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A vida e injusta

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by

Leandro Aurichi

on 1 November 2013

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Transcript of A vida e injusta

A vida é injusta
quem é o melhor?
A
quaman
B
atman
C
ebolinha
Fizemos uma eleição para decidir quem é o melhor
15 pessoas participam da eleição
6 votam em
A
5 votam em
B
4 votam em
C
Aquaman é eleito o melhor
Então perguntamos qual a ordem de preferência de cada um
6 pessoas prerem A, depois C, depois B
5 pessoas preferem B, depois C, depois A
4 pessoas preferem C, depois B, depois A
Thomas Hare propôs o método
em que eliminamos o pior colocado e transferimos seus votos (sucessivamente)
6 preferem A, depois C, depois B
5 preferem B, depois C, depois A
4 preferem C, depois B, depois A
Assim, 9 preferem B, contra 6
que preferem A
Desta forma, Batman é
o vencedor com 9 votos
Apesar de 10 pessoas preferirem o Cebolinha a ele
Jean Charles de Borda
propôs que déssemos
pontos para os canditatos,
baseados na classificação
deles
A teria 6 x 3 + 5 x 1 + 4 x 1 = 27
B teria 6 x 1 + 5 x 3 + 4 x 2 = 29
C teria 6 x 2 + 5 x 2 + 4 x 3 = 34
Assim, Cebolinha seria
o vencedor, com a maioria
dos pontos
Mas qual é o método
mais justo?
Kenneth Arrow percebeu
o seguinte:
Se queremos uma eleição "justa" devemos pedir
duas coisas:
1 - Se todos preferem X sobre Y, o resultado final
deve refletir isso
2 - Se o resultado final dissesse que X fica acima de Y, tal resultado deveria ser mantido se entrar um candidato Z que não altere as preferências pessoais relativas entre X e Y
Lema dos extremos:
Se o candidato B aparece apenas nos extremos (primeiro ou último) para cada eleitor, então ele fica num dos extremos no resultado final.
Suponha que não. Suponha que, no resultado final, A > B > C. Como, para cada eleitor, B está num dos extremos, podemos trocar a posição A com C, de forma que todos os eleitores votem A < C (sem alterar a posição de B). Pelo axioma 1, temos que A < C no resultado final. Mas, pelo axioma 2, deveríamos continuar a ter A > B e B > C.
Coloque todos os eleitores numa fila. Suponha que todos os eleitores deixam B por último. Um por um, cada eleitor passa B de último para primeiro. Como no final B estaria em primeiro, algum dos eleitores foi o primeiro a mudar a posição de B. Pelo lema dos extremos, tal eleitor mudou B de último para primeiro.
Vamos chamar tal eleitor de pivô de B
Suponha que o pivô de B gostaria que A > C.
Daí ele vota em A > B > C. Suponha que todos os eleitores antes do pivô deixaram B em primeiro, enquanto que todos os depois o deixaram por último.
Como antes do pivô mudar seu voto, o resultado final dava A > B, temos que, pelo axioma 2, mesmo com a mudança, A > B.
Se o pivô mudasse B para primeiro, o resultado final seria B > C. Assim, pelo axioma 2, o resultado final tem B > C mesmo com a escolha do pivô.
Ou seja, se o pivô de B quer
que A > C, basta que ele vote A > B > C
Por isso, dizemos que ele é um ditador de A e C
Note que, pelo axioma 2, não importa onde cada um colocou B
Mas será que ele manda só em AC?
Repetindo o argumento anterior, começando com, por exemplo, C por último, podemos provar que existe um ditador para A e B também
Mas é fácil ver que tal ditador pode influenciar o resultado para A e C também.
Desta forma, os dois ditadores teriam que ser o mesmo eleitor
Como podemos fazer isso para qualquer par de candidatos, concluímos que há um único ditador que manda completamente no resultado final
Bibliografia
Devlin's Angle Blog
Geanakoplos, John. Three brief proofs of Arrow's impossibility theorem - Economic Theory
Apesar de 9, das 15 pessoas acharem que não
De qualquer forma, Kenneth Arrow...
Venceu o Nobel de economia
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