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Poliedros y cuerpos de revolución.

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Victoria Brun

on 22 October 2015

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Transcript of Poliedros y cuerpos de revolución.

“El fuego está formado por tetraedros; el aire, de octaedros; el agua, de icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo”. Platón
Historia de los poliedros.
¿Qué es un Poliedro?
¿Qué es un Poliedro Regular?
Tetraedro regular:
Los poliedros regulares son aquellos que tienen sus caras formadas por polígonos regulares y congruentes. En cuyos vértices concurre el mismo número de caras. Es una figura cuyas caras son polígonos regulares y cuyos ángulos poliédricos son todos iguales.
Su nombre alternativo, "sólidos platónicos", se debe a que Platón (427 - 347 a.C.) los cita en el Timeo. Para él, los últimos elementos de la materia son los poliedros regulares.
No se sabe exactamente en qué época llegaron a conocerse los cinco poliedros regulares convexos. Se tiene constancia de que el objeto más antiguo hecho por el hombre con forma de dodecaedro es atribuido a tiempos prepitagóricos.
Sólo existen cinco tipos de poliedros regulares convexos:

Hexaedro regular o cubo:
Octaedro regular:
Dodecaedro regular:
Icosaedro regular:
Elementos de un Poliedro.
Caras.
Son los polígonos que forman el poliedro.
Son regiones poligonales cualesquiera, es decir, pueden ser un cuadrado, un rectángulo, un triángulo, un pentágono, etc.
Caras basales:
Aristas.
Son los segmentos en los que se intersectan (cortan) las caras. Se puede decir también que son los lados de los polígonos que forman las caras del poliedro.
Vértices.
Son las intersecciones de tres o más caras. También se definen como los puntos en que se cortan las aristas.
• Ángulos diedros.
Es la abertura comprendida entre dos caras que se cortan. Hay tantos como número de aristas.

Ángulos poliedros.
Es la abertura que se forma en la intersección dos a dos de varias caras.
¿Por qué son solo 5 poliedros y cómo se construyen?
Teniendo en cuenta la definición de poliedro, sólo existen cinco posibilidades.
¿Por qué?
La respuesta está en la construcción de los vértices.
En un vértice de un poliedro regular confluyen un número fijo de caras poligonales y estas han de ser tres como mínimo porque si son sólo dos, en lugar de un vértice lo que se origina es una arista.
Para formar un vértice con tres caras, podríamos poner tres triángulos:
Para poder cerrar el vértice, además de los pliegues correspondientes, bastará con unir los dos lados celestes:
Lo mismo ocurre para vértices de cuatro y cinco triángulos:
Por lo tanto en un vértice sólo se pueden construir tres, cuatro o cinco triángulos equiláteros.
En resumen, sólo se pueden hacer construcciones en las que confluyan en el vértice 3, 4 o 5 triángulos equiláteros (tetraedro, octaedro e icosaedro), 3 cuadrados (cubo) o 3 pentágonos (dodecaedro).
Para que se pueda hacer el vértice, la suma de los ángulos interiores de los poliedros que confluyen debe ser menor de 360.
°
Gretel López
Rosina Maquieira
Tatiana López
Victoria Brun
Prof. Matilde Marin
Bibliografía:
“El fuego está formado por tetraedros; el aire, de octaedros; el agua, de icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo”. Platón.
Los poliedros son figuras geométricas que disponen de caras planas y que albergan un volumen que no es infinito. El significado de "poli" es mucho y el de "edro" es cara; por lo tanto, poliedro significa "muchas caras".
Se puede decir que un poliedro es un cuerpo sólido y tridimensional.

Poliedros y cuerpos de revolución.

ÉPOCA NEOLÍTICA...
ANTIGUA GRECIA…


El primer hallazgo son yacimientos fue en Escocia, son figuras de barro de aproximadamente 2000 A.C. Se cree que serían elementos decorativos o algún tipo de juego y es evidente que no había ninguna comprensión matemática de estos objetos, pero ya tenían identificados los 5 sólidos.

El origen de los poliedros en la antigua Grecia anteriormente llamados sólidos platónicos, fueron estudiados matemáticamente y surgen allí personas interesadas en cultivar un saber verdadero.
En el año 530 A.C nace la primera escuela matemática de la historia: la escuela pitagórica fundada por Pitágoras de Samos. Fueron los 5 poliedros uno de los problemas que más les inquietó, destacando entre ellos al dodecaedro, nombrándoos por primera vez sólidos pitagóricos.
Fue Empédocles en los años 480-430 A.C quien por primera vez asoció el cubo, el tetraedro, el icosaedro y el octaedro a la tierra, el fuego, el agua y el aire
Luego Platón en los años 447-347 A.C relacionó el dodecaedro con la sustancia de las que estaban compuestas las estrellas, desde entonces los sólidos pitagóricos pasaron a llamarse sólidos platónicos.
En el año 300 A.C quien formaliza y consagra los sólidos platónicos como elementos matemáticos y realiza construcciones de los mismos es Euclides de Alejandría. En su libro “Elementos” demuestra un total de entendimiento de las figuras. Dicha obra la dividió en 13 libros en los que trata figuras, áreas volúmenes, ángulos y todo tipos de construcciones, con demostraciones. Además aporta proposiciones fundamentales, orientadas a construir poliedros regulares inscribiéndolos en una circunferencia y argumentando porqué existen 5 sólidos platónicos en total.


