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Geometría Plana

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Elena Álvarez

on 17 March 2013

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Transcript of Geometría Plana

POLÍGONOS La geometría es una parte de la matemática que se encarga de estudiar las propiedades y las medidas de una figura en un plano o en un espacio. Para representar distintos aspectos de la realidad, la geometría apela a nociones como rectas, curvas y puntos, entre otras. GEOMETRÍA CONCEPTOS PRIMITIVOS CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO Los conceptos básicos sobre los que se desarrolla la geometría son punto, recta y plano. Estos no tienen definición pero si algunas características. Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. ÁNGULOS Un polígono es una figura plana limitada por segmentos, tales que cada segmento se interseca con otro sólo en sus puntos extremos, y ningún par de segmentos son colineales. Un triángulo es una región del plano limitada por tres rectas que se intersecan dos a dos. Por lo tanto, un triángulo tiene 3 vértices, 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 ángulos exteriores. TRIÁNGULOS La CIRCUNFERENCIA es una línea curva, cerrada y plana, formada por los puntos que están a igual distancia de un punto fijo llamado centro. TIERRA MEDIR Es el elemento geométrico más simple: no tiene tamaño y se entiende como la marca del lápiz sobre la hoja. Se simbolizan con letras mayúsculas. Está formada por una sucesión infinita de puntos. Se representa con una línea y una flecha en cada extremo indicando que se extiende indefinidamente. Se simbolizan utilizando dos puntos, o con letras minúsculas. Está formado por infinitos puntos y se prolonga indefinidamente en todas direcciones. Para representar un plano se utilizan cuadrados, rectángulos o romboides y se denota por medio de una letra del alfabeto griego o por tres puntos que no están en una misma recta. También se pueden simbolizar con una letra mayúscula. Dos puntos determinan una recta. Tres puntos no colineales determinan un plano. La intersección de dos planos es una recta Los puntos, rectas y planos no tienen grosor. TEN EN CUENTA CONTESTA ¿Cuántos puntos determinan una recta?
¿Cuántos puntos determinan un plano?
¿Cuál es la intersección de dos rectas?
¿Cuál es la intersección de dos planos?
¿Cómo se denotan las rectas?
¿Cómo se denotan los planos?
Nombra tres objetos de tu casa que te den noción de recta, punto y plano. Establece si cada enunciado está mejor representado por un punto, una recta o un plano 1.Un trozo de hilo tenso
2.Un nudo en un lazo
3.Un pedazo de tela
4.La esquina del salón
5.Las líneas de la hoja de tu cuaderno
6.La parte superior de tu escritorio
7.Los pliegues en un papel de envolver Dibuja las siguientes situaciones 1.El punto S pertenece a la recta PQ.
2.Las rectas t y u están en el plano Q
3.La recta m contiene a los puntos A y B, pero no al punto C.
4.Los puntos A, Q y S son coplanarios.
5.El plano Q contiene los puntos A, B y C, pero no contiene al punto D. Otras definiciones de geometría: RECTAS PARALELAS, SECANTES,
PERPENDICULARES Y COINCIDENTES Dos rectas coplanares se pueden clasificar de diferentes formas según si se intersecan o no, así: Rectas paralelas: si al prolongarse las rectas en ambas direcciones no se intersecan en ningún punto. Se escribe Rectas secantes: si las rectas se intersecan en un punto. Rectas perpendiculares: si son secantes y forman ángulos rectos, es decir, ángulos de 90°. Se simboliza: Rectas coincidentes: si tienen todos los puntos en común. PIENSA ¿Cómo son las líneas de tu cuaderno rayado?
¿Cómo son las líneas de tu cuaderno cuadriculado? Dibuja las siguientes situaciones 1.Las rectas a, b y c son coplanares pero no se intersecan.
2.Las rectas m y l son secantes
3.Las rectas s y t son paralelas y las rectas t y v son perpendiculares. Observa la imagen y contesta Ejercicios 1.Determina si cada afirmación es verdadera o falsa:
a.Por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela a dicha recta.
b.Una recta l perpendicular a una recta m, es también perpendicular a otra recta n cualquiera.
c.Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre sí. 2.Realiza la construcción y responde.
a.Traza una recta AB y ubica un punto C por fuera de la recta.
b.Construye una recta paralela a la recta AB que pase por C. Nombra la recta construida como m.
c.Construye una recta perpendicular a la recta AB que pase por C. Al punto de intersección de la recta AB y la recta trazada nómbralo D.
d.Construye una recta paralela a la recta CD que pase por A. Al punto de intersección de esta recta y la recta m nómbralo como F.
¿Qué figura geométrica forman los segmentos AD, DC, CF y FA? Justifica tu respuesta. Un ángulo se puede simbolizar de las siguientes formas: Clasificación de los ángulos Los ángulos se pueden clasificar según sus medidas, según la suma de sus medidas y según su posición. Según sus medidas Según la suma de sus medidas Según su posición 1. Observa la figura, luego clasifica cada ángulo en agudo, recto u obtuso.
a. ángulo DMA
b. ángulo BMD
c. ángulo DMC
2. Completa:
los ángulos DMA y BMA son ángulos ________
los ángulos DMC y CME son ángulos _________ EJERCICIOS 2. Completa la siguiente tabla 3. Determina cuáles de los siguientes ángulos son consecutivos, cuáles adyacentes y cuáles opuestos por el vértice. Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una secante Dos rectas paralelas cortadas por una tercera determinan ocho ángulos: Los ángulos 1, 2, 7 y 8 son exteriores o externos.

