Loading presentation...
Prezi is an interactive zooming presentation

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Make your likes visible on Facebook?

Connect your Facebook account to Prezi and let your likes appear on your timeline.
You can change this under Settings & Account at any time.

No, thanks

Jak zmierzyc?

No description
by

Michał Korch

on 18 March 2017

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of Jak zmierzyc?

Matematyka dla ciekawych świata
Część 1I. Jak zmierzyć?
Michał Korch, MIMUW
Nieskończone sumy
1/2+1/4+1/8+1/16+... =
1
Szereg geometryczny:
a + aq + aq + aq + .... =
a=q=1/2
q<1
2 3
a(1-q/1-q)
2
a(1-q/1-q)
3
a(1-q/1-q)
n
a/1-q
np. 2+2/3+2/9+2/27+... =
a=2, q=1/3
3
Co umiemy zmierzyć?
odcinek [a,b] ma długość b-a
punkt ma długość, pole itd. równe 0
prostokąt o boku a i b ma pole ab
nauczyli nas wzoru na pole koła
umiemy policzyć pole jeszcze kilku kształtów
długość łączna dwóch rozłącznych odcinków to suma ich długości, np długość [0,1] [2,4] to 3.
Umiemy zmierzyć tylko wybrane proste rzeczy!
Jakie jest pole tego?
Jaka jest długość zbioru Q?
Co chcielibyśmy umieć zmierzyć?
Wszystko!
miara
Skupmy się na razie na długości zbiorów na prostej.
Chcielibyśmy znaleźć metodę pozwalającą zmierzyć długość dowolnego zbioru na prostej!
Nasze postulaty dotyczące miary na prostej:
1. Odcinek [a,b] ma długość b-a
wnioski: miara punktu oraz zbioru pustego = 0
2. Przesunięcie zbioru nie zmienia jego długości.
3. Miara sumy skończonej liczby parami rozłącznych zbiorów jest sumą ich miar.
A
B
C
D
m(D)=m(A)+m(B)+m(C)
4. Miara sumy nieskończonej liczby parami rozłącznych
zbiorów jest sumą ich miar.
?
0
1
[0,1)=[0,1/2) [1/2,1/4) [1/4,1/8) .....
1=m([0,1))=1/2+1/4+1/8+...
R= .... (-2,-1] (-1,0] (0,1) [1,2) ....
m(R)= 1 + 1 + 1 + 1 + .... =
N= {0} {1} {2} ...
m(N)= 0 + 0 + 0 + ... = 0
Ale:
R to też suma nieskończenie wielu
punktów (mających miarę 0)
a przecież ma mieć miarę nieskończoność
przeliczalnie wiele
continuum wiele
przeliczalnej
Miara Lebesgue'a
wniosek: m(Q)=0
Jeszcze jedno matematyczne pojęcie
{1, 1/2, 1/3, 1/4, ....}
ten zbiór nie ma minimum
Infimum
największe ograniczenie dolne
inf {1, 1/2, 1/3, 1/4, ....} =
0
zauważmy, że umiemy policzyć miarę sumy
przeliczalnej liczby odcinków
m(A)
to infimum wszystkich miar pokryć
zbioru A przeliczalną liczbą odcinków
Zbiór Cantora
Henriego
1875-1941
miara i całka Lebesgue'a
twierdzenie Lebesgue'a
wymiar Lebesgue'a
Kolejne pokrycia długości:
1
2/3
4/9
8/27
16/81
inf = 0
m(zbiór Cantora) = 0
Q
wiemy, że ma wyjść zero
Wiemy, że wszystkie liczby wymierne można ustawić w ciąg:
q , q , q ,....
0 1 2
Pokrycie 1: (q -1/2, q +1/2) (q -1/4, q +1/4) (q -1/8, q +1/8) ... Długość: 2
0 0 1 1 2 2
Pokrycie 2: (q -1/4, q +1/4) (q -1/8, q +1/8) (q -1/16, q +1/16) ... Długość: 1
0 0 1 1 2 2
Pokrycie 3: (q -1/8, q +1/8) (q -1/16, q +1/16) (q -1/32, q +1/32) ... Długość: 1/2
0 0 1 1 2 2
inf = 0
Mroczny slajd
Paradoks Banacha-Tarskiego
Aksjomat wyboru (AC):
1924
Niech będzie dany zbiór X niepustych zbiorów. Istnieje zbiór, do którego należy dokładnie po jednym elemencie ze zbiorów należących do X.
...
Zakładając AC kulę można podzielić na 5 części,
które w wyniku przesunięć i obrotów złożą się w dwie identyczne do początkowej kule
xkcd.com
Stefana Alfreda
1892-1945 1901-1983
przestrzenie Banacha
twierdzenie Banacha
Zbiór Vitaliego
1904 r., E. Zermelo
1. Kolorujemy punkty odcinka [0,1] z zachowaniem następującej zasady: para liczb ma ten sam kolor, jeśli ich różnica jest liczbą wymierną. Uwaga: kolorując skorzystamy z continuum kolorów.
2. Korzystając z aksjomatu wyboru, niech V będzie zbiorem, do którego należy po jednej liczbie pokolorowanej na każdy kolor.
m(V)=?
dla liczby wymiernej q z przedziału [-1,1] niech V będzie zbiorem V przesuniętym o wektor o długości q
q
dla różnych p i q zbiory V i V są rozłączne
p q
V V V V ...
q q q q
0 1 2 3
[-1,2]
[0,1]
bo jeśli r jest w tym odcinku,
to jest pokolorowane na jakiś kolor
a więc jak je przesuniemy o pewną
wymierną liczbę pokryje się ze swoim
przedstawicielem w V
1
m(V)+m(V)+m(V)+m(V)+...
3
sprzeczność!
niemierzalne
niemierzalny
Tak naprawdę nie jest aż tak źle. Żeby skonstruować niemierzalny zbiór
potrzebowaliśmy armaty o nazwie aksjomat wyboru
Więc co możemy bezkarnie zmierzyć?
wszystko
prawie
Zbiory mierzalne
Zbiór A jest
mierzalny
, jeśli dla każdego zbioru E
m(E)=m(A E)+m(E\A)
Tw. Caratheodory'ego
Jeśli ograniczymy się tylko do zbiorów
mierzalnych, nasze postulaty są spełnione.
Pole powierzchni
Nasze rozważania mają sens dla pola powierzchni. Wystarczy do pokrywania zamias sum odcinków brać sumy prostokątów!
Dywan Sierpińskiego
Iteracyjnie dzielimy na 9
kwadratów i wyrzucamy środkowy.
Iteracyjnie dzielimy odcinek
na 3 i wyrzucamy środkową część.
Pokrycia:
0. Kwadrat o boku 1. Pole 1
1. 8 kwadratów o boku 1/3 Pole 8/9
2. 64 kwadraty o boku 1/9 Pole 64/81
3. 512 kwadraty o boku 1/27
Pole 512/729
Pole w n-tym pokryciu:
(8/9)
n
0
Pole pod parabolą
0
a
Pokrywamy prostokątami
Pokrycie n prostokątami

każdy o podstawie:

i wysokości odpowiednio:

czyli polu:
Zatem pole takiego n-tego pokrycia to:
Dobry matematyk potrafi dostrzegać fakty, matematyk wybitny – analogie między faktami, zaś matematyk genialny analogie między analogiami.
Stefan Banach
Full transcript