TETRAEDRO: es un poliedro regular formado por cuatro triángulos equiláteros unidos tres a tres.

Poliedros regulares con caras triangulares:

Como el ángulo interior de un triángulo equilátero mide 60°, para que se forme ángulo poliedro podrán concurrir en un vértice 3, 4, o 5 triángulos, ya que la suma de sus ángulos interiores será respectivamente: 3x60°=180°, 4x60°=240°, 5x60°=300°
Si en un mismo vértice concurriesen 6 o más caras, su suma sería 6x60°=360° o más (cuatro rectos o más), lo que impediría la formación del ángulo poliedro.
Poliedros regulares con caras cuadradas.
Los ángulos del cuadrado miden 90°, por lo tanto en un vértice podrán concurrir tres de ellos para formar ángulo poliedro, pues: 3X90°=270°. Si tomásemos cuatro caras cuadradas no se podría formar ningún ángulo poliedro, ya que 4X90°=360°.
Por lo tanto, con caras cuadradas no puede existir más de una especie de poliedros regulares:
Es un poliedro formado por ocho caras, que son triángulos equiláteros unidos de cuatro en cuatro; sus diagonales AB, CE y DF son perpendiculares entre sí.
Es un poliedro formado por veinte caras que son triángulos equiláteros, unidos entre sí de cinco en cinco.
Es un poliedro formado por seis caras iguales cuadradas y unidas tres a tres. Las tres aristas que concurren en cada vértice son perpendiculares entre sí. Tienen sus caras contiguas perpendiculares y sus caras opuestas paralelas.
Es un poliedro formado por doce pentágonos que son sus caras, unidos tres a tres, de tal forma que las caras opuestas son paralelas.
El ángulo interior de un pentágono regular mide 108°, el ángulo poliedro en el que tres caras pentagonales por vértice medirán 3X108°=324°, que es menor que 360°, permitiendo así construir triedros de caras pentagonales regulares. Si fuesen cuatro ya no sería posible ya que 4X108°=432°. De esto se deduce que no existirán ángulos poliedros con cuatro o más caras de esta clase.
El único poliedro regular con caras pentagonales es el llamado:
Poliedros regulares de caras pentagonales
¿Qué es un Poliedro Irregular?
Los poliedros son irregulares cuando los polígonos que lo forman no son todos iguales. Podemos decir entonces que un poliedro irregular está limitado por caras políedricas, que pueden presentar diferentes formas. En este tipo de poliedros, el número de caras no presenta límites como ocurre con los poliedros regulares
Entre los poliedros irregulares encontramos:


PIRÁMIDE: Es un sólido geométrico determinado por una superficie engendrada por una recta generatriz, que está unida a un punto fijo llamado vértice, a la vez que se desliza por una línea poligonal o directriz. La Pirámide tiene base un polígono cualquiera.



Arquímedes estudió ampliamente los poliedros y son los llamados convexos de los cuales son trece, de caras regulares y vértices uniformes, pero no de caras uniformes.



CIVILIZACIÓN EGIPCIA: construyeron pirámides presentando la forma de octaedros cortados a la mitad y es relevante notar cómo comienzan a aparecer en la historia dándole importancia para construir además como por ejemplo un semioctaedro como templo sagrado.


KEPLER: en 1619 creó el pequeño dodecaedro y el gran estrellado uniendo pentagramas.



LOUIS POINSOT: en 1809 descubrió los otros dos poliedros no-convexos regulares, el pequeño icosaedro y el gran dodecaedro, donde los pentágonos se intersectan entre sí. Los sólidos de Poinsot son de hecho duales de los sólidos de Kepler.


Desde entonces hasta SIGLO XX…
AGUSTIN CAUCHY del 1789 al 1857, demuestra que existen sólo cuatro poliedros regulares no convexos. Además en 1813 demuestra, que no es posible cambiar el ángulo diédrico de un poliedro sin que cambien las caras.
EUGENE CATALÁN del año 1814 al 1894, retoma los sólidos platónicos y construye unos nuevos modificando la condición de los polígonos regulares.
LUDWING SCHAFLI desde 1814 a 1895 inventa una notación combinatoria de poliedros y descubre los polítopos.
HENRI POINCARÉ del 1854 al 1912, demuestra y generaliza la fórmula de Euler aplicándola a poliedros.
VICTOR SCLEGEL de 1843 a l 1905 inventa una proyección de un poliedro en un plano, diagrama de Schlegel.


WILLEM WYTOFF ABRAHAM de 1865 a 1939 intento mostrar un nuevo método para construir poliedros uniformes, sino que también inventa una nueva notación simbólica de estos poliedros.

HAROLD S M COXETER de 1907 a 2003 generalizan de los poliedros a los polítopos.

