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Matematica

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by

Andrea Chiari

on 17 September 2013

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Transcript of Matematica

Matematica
Le funzioni goniometriche
Le formule goniometriche
Le equazioni goniometriche
Trigoniometria
La circonferenza
L' ellisse
L' iperbole
Seno e Coseno
Bisogna considerare la circonferenza, ovvero una circonferenza che ha come centro l'origine degli assi cartesiani e il raggio di lunghezza 1, e un angolo orientato a e sia il punto B della circonferenza associato ad a.
Seno e coseno dell'angolo a sono le funzioni che ad a associano il valore dell'ascissa e dell'ordinata del punto B.
La prima relazione fondamentale della goniometria
La prima relazione fondamentale della goniometria dice che:
Cos2a + Sen2a=1
Tangente
Bisogna considerare un angolo a e chiamare B l'intersezione fra il lato termine e la circonferenza goniometrica. Viene definita tangente di a la funzione che ad a associa il rapporto fra l'ordinata e l'ascissa del punto B.
La seconda relazione fondamentale della goniometria
La seconda relazione fondamentale della goniometria dice che la tangente di un angolo è data dal rapporto fra il seno e il coseno dello stesso angolo.
tg= sena/cosa
Le formule di addizione e sottrazione di seno, coseno e tangente
Le formule di addizione e sottrazione del coseno affermano che:
Cos(a-b)= cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)
Cos(a+b)= cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)
Le formule di addizione e sottrazione del seno dicono che:
Sen(a+b)= sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)
Sen(a-b)= sen(a)cos(b) - cos(a)sen(b)
Le formule di addizione e sottrazione della tangente affermano che:
Tg(a+b)= tg(a)+tg(b)/1-tg(a)tg(b)
Tg(a-b)= tg(a)-tg(b)/1+tg(a)tg(b)
Le formule di duplicazione
Formula di duplicazione del seno é:
Sen(2a)= 2sen(a)cos(a)
La formula di duplicazione del coseno é:
Cos(2a)= cos2(a) - sen2(a)
La formula di duplicazione della tangente é:
Tg(2a)= 2tg(a)/1-tg2(a)
Le formule di bisezione
Formula di bisezione del coseno:
Cos(a/2)= +/- V 1+cos(a)/2
Formula di bisezione del seno:
Sen(a/2)= +/- V 1-sen(a)/2
Formula di bisezione della tangente:
Tg(a/2)= +/- V 1-cos(a)/1+cos(a)
Le equazioni goniometriche elementari
Le equazioni goniometriche elementari sono equazioni goniometriche, quindi contenenti una funzione goniometrica dell'incognita, del tipo:
Senx= a
Cosx= b
TgX=c
Le equazioni lineari in seno e coseno
Un'equazione goniometrica si dice lineare in sen x e cos x quando è possibile ricondurla alla forma:
a sen x + b cos x + c = 0
Le equazioni omogenee in seno e coseno
Un'equazione goniometrica si dice omogenea di secondo grado in sen x e in cos x quando è possibile scriverla nella forma:
a sen2 x + b sen x cos x + c cos2 x = 0
Primo e secondo teorema dei triangoli rettangoli
Il primo teorema dei triangoli rettangoli dice che la misura di un cateto è uguale a quella dell'ipotenusa moltiplicata per il seno dell'angolo opposto al cateto o per il coseno dell'angolo adiacente al cateto.
cateto=ipotenusa x sen angolo opposto
cateto=ipotenusa x cos angolo adiacente
Il secondo teorema dei triangoli rettangoli afferma che la misura di un cateto è uguale a quella dell'altro cateto moltiplicata per la tangente dell'angolo opposto al primo cateto.
cateto=altro cateto x tg angolo opposto al primo
Il teorema della corda
Il teorema della corda dice che in una circonferenza la misura di una corda è uguale al prodotto della misura del diametro per il seno di uno degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda.
AB= 2r x sen(a)
Il teorema dei seni
il teorema dei seni afferma che in un triangolo le misure dei lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti.
A/sen(a) = B/sen(b) = C/sen(y)
Il teorema del coseno dice che in un triangolo il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due lati diminuita del doppio prodotto della misura di questi due lati per il coseno dell'angolo compreso fra essi.
A2 = B2 + C2 - 2BCcos(a)
Il teorema del coseno
Assegnato nel piano un punto detto centro, si chiama circonferenza la curva piana luogo geometrico dei punti equidistanti dal centro.
L'equazione di una circonferenza può essere scritta così: x2 + y2 + ax + by + c = 0
Questa equazione rappresenta una circonferenza se e solo se:
(-a/2)2 + (-b/2)2 - c >/= 0

