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Teoria das Estruturas II - Método das Forças

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Transcript of Teoria das Estruturas II - Método das Forças

Teoria das Estruturas II
Cálculo das Estruturas Hiperestáticas Através do Método das Forças

Bibliografia
MARTHA, Luiz Fernando, Análise de Estruturas - Conceitos e Métodos Básicos, ed. Elsiever, 2011
SUSSEKIND, José Carlos, Curso de Análise Estrutural, ed. Globo, 1980


Notas de Aula
ALVARENGA, Rita de Cássia S. S. Teoria das Estruturas II Método das Forças, 2006
FERNANDES, Gabriela ResendeTeoria das Estruturas II Método das Forças,

Sites
http://www.tecgraf.puc-rio.br/~lfm/
http://www.tecgraf.puc-rio.br/etools/metfor/
Como encontrar os Coeficientes de Flexibilidade (dij ):
combinação dos diagramas resultantes da aplicação dos hiperestáticos xi e xj no sistema principal, com os valores arbitrados;
Para quadros planos




Somar uma série de soluções básicas que satisfaçam as condições de equilíbrio mas não satisfaçam as condições de compatibilidade da estrutura original, para, na superposição, restabelecer as condições de compatibilidade.

Escolha do Sistema Principal (SP);
Traçado dos diagramas no sistema principal;
Obtenção dos termos de carga e dos coeficientes de flexibilidade, utilizando o Princípio das Forças Virtuais;
Formulação do sistema de equações de compatibilidade
Obtenção dos hiperestáticos Xi pela resolução do sistema


Como encontrar os Coeficientes de Flexibilidade (dij ):
Para grelhas:




Para treliças:

Como encontrar os Termos de Carga (di0 ):
combinação dos diagramas resultantes da aplicação do carregamento externo e do hiperestático xi (com valor arbitrado) no sistema principal.
Para quadros planos:




O termo da energia de deformação devido ao cisalhamento é geralmente desprezado.

As incógnitas são forças (ou momentos);
Também chamado de Método da Compatibilidade (Equações finais expressam condições de compatibilidade);
Ou ainda chamado de Método da Flexibilidade, (Por envolver coeficientes de flexibilidade em sua solução).

Superposição de casos básicos
Utiliza-se o Sistema Principal (SP) como estrutura para os carregamentos impostos (carregamento externo, hiperestático X1, e hiperestático X2).
O número de casos básicos é sempre igual ao grau de hiperestaticidade total mais um (g +1).

O método das Forças resolve o problema considerando os grupos de condições a serem atendidos pelo modelo estrutural na seguinte ordem:

Condições de Equilíbrio
Condições referentes ao comportamento dos materiais (leis constitutivas)
Condições de compatibilidade

Universidade Federal de Viçosa
Campus de Rio Paranaíba

Profa. Simone R. Campos Ruas
Rio Paranaíba – 30/11/12

Como encontrar os Termos de Carga (di0 ):
Para grelhas:



Para treliças:


OBS.: O vetor termo de carga depende do SP escolhido e da solicitação externa.

di0 = Termo de Carga: deslocamento ou rotação na direção do vínculo eliminado associado ao hiperestático Xi quando a solicitação externa atua isoladamente

Generalizando:

Q = Q0 + Q1X1 + Q2X2

N = N0 + N1X1 + N2X2

M = M0 + M1X1 + M2X2

Determinação dos esforços internos
obtidos através da superposição dos esforços internos dos casos básicos.

A ordem da matriz flexibilidade está relacionada ao grau de hiperestaticidade.

A j-ésima coluna da matriz corresponde aos deslocamentos ou rotações ocorridos devido a aplicação do hiperestático j

A matriz flexibilidade independe do carregamento externo, sendo função apenas do SP adotado.

Por definição, as unidades dos coeficientes de flexibilidade são as unidades de deslocamento ou rotação divididas pela unidade do hiperestático em questão

dij = Coeficiente de flexibilidade - deslocamento ou rotação ocorrida no local i segundo a causa do hiperestático j

Foram rompidos uma quantidade de vínculos (2) que transformou a estrutura em uma estrutura isostática.

A escolha do SP é arbitrária, qualquer estrutura isostática estável é válida.

O número de vínculos que devem ser eliminados para transformar a estrutura hiperestática original em uma estrutura isostática é igual ao grau de hiperestaticidade, g.

Determinação do SISTEMA PRINCIPAL (SP)
Estrutura isostática auxiliar formada a partir da estrutura original

Determinar os esforços utilizando o Método das Forças

Grau de hiperestaticidade total = 2

Seja a estrutura:

Utiliza-se o:
Princípio das Forças Virtuais (PFV)

Quem são X1 e X2 para que qA= 0 e DHB = 0?

chamados de Hiperestáticos

MA e HB esforços associados
aos vínculos eliminados

Hiperestáticos (Xi) – i índice que varia de 1 a g
X1 = MA
X2 = HB

Vetor dos Hiperestáticos

Matrix de Flexibilidade

Vetor dos Termos de carga

Generalizando:

Pode ser reescrito da forma:

Seja o sistema de equações de compatibilidade:

Não acabou o problema!
Tem que calcular os esforços internos!

Sistema com duas equações e duas incógnitas

Superposição dos deslocamentos horizontais do nó B

Superposição das rotações do nó A

Restabelecimento das condições de compatibilidade

Sistemas Principais (SP)

Grau de hiperestaticidade total = 2

Para uma mesma estrutura existem diversos Sistemas Principais

E agora?

