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Equação de 2º grau - Método de completar quadrados

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by

Paula Eneas Musarra

on 21 June 2014

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Transcript of Equação de 2º grau - Método de completar quadrados

Completar quadrado
Este método segue a mesma ideia do método de Al-Khowarizmi: somar um número para transformar em um quadrado.
Mas ao invés de trabalhar com a geometria vamos utilizar a álgebra e o
trinômio do quadrado perfeito.
Trinômio do quadrado perfeito
As expressões matemáticas que pode ser simplificadas na forma (x + a)² são chamadas de trinômios do quadrado perfeito por representar a área de um quadrado e sempre possuem três termos:
Exemplos de trinômios do quadrado perfeito
x² + 6x + 9 = x² + 2.x.3 + 3² = (x + 3)²
x² + 8x + 16 = x² + 2.x.4 + 4² = (x + 4)²
x² + 10x + 25 = x² + 2.x.5 + 5² = (x + 5)²
x² + 12x + 36 = x² + 2.x.6 + 6² = (x + 6)²
Trinômios com termo negativo
O trinônio do quadrado perfeito também pode ser representado pela expressão (x - a)²
Equação de 2º grau
Método de completar quadrados
(x + a)² = (x + a).(x + a)
= x² + x.a + a.x + a²
= x² + 2.x.a + a²
(x - a)² = (x - a).(x - a)
= x² - x.a - a.x + a²
= x² - 2.x.a + a²
x² - 2x + 1 = x² - 2.x.1 + 1² = (x + 1)²
x² - 4x + 4 = x² - 2.x.2 + 2² = (x + 2)²
x² - 6x + 9 = x² - 2.x.3 + 3² = (x + 3)²
Exemplos:
Resolvendo uma equação de 2º grau
Vamos resolver a equação abaixo pelo método de completar quadrados.
x² + 10.x - 24 = 0
3º Passo
Calcule a raíz quadrada de ambos os lados lembrando que a raíz quadrada de um número positivo tem sempre duas soluções: positiva e negativa.
(x + 5)² = 49
x + 5 = 7
x = 7 - 5
x = 2
x + 5 = -7
x = -7 - 5
x = -12
positiva
negativa
1º Passo
Arrume a equação de modo que todos os termos com x fiquem do lado esquerdo e o termo independe (sem x) do lado direito.
x² + 10.x = 24
2º Passo
Complete o quadrado da expressão da esquerda. Some o mesmo número na direita para manter a expressão verdadeira.
x² + 2.x.5
+ 5²
= 24
+ 5²

(x + 5)² = 24 + 25
(x + 5)² = 49
A solução da equação é: x=2 ou x= -12
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