Los ángulos 3, 4, 5 y 6 son interiores o internos. Los ángulos internos a un mismo lado de la transversal son suplementarios (suman 180º) los ángulos 3 y 5 suman 180° los ángulos 4 y 6 suman 180° Los ángulos externos a un mismo lado de la transversal son suplementarios. (suman 180°) los ángulos 1 y 7 suman 180° los ángulos 2 y 8 suman 180° Ángulos correspondientes Son aquellos que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal. Cada par de ángulos correspondientes tienen la misma medida. <1=<5 <2=<6 <3=<7 <4=<8 Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos correspondientes es congruente entre sí. Ángulos alternos internos Son aquellos ángulos interiores que están a distinto lado de la transversal y a distinto lado de las paralelas. <3=<6

<4=<5 Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos alternos internos es congruente entre sí. Ángulos alternos externos Son aquellos ángulos exteriores que están a distinto lado de la transversal y a distinto lado de las paralelas. <1=<8

<2=<7 Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos alternos externos es congruente entre sí. Observemos ¿Cuál es la medida de los ángulos 1, 3, 4, 5, 6, 7 y 8? Justifica. Actividad 1.Dibuja dos rectas paralelas (oblicuas) y otra recta secante a estas dos. Nombre los ocho ángulos formados.
2.Indica, en la figura anterior, los ángulos que se piden a continuación:
-un par de ángulos alternos internos;
-un par de ángulos alternos externos;
-un par de ángulos correspondientes;
-un par de ángulos conjugados internos;
-un par de ángulos conjugados externos;
3.Compara los pares de ángulos anteriores, indicando en qué casos son iguales y en qué casos son distintos. Para los que son distintos, halla la relación que hay entre ellos.
4.Con tus propias palabras, redacta una conclusión en la que expliques las relaciones y propiedades que existen entre los pares de ángulos que se forman cuando dos rectas paralelas son cortadas por otra recta secante. Piensa Encuentra las medidas de los ángulos del triángulo ABC a) ¿Qué resultado se obtiene si se suman los ángulos interiores del triángulo que se forma? ¿Se puede afirmar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es la misma para cualquier triángulo?
b) ¿Cómo podrían aplicar alguna de las propiedades de los ángulos entre paralelas (analizadas anteriormente) para demostrar esta propiedad? Resuelve 1.Halla el valor de cada ángulo interior en cada una de las siguientes figuras y justifica tu respuesta: 2.A partir de lo visto, discute con tus compañeros y la profesora:
a) ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de esos cuadriláteros?
b) Dibuja otro cuadrilátero que tenga dos lados opuestos paralelos y encuentra la suma de sus ángulos interiores.
c)¿Pasará lo mismo con cualquier otro tipo de cuadrilátero?
d) En el paralelogramo, si el ángulo dado midiera 100°, cuánto medirían los otros tres?
e) En el trapecio isósceles, si el ángulo dado midiera 40°, cuánto medirían los otros tres? CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS MUCHOS ÁNGULOS Piensa ¿Cuáles de las siguientes figuras son polígonos? Elementos de los polígonos Los elementos de un polígono son: lados, vértices, ángulos interiores, ángulos exteriores y diagonales.
