)=(14,35)

Respecto a la suma de vectores: : α(u + v) = αu +αv

3[(2,1)+(7,4)]=3(2,1)+3(7,4)
3(9,5)=(6,3)+(21,12)
(27,15)=(27,15)

Elemento unidad: el escalar 1, tal que 1• v = v

1(3,6,9)=(3,6,9)
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