Calculam-se as deformações

Índice i - refere-se ao local
Índice j - refere-se à causa da deformação

dij = Coeficientes de flexibilidade

di0 = Termos de Carga

Caso 2

Caso 1

Caso 0

Hiperestático X2 isolado no SP

Hiperestático X1 isolado no SP

Solicitação externa isolada no SP

Superposição de casos básicos


Introdução - Resumo
Hipoestática (movem)

Isoestática (num. eq = num. de incógnitas)

Hiperestáticas (num. eq. <num. de incógnitas)

Introdução - Resumo
Introdução - Resumo
Introdução - Resumo
1. Concepção do modelo estrutural
2. Aplicação das equações de equilíbrio
3. Resolução das equações de equilíbrio
4. Interpretação dos resultados
Objetivo
1. Calcular esforços internos
2. Escolher e aplicar melhor método
Estruturas de Barras (l>>b,h)

Estruturas laminares (e<<l ,l )

Estruturas tridimensionais (l ,l e l tem dimensioes similares)
Classificação da estrutura quanto a estaticidade:
Classificação da estrutura quanto aos elementos componentes:
1

2

1

2

3

Viga: Esforço Normal, Esforço Cortante e Momento Fletor*
Treliça: Esforço Normal
Pórticos Planos: Esforço Normal, Esforço Cortante e Momento Fletor
Pórtico Espacial: Momento Fletor (2), Momento Torçor (1), Esforço Cortante (2), Esforço Normal (1)
Grelhas: Momento Fletor, Esforço Cortante e Momento Torçor
Esforços
Método das Forças
Grau de Hiperestaticidade
Grau de hiperrestaticidade das estruturas (g) é o número total de incógnitas.

g = ge + gi
ge = greu de hiperestático externo
gi grau hiperestático interno

O método dos esforços se caracteriza essêncialmente pela determinação dos esforços em número igual ao grau de hiperestaticidade. Conhecendo estes esforços, que são arbitrados como incógnitas hiperestáticas, determinam-se os diagramas de esforços internos às reações de apoio, através das condições de equilíbrio.

O processo dos esforços pode ser formulado através de diversos teoremas de energia ou explorando mais diretamente o Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV), na geração das condições de compatibilidade, ou então, através da superposição de efeitos com o uso indireto do PTV no cálculo de deslocamentos.
Acácia Fagundes Oliveira Albrecht
Engenheira Civil, UFV - 2007
MBA Gestão Estratégica de Projetos, FUMEC - 2012
Aluna Especial no mestrado em construção Civil, UFMG - 2013

Hipóteses
a. Validade das equações da Mecânica tradicional:


b. Continuidade da Estrutura na deformação


Aplicabilidade das hipóteses da Resistência dos Materias:
lei de Hooke - Tensões são proporcionais às deformações
Lei de Navier - Seções planas permanecem planas quando fletidas
Ma
Va
Ha
A
B

Mb
Vb
Hb
g = gext = 3
Grau de Hiperestaticidade
Exemplos:
Método das Forças
Va
Ha
Vb
A
B
C
D
Vc
Vd
P1
P2
P3
P4
Va
Ha
X1=Vb
A
B
C
D
X2=Vc
Vd
P1
P2
P3
P4
g=5-3
g=2
Estrutura Isostática
A estrutura tornou-se isostática rompendo ao rompermos o vínculo Vb e Vc gerando o sistema principal.
Método das Forças
Método das Forças
Va
Ha
Vb
A
B
C
D
Vc
Vd
P1
P2
P3
P4
X1=1
A
B
C
D
Refere ao Carregamento
(I)
(II)
Na passagem da estrutura (I) para a estrutura (II) foram liberados deslocamentos que não existem, de modo que se devem impor à estrutura do sistema principal (II) as condiçòes de compatibilidade de deslocamentos que se traduzem em ser nulos os deslocamentos na direção dos vínculos rompidos ou das incógnitas X1 e X2 que são denominadas ~
"Hiperestáticas"
Princípio da Superposição de efeitos
A
B
C
D
A
B
C
D
X2=1
Atuação X1=1
Atuação X2=1
P1
P2
P3
P4
Deslocamento em A:
Deslocamento em C:
Matri de flexibilidade
Vetores de termos independentes
Vetores unitários
Va
Ha
Vb
A
B
C
D
Vc
Vd
P1
P2
P3
P4
Refere ao Carregamento
Princípio da Superposição de efeitos
Atuação X1=1
Atuação X2=1
Método das Forças
M0, Q0, N0
E0
M1, Q1, N1
E1
M2, Q2, N2
E2
Obtenção dos esforços finais
1. Determinação do Grau de Hiperestaticidade e montagem do Sistema Principal
2. Traçado do Diagrama de esforços solicitantes no Sistema Principaldevido a atuação das cargas externas e de cada hiperestático em separado
3. Obtenção dos coeficientes de flexibilidade ij e do vetor independente seja por integração numérica, analítica ou com uso de tabelas.
4. Montagem e resolução do sistema de equações de compatibilidade elástica


5. Obtenção dos Esforços Finais


Como encontrar os Termos de Carga (di0 ):
combinação dos diagramas resultantes da aplicação do carregamento externo e do hiperestático xi (com valor arbitrado) no sistema principal.
Para quadros planos:




O termo da energia de deformação devido ao cisalhamento é geralmente desprezado.

Como encontrar os Termos de Carga (di0 ):
Para grelhas:



Para treliças:


Roteiro para o Método das Forças
Introdução
Considerações gerais
Classificação das Estrtuturas quanto a estaticidade e elementos componentes
Definições de estruturas: vigas, treliça, pórtico plano, pórtico espacial, grelha

Aplicações
Método das Forças
As bases do método
Obtenção da matriz flexibillidade
Obtenção coeficientes do vetor independentes (caregamento externo atuante)
Escolha do Sistema Principal
Roteiro para o método método da força



Roteiro para o Método das Forças
Notas de Aula:
Determinação do Grau Hiperestático externo,interno e total
Obrigada.
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