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Copy of AULA 08 - ET017 Circuitos e Eletrotécnica

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by

Daniel Dotta

on 1 September 2015

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Transcript of Copy of AULA 08 - ET017 Circuitos e Eletrotécnica

Prof. Daniel Dotta
Análise de circuitos RC e RL
(Aula 8)

Universidade Estadual de Campinas
FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO
DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E ENERGIA

Análise de circuitos RC e RL
Neste capítulo, trataremos da
análise de circuitos RC e RL
autônomos e com fontes constantes independentes.

Sendo os capacitores e indutores armazenadores de energia, os circuitos contendo estes dispositivos
não dependem somente das fontes, mas também das tensões ou cargas iniciais nos capacitores ou das correntes ou fluxos iniciais nos indutores
.

As equações que descrevem estes circuitos são
equações diferenciais de primeira ordem
(
circuito de primeira ordem
) obtidas através da aplicação das leis de Kirchhoff considerando a relação tensão-corrente dos dispositivos armazenadores.
Análise de circuitos RC e RL
Circuitos RC autônomo






Aplicando a lei de Kirchhoff das correntes no circuito RC de primeira ordem com tensão inicial no capacitor
v
(0) =
V
0:


em que
iC
=
Cdv
/
d
t e
iR
=
v
/
R
. Logo, podemos obter a equação diferencial ordinária de primeira ordem dada por:
Circuitos RC autônomo
Da equação anterior:







Integrando ambos os lados:
Circuitos RC autônomo
Logo, a tensão no capacitor é dada por:
Circuitos RC autônomo
Circuitos RC autônomo
Comportamento da tensão e da corrente.
Circuito RL Autônomo
Circuito RL Autônomo
Circuito RL Autônomo
A tensão no indutor pode ser calculado como:



Sustituindo a equação da corrente no indutor:





Logo, a tensão no indutor é dada por:



Circuito RL Autônomo
Circuito RL Autônomo
Circuito RC Não Autônomo
Circuito RC Não Autônomo
Circuito RL Não Autônomo
Solução por inspeção
Circuito RC Não Autônomo
Lista de exercícios
Circuitos RC autônomo
EX
: A chave no circuito abaixo foi fechada por um longo período e é aberta em
t
= 0. Determine
v
(t) para
t
≥ 0.
Perguntas
Por que são chamados de circuitos de primeira ordem.
O que é um circuito autônomo e um circuito não autônomos.
O que é o regime permanente e o regime transitorio.
Como é calculado a constante de tempo de um circuito RC e RL.
Podem ser
autônomos
(sem fontes presentes no circuito) ou
não autônomos
(fontes presentes no circuito).
Logo, a corrente no indutor é dada por:





EX
: A chave do circuito abaixo foi fechada por um longo período. Em t = 0, a chave é aberta. Calcule i(t) para t > 0.
No circuito anterior, temos
v
=
E
+
Ri
e, portanto,


Aplicando a lei das correntes de Kirchhoff
iR
+
iC
= 0:


Como a equação é linear com coeficientes constantes, sua solução, será do tipo
v
(
t
) =
vh
(
t
) +
vp
(
t
), em que
vp
(
t
) é chamada de solução particular
e
vh
(
t
) é chamada de solução homogênea
.
Como a entrada é constante, a solução particular será do tipo
vp
(
t
) = const., que substituída na equação fornece
vp
(
t
) =
E
.






Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões no circuito RL de primeira ordem, com corrente inicial no indutor i (0) = i0:


em que
vL
=
Ldi
/
d
t e
vR
=
Ri
. Logo, podemos obter a equação diferencial ordinária de primeira ordem dada por:
Comportamento da tensão e da corrente.
Para a obtenção da solução homogênea, consideramos a equação diferencial com entrada nula.


cuja solução é
vh
(
t
) =
k

exp
(-
t
/
RC
) em que
k
é uma constante qualquer. A solução geral é dada por:


em que
k
é calculada impondo a condição inicial
v
(0) =
V
0. Logo,
k
=
V
0 −
E
e, finalmente, temos

A solução particular é dada por
ip
(
t
) =
E
/
R
. Para a obtenção da homogênea, consideramos.


cuja solução é
ih
(
t
) =
k

exp
(-
Rt
/
L
) em que a constante
k
deve ser determinada impondo a condição inicial
i
(0) =
I
0 na solução geral:


Logo,
k
=
I
0 −
E
/
R
e, finalmente, temos
EX:
exercícios do livro do Johnson recomendados (pág. 195 - 198): 8.1, 8.2, 8.3, 8.4, 8.6, 8.7, 8.15, 8.18, 8.19, 8.25.
Circuito RL Autônomo
Da equação anterior:







Integrando ambos os lados:
Comparando a estrutura das soluções, tensão no capacitor e corrente no indutor, percebemos uma grande semelhança.
Qualquer tensão ou corrente em um circuito linear de primeira ordem com fontes constantes será da forma:





em que
x
(0) representa o valor inicial da corrente ou tensão e
x
(∞) seu valor de regime permanente ou final. Como vimos
tau
=
RC
ou
tau
=
L
/
R
e
R
é a resistência vista pelo capacitor ou indutor quando todas as fontes independentes são anuladas.

Circuito RL Não Autônomo
O produto
RC é chamado de constante de tempo
.

Transcorrido 4RC a tensão se reduz a 2% do seu valor inicial.

Após 5RC o capacitor pode ser considerado totalmente descarregado.
A corrente no capacitor pode ser calculado como:



Sustituindo a equação da tensão no capacitor:





Logo, a corrente no capacitor é dada por:
O produto
L/R é chamado de constante de tempo
.

Transcorrido 4L/R a tensão se reduz a 2% do seu valor inicial.

Após 5L/R o capacitor pode ser considerado totalmente descarregado.








Possuem pelo menos uma fonte (entrada).
Se o circuito é linear, é sempre possível representá-lo como na figura acima, em que o estado do capacitor é obtido substituindo-se o restante do circuito pelo seu equivalente de Thévenin ou Norton. Procedendo desta forma teríamos E = Vth e R = Rth.






A equação diferencial que descreve o circuito é:


sendo sua solução do tipo.


em que
ip
(
t
) é a solução particular
e
ih
(
t
) é a solução homogênea
.
Circuitos com comutações


A tabela a seguir resume os as afirmações apresentadas para a determinação dos valores iniciais e finais das variáveis.
Circuitos com comutações
Circuitos com comutações são aqueles que contêm chaves.
Para a determinação dos valores iniciais e finais das tensões e correntes em um circuito de primeira ordem com fontes constantes podemos considerar os seguintes pontos :
A tensão (corrente) no capacitor (indutor) não pode variar instantâneamente. No instante inicial o capacitor (indutor) se comporta como uma fonte de tensão (corrente) e, se descarregado, como um curto-circuito (circuito aberto).
O valor final da tensão (corrente) no capacitor (indutor) é constante, a corrente (tensão) se anula e, portanto, o capacitor (indutor) é visto como um circuito aberto (curto-circuito).
Exemplos
EX:
A chave se encontra na posição
A
há um bom tempo. Em
t
= 0, a chave é mudada para a posição
B
. Determine
v
(
t
) para
t
> 0.
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