Por ejemplo el polígono PQRST lo conforman los siguientes elementos.
-Los lados son los segmentos que conforman el polígono: PQ, QR, RS, ST y TP .
- Los vértices son los puntos donde se interseca cada par de segmentos: P, Q, R, S y T.
-Los ángulos interiores son los ángulos formados por los lados del polígono: P, Q, R, S y T.
-Los ángulos exteriores son los ángulos formados por un lado y la prolongación del otro. Por cada vértice, un polígono tiene dos ángulos exteriores. Así, los ángulos exteriores correspondientes al vértice R son MRS y NRQ.
-Las diagonales son los segmentos cuyos puntos extremos son dos vértices no consecutivos del polígono: PR, PS, QS, QT y RT. . Para calcular el número de diagonales y la suma de los ángulos interiores de un polígono se utilizan las siguientes expresiones, donde n es el número de lados. Calcula Encuentra el número de diagonales y la suma de los ángulos interiores de los siguientes polígonos. Clasificación de los polígonos Los polígonos se clasifican según la forma, según el número de lados y según la medida de sus lados y ángulos interiores. Ejemplo Determinar el número de diagonales y la suma de los ángulos interiores del siguiente polígono. Para calcular el número de diagonales N se tiene que:



Para calcular la suma de los ángulos interiores se tiene:



Por tanto, el polígono tiene nueve diagonales y sus ángulos interiores suman 720°. Según la forma Se clasifican en simples y complejos. Simple, si ningún par de aristas no consecutivas se corta. Complejo, si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan. Los polígonos simples pueden ser convexos y cóncavos.
Un polígono es convexo cuando ninguno de sus ángulos interiores mide más de 180°.
Un polígono es cóncavo cuando alguno de sus ángulos interiores mide más de 180°. Según el número de lados Se clasifican como Ejercicio Clasifica los siguientes polígonos según el número de lados, según su forma y según la medida de sus lados y de sus ángulos interiores. Según la medida de sus lados y de sus ángulos interiores Se clasifican en regulares e irregulares.
Un polígono es regular cuando es convexo y todos sus lados y ángulos tienen la misma medida. En cambio, es irregular cuando sus lados y ángulos tienen diferente medida. Piensa ¿Qué objetos hay en tu casa con forma de polígonos cóncavos y convexos?
¿Qué objetos hay en tu casa con forma de polígonos regulares e irregulares?
Menciona cinco objetos de tu entorno que puedas asociar a un polígono y clasifícalos. Ángulos conjugados internos Ángulos conjugados externos CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS A UNA CIRCUNFERENCIA CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO CONSTRUCCIÓN DE UN PENTÁGONO CONSTRUCCIÓN DE UN HEXÁGONO CONSTRUCCIÓN DE UN HEPTÁGONO CONSTRUCCIÓN DE UN OCTÓGONO Para nombrar un triángulo se escribe el símbolo seguido de las letras que indican sus vértices. Elementos de los polígonos Los elementos de un polígono son: lados, vértices, ángulos interiores, ángulos exteriores y diagonales.