A.D. ALEXANDER de 1912 a 1999 establece la existencia de un poliedro convexo con un desarrollo dado.

HANS FREUDENTHAL y B.L. WAERDEN en 1947, investigaron y clasificaron una nueva familia de poliedros convexos, aquellos cuyas caras son todas triángulos equiláteros, llamados deltaedros.

NORMAN W. JONSHON establece, en 1966, la lista de los 92 poliedros uniformes convexos con caras no regulares
Construcción de poliedros regulares
Formulas
y datos del
Poliedro
PRISMA: Es un sólido geométrico determinado por una superficie engendrada por una recta generatriz, que se desliza paralela por una línea poligonal o directriz. En un Prisma dos de sus caras son polígonos ¡guales y paralelas, que se llaman bases, y las demás caras son paralelogramos. Estas bases pueden tener cualquier toma poligonal.
Ángulo poliedro es la región del espacio delimitada por los semiplanos que contienen las caras que inciden en un vértice. Hay tantos como número de vértices.

Euler establece que, en un poliedro convexo, el número de caras más el números de vértices es igual al número de aristas más dos. Llamando C al número de caras, V al de vértices y A al de aristas se tiene que:


C + V = A + 2
(Fórmula de Euler)

Teorema de Euler
Poliedro Convexo
Se denominan poliedros convexos, a los que se pueden apoyar en un plano sobre cualquiera de sus caras.

Poliedro Cóncavo
Si tienen al menos una cara sobre la que no pueden apoyarse en un plano, se llaman poliedros cóncavos.

RESEÑA HISTÓRICA: Cuerpos de revolución
La Geometría es una de las más antiguas ciencias. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo.
Una vez adquiridas estas nociones y prescindiendo de su origen práctico, la Geometría (medición de la Tierra), de ser un conjunto de técnicas, pasó a constituir una disciplina matemática formal, donde la figura geométrica es un ente abstracto y sus propiedades el objeto de estudio de la Geometría.
ARQUÍMEDES dentro de sus grandes obras escribió dos libros sobre la cuadratura de la parábola, la esfera, el cilindro y los conoides y esferoides.
Su principal objetivo era demostrar los teoremas relacionados con las áreas y volúmenes de superficies.
Demuestra que la constante de proporcionalidad estaba muy relacionada con PI (3,14), encontrando también el área lateral del cilindro.
EUCLIDES demostró en sus “Elementos” que el volumen de dos esferas es entre si como los cubos de sus diámetros, es decir, el volumen de una esfera es proporcional al cubo de su diámetro.

Cuerpos redondos
Se llama cuerpo redondo a los cuerpos geométrico que están limitados por alguna cara curva.
Cilindro es el cuerpo que resulta de girar un rectángulo alrededor
de sus lados.
Se compone de los siguientes elementos:
Base: que son dos círculos iguales y paralelos.
Superficie cilíndrica: o superficie lateral, engendrada por el segmento BC al girar alrededor del AD
Altura: Es la distancia AD entre sus bases.
Generatriz: Es el lado Ab del rectángulo que lo engendra.
Radios: Son los lados AB y DC que engendran dos círculos, que son las bases.

Área lateral- total - volumen
Desarrollo de un cilindro:

Está formado por un rectángulo de cuya base es 2 π r, igual a la medida de la circunferencia de las bases, y de la altura h, igual a la altura del cilindro.
El área lateral es exactamente la medida de la superficie de ese rectángulo, que es:

A lateral = 2 π r h

El área total: la hallaremos usando el área lateral la de los dos círculos que vemos en el desarrollo.

A total= 2 π r h + 2 π r h ²

Volumen: El volumen de un cilindro en igual al producto de la base por su altura.

V = π r ² h



Cono es el cuerpo engendrado
por la rotación de un triángulo rectángulo alrededor de uno de los catetos .
Esta engendrado en un triangulo rectángulo.

VOB.
En el cono se distinguen los siguientes elementos:

Base: que es un circulo.

Superficie cónica o superficie lateral: engendrada por un segmento VB al girar alrededor del eje VO.

Altura: Es el cateto VO alrededor del cual gira el triangulo.

Generatriz: Es la hipotenusa VB engendra la superficie cónica.

Radio: Es el cateto OB que engendra al circulo que hace de base del cono.







ÁREA LATERAL- TOTAL- VOLUMEN
-www.uv.es
www.juntadeandalucia.es
www.unicoos.com
recursostic.educacion.es
www.iesprofesorjuanbautista.es
www.bdigital.unal.edu
maralboran.org
http://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/111213_poliedros.elp/cncavos_y_convexos.html
http://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/111213_poliedros.elp/poliedros.html
http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/2esomatematicas/2quincena8/2quincena8_contenidos_2b.htm
http://www.unirioja.es/
http://www.uam.es/ss/Satellite/es/home/
http://xtec.gencat.cat/ca/
http://www.ual.es/
http://www.aesthethika.org/


Libro: Graduado escolar. Matemática , Autor: Juan José Rivera Gomez


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