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Capítulo 7- Logaritmos y exponenciales

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by

Karen Guajardo

on 21 September 2014

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Transcript of Capítulo 7- Logaritmos y exponenciales

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USO DE LA CALCULADORA PARA HALLAR EL LOGARITMO
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USO DE LA CALCULADORA PARA HALLAR EL ANTILOGARITMO
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SEGÚN
bx = M
equivale a
x= logb M (significan lo mismo)
se dice que por lo tanto a cada
propiedad o ley de los exponente
le corresponde una
propiedad de logaritmos.
Las propiedades de los logaritmos son: (3)
El logaritmo de un producto de dos números positivos
x
y
y
es igual a la suma de los logaritmos de ambos, es decir:
logb xy= logb x + logb y
.
Le corresponde la ley de exponentes (bx) (by) = bx+y.
El logaritmo de un cociente de dos números positivos
x
y
y
es igual a la diferencia de los logaritmos de ambos, es decir:
log x/y = logb x-logb y
.
Le corresponde la ley bx/by =bx-y.
El logaritmo de la n-ésima potencia de un número positivo x, es igual a n veces el logaritmo de x, es decir:
logb xn =n log x
.
Le corresponde la ley de (bx) n = bxn
bx = M equivale a x= logb M
El logaritmo de un numero positivo
M
en base
b
, donde
b>0
,
b=/1
Los logaritmos son
números reales
que tienen una parte
entera
llamada
característica
y otra
decimal
llamada
mantisa.
ejemplo: Para log 624 ≈ 2.795184 , la característica es 2, y la mantisa es 0.795184.
Ejercicios tríptico I.
Los logaritmos mas utilizados son los de base
10
denominados "
comunes
" y los de base
e
denominados "
naturales
".
log 46 = log10 46
Los logaritmos de números reales mayores que cero se determina con la
calculadora
con la tecla
log
: Procedimiento: (ejemplo)
oprime las teclas
963
oprime la tecla
log
la respuesta
2.9836
El antilogaritmo de un número es el correspondiente a un logaritmo dado, es decir, si
log x = y
, entonces
x
es el antilogaritmo de
y.
Por ejemplo: si
log 1000 = 3,
entonces el antilogaritmo de
3
es
1000.
Procedimiento para hallar el antilogaritmo:
oprime las teclas del logaritmo (ejemplo:
3.539
)
oprime la tecla de segunda funcion
2nd
, y la tecla de
inv
o
shift.
oprime la tecla
log
y la respuesta es el antilogaritmo (en en ejemplo es:
3459.39
)
Ejemplo:

log
4 527= 3.655810
por lo que antilog
3.655810 = 4527
por lo que
10 a la potencia 3.655810 = 4527

Ejercicios triptico IV.
Ejercicios triptico III
Ejercicicios triptico II
Ejercicios tríptico V
De acuerdo con la definición de logaritmo el número positivo
x
es el resultado de elevar la base 2 a la cuarta potencia es decir:
x= 2 a la 4
1) log2 128 = 7 es:
2) log8 2 = 1/3 es:
3) log5 x= 2 es:

7.5
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D
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10
Si queremos hallar log 15, podemos representar dicho valor por la literal x, entonces resulta la ecuación logaritmica:
log3 15 x; de donde 3x = 15
Ejercicios tríptico VII
ECUACIONES EXPONENCIALES
Es aquella en la que la incógnita aparece al menos un exponente.
Ejemplo: 2 a la 3 x=8
dada la expresión logb a= x
b a la x = a; de donde
x log b =log a
x= log a / log b
Ejercicios tríptico VI
2 a la 2x-1 = 4
Log4 21
1)2.8:
2)3.2:
1) 963:
2) 46:
3) 8:
log 7
MATEMÁTICAS 3 PRECÁLCULO.
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1.-PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL y= B a la x
2.-GRÁFICAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES
3.-LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE E
4.-GRÁFICA DE LA FUNCIÓN f(x) = e a la x
7.7-
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Las funciones exponenciales son de la forma f(x) = ab a la g(x), donde g es función de x; por ejemplo, f(x) =4000(0.5) a la 2x, A(x) =60e a la 0.04x.
la ecuación de la función exponencial es: y=b a la x
y esta ecuación sólo esta definida cuando
b>0
y
b=/ 1
o sea números positivos, en dado caso que b<o (negativa) no está definida en el conjunto de números reales.
la expresión b ala x representa un único número real positivo
Si en la ecuacion
y= bx,
la
b>1
, entonces aumentar la x implica aumentar la y, por lo tanto f(x)
es creciente
para cualquier valor de x que este en su dominio.
Si la b es numero positivo que esta en el intervalo de 0<b<1; entonces la función y=bx
es decreciente,
ya que aumentar el valor de la variable independiente x implica una disminución en el valor de y, en este caso b es el
factor de decrecimiento
La intersección con el eje y de la ecuación y=b a la x es 1, ya que b a la 0 = 1. Por consiguiente, el punto cartesiano P(0,1) está siempre en la gráfica correspondiente a dicha ecuación
El dominio de la función Y=b a la x es el conjunto de los números reales, ya que para cualquier valor de la variable independiente x, la función exponencial y=b a la x está definida
si b>1; entonces b es el facto de crecimiento de f(x).
El rango es el conjunto de núm reales positivos.
las funciones exponenciasles son inyectivas
En el siguiente ejemplos obtendremos la función de la gráfica de la función
f(x) = 2 a la x.
En primer lugar se realiza una tabla de valores para la ecuación.
Después se marcan los valores en un sistema de coordenadas cartesianas.
Muchas disciplinas tienen como base ecponencial la "e". El núm. El núm. "e" se define como él núm. al que tiene la función f definida por f(n)=(1+1/2)
Redondeando a 5 cifras decimales; si la función definida por f(n) =(1+1/n) tiene al núm. irracional; 2.71828; el cual denotaremos por la letra "e"
Tabla de valores para función f(x) = e a la x
Al gráficas los puntos P(x,y) de l atabla anterior en un sistema de coordenadas cartesianas y unirlos mediante una curva continua, resulta la gráfica que se muestra en la gráfica siguiente
Aplicación de funciones exponenciales a modelo matemático
Ejemplo.
1.- El número de bacterias presentes en un cultivo después de x días se determina por la ecuación y=400(2) a la x
a) el núm. de bacterias después de 3 días.