Por ejemplos el polígono PQRST
lo conforman los siguientes elementos.






-Los lados son los segmentos que conforman el polígono: PQ,QR, RS, ST y TP.
- Los vértices son los puntos donde se interseca cada par de segmentos: P, Q, R, S y T.
-Los ángulos interiores son los ángulos formados por los lados del polígono: <P, <Q, <R, <S y <T.
-Los ángulos exteriores son los ángulos formados por un lado y la prolongación del otro. Por cada vértice, un polígono tiene dos ángulos exteriores. Así, los ángulos exteriores correspondientes al vértice R son <MRS y <NRQ.
-Las diagonales son los segmentos cuyos puntos extremos son dos vértices no consecutivos del polígono: QS, QT, RT, RP y SP. Investiga Consulta en internet las siguientes constelaciones y clasifica el polígono que describen según los criterios estudiados (simple o complejo, cóncavo o convexo, regular o irregular, nombre según el número de lados)
- Vela
- Mosca
- Cuervo
- Altar
- Indio En el ABC: A, B, y C son los vértices, <A , <B y <C son los ángulos interiores, y los segmentos
ó c, a y b son los lados del triángulo. Los ángulos , y son los ángulos exteriores del triángulo. Clasificación de los triángulos Los triángulos se clasifican según el número de lados y según la medida de sus ángulos. Según la medida de sus lados Todos los triángulos equiláteros son isósceles también. Según la medida de sus ángulos Actividad Completa la siguiente tabla dibujando en cada casilla un triángulo que cumpla las dos características según su fila y su columna. Propiedades de los triángulos 1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

a < b + c
a > b – c 2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.


<A + <B + <C =180º 3. El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. = <A + <C 4. En todo triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa. <F > <H

