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La parábola en la Ingeniería

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luis enrique lopez oblitas

on 4 December 2014

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La parábola en la Ingeniería
La Parabola
En matemáticas, una parábola es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta. Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz, y un punto exterior a ella llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.
La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, son parábolas las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de la gravedad .

Elementos de la Parábola
a) Vértice(V):Es el punto deintersección de la parábola con el eje de simetría.
b) Foco(F):Es el punto fijo, situado sobre el eje de simetría a “p” unidades del vértice.
c) Ejedesimetría(l1): Recta perpendicular a la directriz l y que pasa por el vértice y el foco.
d) Cuerda(CE):Es el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la parábola.
e) Directriz(l):Recta fija, perpendicular al eje de simetría l1.
f) Cuerdafocal(AB):Segmento de recta que une dos puntos de la parábola pasando por elfoco.
g) LadoRecto(LR):Es una cuerda focal perpendicular al eje de simetría.
h) RadioVector(PF):Segmento de recta que une el foco con un punto de la parábola.

Ecuaciones de la parábola
Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de las formas geométricas basado en ecuaciones y coordenadas.
Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2 donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».

Ecuación general de una parábola
Hasta ahora se han descrito parábolas con sus ejes paralelos a alguno de los ejes de coordenadas. De esta forma las fórmulas son funciones de x ó de y. Pero una parábola puede tener su eje inclinado con respecto a un par de ejes de coordenadas ortogonales.

La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es:

si y sólo si

y los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente nulos
Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar un sistema de referencia en el que la ecuación anterior se exprese mediante una fórmula algebraica de la forma
, donde a es distinto de cero.

Aplicaciones de la Parábola en la ingeniera
Otras definiciones
Una parábola es una curva con dos brazos abiertos cada vez más, simétrica con respecto a la recta que pasa por el foco y perpendicular a la directriz. Esta recta se llama eje de simetría y el punto donde esta recta intercepta a la parábola se llama vértice.
Secciones cónicas
 Circunferencia.
 Elipse.
 Parábola.
 Hipérbola.

Ecuación reducida de la parábola
Semejanza de todas las parábolas
Todas las parábolas son semejantes, es únicamente la escala la que crea la apariencia de que tienen formas diferentes.
Dado que la parábola es una sección cónica, también puede describirse como la única sección cónica que tiene excentricidad . La unicidad se refiere a que todas las parábolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma, salvo su escala.
Desafortunadamente, al estudiar analíticamente las parábolas (basándose en ecuaciones), se suele afirmar erróneamente que los parámetros de la ecuación cambian la forma de la parábola, haciéndola más ancha o estrecha. La verdad esque todas las parábolas tienen la misma forma, pero la escala (zoom) crea la ilusión de que hay parábolas de formas diferentes.
Un argumento geométrico informal es que al ser la directriz una recta infinita, al tomar cualquier punto y efectuar la construcción descrita arriba, se obtiene siempre la misma curva, salvo su escala, que depende de la distancia del punto a la directriz.

Tangentes a la parábola
La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección.
Uso de las propiedades de las tangentes para construir una parábola mediante dobleces en papel.
Un resultado importante en relación a las tangentes de una parábola establece:
La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección.
Llamemos F al foco de una parábola, P a un punto cualquiera de la misma y T a la proyección de este sobre la directriz. Sea MP la mediatriz del triángulo FPT, el cual es isósceles por ser iguales las distancias FP y PT, como se ha visto.Luego MP biseca al ángulo FPT, restando verificar si es tangente a la parábola en el punto P.
Sea Q otro punto de la parábola y sea U su proyección en la directriz. Puesto que FQ=QU y QU<QT, entonces FQ<QT. Dado que esto es cierto para cualquier otro punto de la parábola, se concluye que toda la parábola está de un mismo lado de MP, y como la desigualdad es estricta, no hay otro punto de la parábola que toque a la recta MP, esto quiere decir que MP es la tangente de la parábola en P.

Las aplicaciones prácticas son muchas: las antenas,satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco.
La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar.
Un ejemplo un poco más cercano a nuestras vidas es la aplicación de la teoría de parábolas,en la construcción de puentes de alta resistencia. En la figura adjunta,el cable toma una forma parabólica por dos razones: soporta su propio peso,y el del puente en sí. Esta curvatura se vuelve más notoria conforme avanza más al centro.
Otro claro ejemplo es la trayectoria de una pelota que rebota es una sucesión de parábolas.
Conclusiones
En la Ingeniería es frecuente el uso de las parábolas, ya sea en una construcción de un puente o ya sea en la fabricación de una antena parabólica y otras cosas, la cual requiere la creación de nuevas estructuras matemáticas. La realización de simulaciones acertadas desemboca a veces en una más profunda comprensión de fenómenos físicos y biológicos fundamentales. Esa comprensión luego se contrasta con datos reales, lo cual crea una interacción dinámica entre la matemática y las otras ciencias.
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