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Mappa concettuale di Matematica

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Matteo Laudicina

on 26 August 2013

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Transcript of Mappa concettuale di Matematica

Mappa di matematica
(Goniometria e Trigonometria)
Come tutti sappiamo, un angolo è la parte di piano delimitata da due semirette aventi la stessa origine.
Per misurare gli angoli si usa di solito il sistema sessagesimale, ma, per semplificare i calcoli, si usano anche i radianti.
Data una circonferenza, si dice radiante l'angolo al centro che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio.
Per convertire gradi in radianti e viceversa:

α(rad) = (α°/ 360)(2π)
α° = (α(rad)/2π)360
La Trigonometria è la parte della matematica che studia i triangoli e i metodi per poterne calcolare gli elementi.
La Goniometria è la parte della matematica che studia gli angoli e le relative funzioni.
Un angolo si dice orientato quando sono stati scelti uno dei due lati come lato origine e un senso di rotazione.
Un angolo è positivo se la rotazione di un lato avviene in sensom antiorario; se avviene in senso orario, al contrario, si dice negativo.
Seno e Coseno
Data una circonferenza goniometrica e un angolo orientato, con "B" il punto d'intersezione tra la circonferenza e un lato dell'an golo, consideriamo coseno e seno di α le funzioni che associano il valore dell'ascissa e dell'ordinata del punto "B".
Cos(α) = Xb
Sen(α) = Yb
Prima relazione fondamentale della goniometria
Il Codominio delle funzioni seno e coseno è [ -1;1]
Il grafico y = sen x
Il grafico y = cos x
Le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2π
La funzione tangente
Data una circonferenza goniometrica, un angolo orientato e il punto "B", intersezione della circonferenza e dell'angolo, definiamo la tangente dell'angolo α la funzione che associa all'angolo il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa di B.
tg(α) = Yb/Xb
Il grafico y = tg x
La seconda relazione fondamentale della goniometria
La funzione tangente è periodica di periodo π
Ricordiamo anche un'altra funzione goniometrica: la Cotangente.
Le funzioni inverse
Arcoseno: dati i numeri reali x e y con: x [-1;1] e y [-π/2; π/2], diciamo che y è l'arcoseno di x se x è il seno di y.
y = arcsen x
Arcocoseno: dati i numeri reali x e y con x [-1;1] e y [0;π], diciamo che y è l'arcocoseno di x de x è il coseno di y.
y = arcos x
Arcotangente: dati i numeri reali x e y con y [-π/2;π/2], si dice che y è l'arcotangente di x se x è la tangente di y.
y = arctg x

Le formule di addizione e sottrazione
Cos (α-β) = cosαcosβ + senαsenβ
Cos (α-β) = cosαcosβ + senαsenβ
Sen(α+β) = senαcosβ + cosαsenβ
Sen(α-β) = senαcosβ - cosαsenβ
tg(α+β) = tgα + tgβ/ 1-tgαtgβ
tg(α-β) = tgα-tgβ/ 1+tgαtgβ
Le formule di duplicazione
Sen(2α) = 2senαcosα
Cos(2α) = cos^2α-sen^2α
tg(2α) = 2tgα/ 1-tg^2α
Le formule di bisezione
Equazioni goniometriche
Elementari
Lineari
Omogenee
Sen x = a
Cos x = b
tg x = c

a sen x + b cos x + c = 0
a, b, c E R a; b diversi da 0
a sen^2 x + bsenxcosx + ccos^2x = d

con d diverso da 0
Disequazioni goniometriche.

Disequazioni che contiene almeno una funzione goniometrica dell'incognita.

Elementari
Non elemetari

I triangoli rettangoli
Primo teorema dei triangoli rettangoli
Cateto = ipotenusa x seno dell'angolo opposto
Cateto = ipotenusa x coseno dell'angolo acuto adiacente
Secondo teorema dei triangoli rettangoli
Cateto = altro cateto x tangente dell'angolo opposto al primo cateto
Cateto = altro cateto x cotangente dell'angolo acuto adiacente al primo cateto
Il teorema della corda
Il teorema dei seni
Il teorema del coseno
In una circonferenza la misura di una corda è uguale al prodotto tra il diametro e il seno di uno degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda.
AB = 2r x senα
In un triangolo le misure dei lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti
(a/senα) = (b/senβ) = (c/senγ)
In un triangolo il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due diminuita per il prodotto raddoppiato delle misure dei due lati per il coseno dell'angolo compreso tra essi
a^2 = b^2 + c^2 -2ac(cosα)
Realizzato da Matteo Laudicina
4 AS
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