Le coordinate del centro della circonferenza sono:
C= (-a/2);(-b/2)
Il raggio della circonferenza misura:
r= V (-a/2)2 + (-b/2)2 - c
La parabola
Assegnati nel piano un punto F detto fuoco e una retta d detta direttrice, si chiama parabola la curva piana luogo geometrico dei punti equidistanti da F e da d. La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si chiama asse della parabola e il punto V in cui la parabola interseca il suo asse è detto vertice.
L'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y é:
y= ax2 + bx + c
Le coordinate del vertice sono:
V= (-b/2a;-delta/4a)
Le coordinate del fuoco:
F= (-b/2a;1-delta/4a)
L'equazione della direttrice é:
y= -1+delta/4a
L'equazione della parabola con asse parallelo all'asse x è:
x= ay2 + by2 + c
Le coordinate del vertice sono:
V= (-delta/4a;-b/2a)
Le coordinate del fuoco sono:
V= (1-delta/4a;-b/2a)
L'equazione della direttrice é:
x= -1+delta/4a
Assegnati nel piano due punti, F e F2, detti fuochi, si chiama ellisse la curva piana luogo geometrico dei punti P tali che sia costante la somma delle distanze di P da F e F2.
La distanza tra F e F2 è detta distanza focale
L'equazione dell'ellisse con i fuochi sull'asse x é:
x2/a2 + y2/b2 = 1
Le coordinate dei suoi fuochi sono:
F= (-Va2-b2;0)
F2= (Va2-b2;0)
La sua eccentricità, compresa fra 0 e 1, é:
e= Va2-b2/a
L'equazione dell'ellisse con i fuochi sull'asse y è uguale a quella dell'ellisse con i fuochi sull'asse x.
Le coordinate dei suoi fuochi sono:
F= (0;-Vb2-a2)
F2= (0;Vb2-a2)
La sua eccentricità è:
e= Vb2-a2/b
Assegnati nel piano due punti F e F2, detti fuochi, si chiama iperbole la curva piana luogo geometrico dei punti P che hanno costante la differenza delle distanze da F e F2.
La distanza tra F e F2 è dette distanza focale
L' equazione dell'iperbole con i fuochi sull'asse x é:
x2/a2 - y2/b2 = 1
Le equazioni degli asindoti dell'iperbole sono:
y= b/a x
y= -b/a x
Le coordinate dei fuochi sono:
F= (-Va2+b2;0)
F2= (Va2+b2;0)
L' eccentricità é:
e= Va2+b2/a
L'equazione dell'iperbole con i fuochi sull'asse y è:
x2/a2 - y2/b2 = -1
Le equazioni degli asindoti sono:
y= -b/a x
y= b/a x
Le coordinate dei suoi fuochi sono:
F= (0;Vb2+a2)
F2= (0;-Vb2+a2)
L'eccentricità è:
e= Vb2+a2/b
Se nell'equazione l'iperbole ha a=b viene detta equilatera.
La sua equazione é:
x2 - y2 = a2
O se ha i fuochi sull'asse y:
x2 - y2 = -a2
L'equazione degli asindoti sono:
y= x
y= -x
La sua eccentricità vale:
e= V2
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