f > h 5. Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales. m = l

entonces

<M = <L El Triángulo de Kanizsa es una ilusión óptica descrita por primera vez por el psicólogo italiano Gaetano Kanizsa en 1955. En la figura se percibe un triángulo equilátero blanco, pero de hecho no existe ninguno. Este efecto es conocido como contorno subjetivo. También, este triangulo blanco inexistente parece ser más brillante que el área circundante, pero de hecho se tiene el mismo brillo del fondo. Sabías que.. Ejercicios 1. Indica si con los siguientes segmentos se puede formar un triángulo
a) a = 13 cm, b = 17 cm, c = 33 cm
b) a = 24 cm, b = 34 cm, c = 44 cm
c) a = 16 cm, b = 36 cm, c = 56 cm.
d) a = 12 cm, b = 12 cm, c = 12 cm. 2. Calcula el valor del ángulo que falta:
a) 18º, 24º y ...
b) 55º, 65º y ...
c) 75º, 80º y ...
d) 105º, 70º y ... 3. ¿Cuánto miden los ángulos de un triángulo equilátero? Justifica tu respuesta. 4. El ángulo desigual de un triángulo isósceles mide 42º. ¿Cuánto miden cada uno de los otros dos ángulos? 5. Observa los triángulos de la siguiente cuadrícula. Completa la siguiente tabla indicando los que corresponden a cada casilla. TEOREMA DE PITÁGORAS "En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos".
Pitágoras de Samos En los siguientes triángulos encuentra el lado faltante del triángulo rectángulo. Ejemplos: En el siguiente cubo ubica 1. Tres puntos coplanares.
2. Dos puntos no coplanares
3. Dos rectas paralelas.
4. Dos rectas perpendiculares.
5. Dos rectas no coplanares. Contesta: ¿Si el ángulo 2 mide 150°, cuánto miden los demás ángulos? 6. Ejercicios de aplicación Ejercicios de aplicación Líneas y puntos notables de un triángulo Las líneas notables en un triángulo son cuatro y siempre es posible dibujar tres en cualquier triángulo. ALTURAS: son segmentos perpendiculares a un lado y que pasan por el ángulo opuesto, el punto donde se cruzan estas tres alturas se llama ORTOCENTRO. MEDIANAS: son los segmentos que van desde un vértice al punto medio del lado opuesto, el punto donde se cruzan se llama BARICENTRO. La distancia de cada vértice al baricentro equivale a dos tercios de la medida de la mediana correspondiente. El baricentro es el centroide del triángulo, lo cual coincide con su centro de gravedad. MEDIATRICES: Son segmentos perpendiculares a los lados que se trazan desde el punto medio, el punto donde se cruzan se llama CIRCUNCENTRO, este punto es el centro de una circunferencia que se circunscribe al triángulo. BISECTRICES: Las bisectrices de un triángulo son segmentos que dividen cada ángulo en dos partes iguales, las bisectrices se cortan en un punto llamado INCENTRO, este punto es el centro de una circunferencia inscrita. Congruencia Dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición u orientación sean distintas. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes. Semejanza Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma aunque no el mismo tamaño. Los polígonos semejantes tienen la misma medida de sus ángulos y lados homólogos son proporcionales entre sí. Congruencia de triángulos Criterio LLL: Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los del otro, entonces los triángulos son congruentes.
Criterio LAL: Si en dos triángulos dos lados y un ángulo comprendido entre ellos son congruentes, entonces los triángulos son congruentes.
Criterio ALA: Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con los mismos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Criterio LLA: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Semejanza de triángulos Ejercicio Hallar la medida de los lados faltantes. Teorema de Thales Primer teorema Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes. Ejemplo: Ejercicios: Segundo teorema CUADRILÁTEROS Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados, cuatro vértices, cuatro ángulos interiores, cuatro ángulos exteriores y dos diagonales. La suma de sus ángulos internos siempre da como resultado 360º. Clasificación de los cuadriláteros Los cuadriláteros se clasifican según el paralelismo entre sus lados opuestos. -Todos los cuadrados son rectángulos y rombos a la vez.
- En todo paralelogramo los lados opuestos son iguales.
- En todo paralelogramo los ángulos opuestos son iguales.
- En todo paralelogramo los ángulos consecutivos son suplementarios.
- En todo paralelogramo las diagonales se cortan en su punto medio.
- Las diagonales del rombo son perpendiculares entre sí.
- Las diagonales de los rectángulos tienen la misma medida. Los lados paralelos de los trapecios reciben el nombre de bases. - En los trapezoides simétricos los ángulos formados por lados consecutivos diferentes son iguales.
- La diagonal principal del trapezoide simétrico corta perpendicularmente a la otra en su punto medio y es bisectriz de los ángulos opuestos. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO Clasifica los siguientes cuadriláteros ¿Qué tipos de cuadriláteros componen la imagen? Las funciones trigonométricas permiten relacionar los lados de un triángulo rectángulo con alguno de sus ángulos agudos. Según el ángulo elegido, los lados del este triángulo rectángulo reciben diferentes nombres.

Para definir las razones trigonométricas del ángulo alpha , del vértice A se tiene:

- La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.
- El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo alpha .
- El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo alpha .

Así, se definen las funciones trigonométricas como: El CÍRCULO es la superficie del plano limitada por la circunferencia. Es decir, está formado por todos los puntos de la circunferencia y todos los puntos interiores a ella. Elementos de la circunferencia Elementos del círculo Posiciones relativas de una recta y una circunferencia Ejercicio Indica cómo son las siguientes rectas con respecto a la circunferencia: Posiciones relativas de dos circunferencias Propiedades de las cuerdas Propiedades de las tangentes Ángulos de la circunferencia Luz Elena Álvarez B. CRITERIO AA: CRITERIO LAL: CRITERIO LLL: EJERCICIOS
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