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Matrices y sus aplicaciones en la ingenieria

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Jhonatan Kanashiro

on 17 February 2014

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Matrices y su Aplicación
en la Ingenieria

MATRICES EN LA INGENIERIA
La Ingeniería Civil es una especialidad que nos adhiere a la sociedad mediante el diseño y ejecución de obras, y en el proceso de sus acciones también hace uso de las matrices ya que se utilizan para el diseño de sistemas estructurales en las diversas áreas que ocupa la Ingeniería Civil. Las matrices sirven para resolver sistemas de ecuaciones lineales, estos a su vez tienen múltiples aplicaciones en el área de ingeniería dando lugar a al óptimo manejo de recursos humanos y de materiales monitoreados y controlados desde un sistema de diseño dando así paso a la modernidad y a la ingeniería del futuro.
Matrices y códigos
Los códigos secretos han acompañado a la humanidad desde épocas remotas. Se emplean diferentes términos, para indicar que un mensaje ha sido escrito de manera que en principio sólo el destinatario lo pueda leer. Entre las palabras utilizadas para ello están: codificación, cifrado, encriptamiento,…



Una técnica un poco más sofisticada consiste en el empleo del cifrado en dos pasos. Primero se le aplica al mensaje una sustitución, seguida luego de una transposición.
Para el primer paso consideremos el siguiente cifrado por sustitución:
Como vemos en la Tabla Nº 1, a cada letra de nuestro alfabeto así como al espacio entre letras y a los signos de puntuación más usuales se les ha asignado un número. Esto matemáticamente corresponde a una función f, la cual además es biyectiva, por lo cual es posible efectuar el proceso inverso: pasar de los números a las letras o signos que ellos representan.
Pasemos ahora a un segundo paso o nivel de codificación, multiplicando por la izquierda (premultiplicando) la matriz

Mi que representa al mensaje que queremos codificar, por una matriz C que llamaremos Matriz de Codificación.
C no puede ser cualquier matriz. C debe cumplir dos condiciones:
1. El número de columnas de C debe ser igual al número de filas de Mi.
2. Debe ser posible realizar el proceso inverso, la descodificación, para lo cual C debe poseer inversa. A la inversa C-1 la llamaremos Matriz de Descodificación.

La función f y la matriz C son las claves secretas que permiten codificar (y sus inversas descodificar) cualquier mensaje.

Consideremos el mensaje ACA



Usando C como matriz de codificación, se tiene



Así obtenemos que:






En términos alfabéticos, aplicando la Tabla Nº 1, CM3 es ISP.

Observe que C posee 3 columnas, es igual al número de filas de M1. Además se tiene que:



= =





Luego es la inversa de C:





Volvamos al mensaje ORO, entonces CM1 = =




Si queremos reescribir CM1 en términos alfabéticos, nos tropezamos con el inconveniente de que todas las entradas de la matriz CM1 resultaron números mayores que 30 y, en consecuencia, es inaplicable la Tabla Nº 1. ¿A qué letra corresponde, por ejemplo, 86? ¿Qué modificaciones debemos hacerle a nuestro proceso para solventar esta situación?

Matrices y Números Complejos
En el conjunto de los puntos P del plano, de coordenadas (x,y), podemos definir las operaciones de adición y multiplicación como se indica a continuación:
(a ,b) + (c ,d) = (a+c , b+d) (a , b) (c, d) = (ac-bd , ad+bc).

Estas operaciones cumplen propiedades similares a las operaciones de adición y multiplicación de los números reales: asociatividad, conmutatividad y existencia de elemento neutro para ambas operaciones; existencia de opuesto aditivo y de inverso multiplicativo (si es distinto de (0,0)); y distributividad de la multiplicación respecto a la adición.

Este conjunto de puntos con estas dos operaciones es lo que se conoce como el cuerpo de los números complejos. El punto (0, 0) es el elemento neutro para la adición, mientras que el punto (1, 0) lo es para la multiplicación.

Los números complejos los hemos representado como pares de números de la forma (a , b). Otra manera de representarlos es utilizando la forma binómica a+bi, donde i es la unidad imaginaria, solución de la ecuación x2-1 (que no tiene solución real) y está dada por i = (0, 1).

Matrices y sistemas de Ecuaciones lineales
Un comerciante le dice a un empleado que le cambie en el banco 10 000 bolívares en 150 monedas de Bs 100 y Bs 20.
Denotando por x el número de monedas de Bs 100 requeridas y por y el número de monedas de Bs 20, este simple problema se traduce en resolver las 2 ecuaciones:

100x + 20y = 10 000
x + y = 150

En general, tenemos que un sistema de ecuaciones con dos incógnitas se expresa por:

Aplicación en la Ingeniería
1. DISEÑO ESTRUCTURAL
2. DINAMICA ESTRUCTURAL
3. ANALISIS AVANZADOS
4. MECANICA DE SUELOS
5. PROGRAMACION
6. HIDRAULICA
7. ING. DE TRANSPORTES
Importancia
Importancia de la Matriz:
La importancia de las matrices nos llevan a conocer un sin fin de métodos que nos facilitan algunos problemas matemáticos, ya que las matices representan de forma implícita una particular relación evolutiva. La elección de una matriz determinada puede afectar enormemente al resultado del análisis, y por lo cual es necesario saber utilizarlas Las matrices se usan en cualquier comparación de secuencias. También se utilizan matrices de sustitución para incrementar la sensibilidad en los alineamientos débiles. Estas matrices se basan en observaciones.
Su utilidad principal es como lista de chequeo que incorpora información cualitativa sobre relaciones causa y efecto, pero también es de gran utilidad para la presentación ordenada de los resultados de la evaluación. Se utiliza para varias ramas de la ingeniería, para resolver problemas que se encuentran en muchas dimensiones cuando se tienen problemas que solo se pueden resolver con sistemas de ecuaciones diferenciales se arman matrices con dichas ecuaciones de tal manera que se pueda solucionar ese problema, ejemplos prácticos enfrentan los ingenieros civiles que teniendo sistemas de ecuaciones con muchas ecuaciones las resuelven por métodos matriciales.

* Análisis de estructuras.

* Manejo de informaciones fundamentales.

* Llevar a cabo proyectos de desarrollo sistematizados.

* Un mejor control de perfil técnico.

* Formular una partida teórica de diseños.

* Diseño de puentes, vías, calzadas.

* Área de estudios técnicos
* Resolver sistemas de ecuaciones.

* Almacenamiento de información óptima en sistemas.

* Análisis de precios y costos.
Basicamente sirven para:

* La utilización de matrices constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas (hojas de cálculo, bases de datos).

* Nos llevan a conocer un sin fin de métodos que nos facilitan algunos problemas matemáticos, ya que las matices representan de forma implícita una particular relación evolutiva.

* Cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc.
Conclusiones
En el transcurso del desarrollo del tema se ha podido observar de que la matriz dentro de la carrera de la Ingeniería Civil es usado en muchas aplicaciones por ello su importancia ya que en la acción que se realiza, en los eventos de la construcción ya sean en estructuras, edificaciones y/o diseños se obtiene resultados óptimos en cuanto a la facilitan que brinda en el manejo de informaciones y representar datos al momento de resolver ecuaciones y cálculos matemáticos, para de esa manera también obtener una ingeniería de última calidad y ponernos acorde con los grandes países constructores.
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