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APLICAÇÕES DO CÁLCULO NUMÉRICO NA ENGENHARIA CIVIL_PRIMEIRO TRABALHO

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Natan Yamaguti

on 25 January 2017

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Transcript of APLICAÇÕES DO CÁLCULO NUMÉRICO NA ENGENHARIA CIVIL_PRIMEIRO TRABALHO

Análise Estrutural pelo Método de Elementos Finitos (MEF)
Porque a escolha do tema?
Caso a ser resolvido – Deslocamento horizontal numa barra submetida a um esforço normal
Método iterativo
APLICAÇÕES DO CÁLCULO NUMÉRICO NA ENGENHARIA CIVIL
O que é o método dos elementos finitos?
O método de elementos finitos nada mais é do que um método numérico baseado em múltiplas iterações e resolução de matrizes de sistemas lineares aliado a métodos analíticos da teoria da elasticidade, que por vezes podem ser simplificados, transformando o problema em um caso de resolução puramente numérica (baseada em aproximações e erros estimados aceitáveis).
Aplicações
• Problemas não lineares;
• Estáticos ou dinâmicos;
• Mecânica dos sólidos;
• Mecânica dos fluidos;
• Eletromagnetismo;
• Transmissão de calor;
• Filtração de meios porosos;
• Campo elétrico;
• Acústica;

Alguns exemplos
Obrigado
Lucas Matheus do Nascimento
RA: 591920


Natan Juniti Yamaguti
RA: 592099
Vê-se que a área de estudo dos métodos de elementos finitos é ampla e vem crescendo a cada dia, de modo que existem divisões muito específicas e profundas já a respeito desse estudo. Conseguimos nesse trabalho simplificar um problema de engenharia civil estrutural utilizando hipóteses para a resolução e montagem das análises dos casos, que fazem com que ele seja possa ser resolvido apenas numericamente.
O método dos elementos finitos dentro área da engenharia civil
Hipóteses adotadas
1. O material da barra é considerado perfeitamente elástico;
2. O material da barra é considerado homogêneo;
3. O material da barra é considerado isotrópico
4. As deformações da barra são consideradas pequenas.
Obs: Cargas concentradas geram o resultado exato esperado e cargas distribuídas geram um resultado aproximado ao do real, por meio desse método e hipóteses adotadas.

Por fim...
Os métodos de elementos finitos são utilizados como meio de obter numericamente respostas aceitáveis de problemas que seriam muito complexos ou impossíveis de serem resolvidos analiticamente. Além disso, diminui o tempo de teste e barateia o custo final do produto, o que o faz muito disseminado entre as engenharias. Começou sendo aplicado em problemas da engenharia civil e resistência dos materiais e hoje possui incontáveis aplicações em problemas de diversas áreas. Também vêm sendo mais estudados e aprimorados conforme os anos passam, confirmando que suas aplicações são não apenas aceitáveis, como confiáveis.
Modelamento matemático
Sendo F1 e F2 esforços normais aplicados a essa barra, u1 e u2 os deslocamentos horizontais que os pontos A eB sofrerão e L o comprimento da barra podemos obter as seguintes relações:

u(A) = u1
u(B) = u2

Obtemos as seguintes equações pois sabemos que os deslocamentos serão funções do primeiro grau dependentes dos deslocamentos:

u1 = a.0 + b  b = u1
u2 = a*L + b  a = (u2 – u1)/L
u(x) = (u2 – u1)*x/L + u1

Conhecemos a Lei de Hooke, na qual:
Tensão = módulo de Young*desformação do material

Obtemos então, a partir das relações ao lado:
e
E como:

Tensão = Força/área
Podemos escrever então que:
Como a barra está em equilíbrio, sabemos que a somatória no eixo x das forças será nula, de modo que F1 + F2 = 0, o que acarreta que F1 = -F2.
E podemos escrever esse sistema linear conforme as matrizes:
Pode ser interpretada como:

Vetor força = matriz rigidez * vetor deslocamento

De modo que a partir de três nós é necessário fazer uma compatibilização de dados na matriz rigidez conforme o exemplo a seguir:
Matriz rigidez para três nós
Podemos entender o modo como as matrizes rigidez são compatibilizadas no ponto mediano entre os três pontos. Teremos dois trechos e uma matriz rigidez para cada trecho, de modo que o último elemento da matriz anterior de um trecho de passagem tem de ser somado com o primeiro elemento da matriz do próximo trecho, já que esse mesmo nó é solicitado tanto pelo trecho que o procede como pelo qual o procede.
Desse modo é possível realizar cálculos de vários trechos, utilizando ao máximo as possibilidades que a resolução por métodos numéricos nos proporciona. Um maior número de iterações torna a resolução do problema exatamente igual a real ou nos fornece uma aproximação confiável e aceitável do que de fato ocorre na estrutura.
Algoritmo para a resolução de uma matriz pelo método de Gauss
Queremos resolver o sistema dado através do método de eliminação de Gauss. Para isso, seguimos o seguinte algoritmo:
a) Construção do sistema triangular superior equivalente.

Para k = 1, ..., n-1, faça

Para i = k+1, ... , n, faça

Para j = k, ..., n+1
b) Calcular a solução do sistema triangular superior através do algoritmo:
Para i = (n-1), (n-2), ..., 1 faça
A partir disso podemos reescrever o sistema na forma equivalente triangular superior, de forma a achar as soluções do problema desenvolvido.
Sobre a resolução do caso apresentado
Podemos ter que resolver o caso com diferentes tipos de enunciado e informações dadas, mas sempre será possível resolver o sistema de equações se as hipóteses forem seguidas e as características, solicitações ou deformações forem fornecidas. Esse tipo de resolução fica dependente de sempre precisarmos achar uma grandeza, sendo que as outras são dadas. Assim, sempre será possível aplicar o método de Gauss para achar a solução do sistema linear de modo numérico.
Tema abordado
Um caso possível de aplicação do método desenvolvido
Deformações relativas a esforços normais em barras de estruturas hiperestáticas
Suponha uma barra engastada em sua parte superior suportando quatro plataformas, conforme o desenho a seguir:
Qual será o deslocamento final de cada um dos apoios (nós) da barra onde estão anexadas as plataformas?
Programação e algoritmo para modelamento do problema em linguagem C
Condições adotadas para o problema
Barra de seção variável submetida a carregamentos normais devido a força do peso dos objetos e das pessoas sobre a plataforma, além do peso da própria plataforma em si;
São fornecidos os pesos, seções, comprimentos e módulo de elasticidade da barra de aço = 200 GPa;
Método de resolução será igual ao mostrado anteriormente, porém com cinco nós, formando uma matriz ampliada do sistema de 5x6;
Condição de contorno: deslocamento da barra no engaste (nó 1) = 0,00m.
C
Demonstração do programa
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