En este caso x=3, por lo tanto
y=400(2) a la 3
y=400(8)
y=3200
Después de 3 días habrá 3200 bacterias
b)¿Después de cuánto tiempo habrá 102400 bacterias en el cultivo?
La incógnita en esta pregunta es la variable x, por lo tanto, para encontrar su valor se requiere resolver la ecuación exponencial.
400(2) a la x=102 400
(2) a la x=102 400 / 400
2 a la x=256; donde tenemos que
log 2 a la x= log256 / log2, luego
x=8
De acuerdo a la función y=b a la x, donde b>0, b=/ 1, sabemos que su dominio de definición es R y además que y>0. Entonces decimos que x= logb y llamamos x a la función así definida: función de base b.
y=logb x o f(x) =logb x, donde b>0, y b=/1 y x>0
PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA, f(x) =logb x con b>0 y b=/1
1.- LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS COMO MODELOS MATEMÁTICOS
1.-Si b>1, entonces la función es creciente.
2.-Si 0<b<1, entonces la función es decreciente.
3.-El dominio de la función es el conjunto de todos los núm reales mayores que 0.
4.-El rango de la función es el conjunto de todos los números reales.
5.-Dado que f(1)=logb 1=0, entonces la gráfica de la función para siempre por el punto (1.0); es decir, la integración en x es 1.
Recuerda que si tenemos las funciones logarítmicas f(x)=log 5x; h(x)=log(x+5) y g(x)= lo(x-4), entonces los argumentos de dichas funciones son 5x, x+5 y x-4, respectivamente; entonces el dominio de definición de x es el conjunto de los números reales que hacen que dichos argumentos sean mayores que cero; por consiguiente, 5x>0, x+5>0 y x-4>0; luego El dominio de f(x) es:x>0, el dominio de h(x) es: x>-5 y el dominio de g(x) es: x>4.
En la sig. figura se muestran, en un mismo sistema coordenado, las gráficas de las funciones f(x)=3x (curva superior) y g(x)=log3 x (curva inferior)
.-Analicemos lo sig. con respecto a la gráfica.
.-Para la función f(x) =3 a la x tenemos que f(2)=9, es decir, el punto (2,9) pertenece a la gráfica de dicha función.
.-Asimismo, para la función g(x)=log3 x tenemos que f(9)=log3 9=log9/log3=; es decir, el punto (9,3) forma parte de la gráfica de la función logarítmica.
.-En general, si tenemos un punto (x0, y0) de la gráfica de y=b a la x, es decir, y0=ba la x0, como x0=logby0, entonces el punto (y0,x0), pertenece a la gráfica de la función logarítmica.
.-Dada la función f(x), decimos que f a la -1 (x) es su función inversa si el dominio de f(x) es el rango de f a la -1(x) y el rango de f(x) es el dominio de f a la -1(x); es decir, si e punto de (a,b) esta en la gráfica de f(x), entonces el punto de (b,a pertenece a la gráfica de f a la -1(x).
.-Para concluir las funciones f(x)=b a la x, g(x)=logb x, ambas con b>0, =/1 son inversas una de la otra.
1.-La energía en ergios (
E
) liberada durante un terremoto de magnitud
R
en la escala de Ritchter está dada por la expresión
log E=1.4+1.5R
. Calcula la energía liberada durante un terremoto de magnitud
7.6
en la escala de Ritcher.
logE=1.4+1.5(7.6)
logE=1.4+11.4
logE=12.8, luego
E=10 a la 12.8
E=6.3 x 10 a la 12 ergios

Por:
Jaime Alberto García González #15, 1671121
Karen Abigail Guajardo Hernández #20, 1667924
Grupo: 302
Matemáticas 3
precálculo,

Capitulo 7

Logaritmos y exponenciales
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En la siguiente presentación se hablara acerca del tema “funciones logarítmicas y exponenciales”, para comenzar este tema es importante tomar en cuenta el uso de la calculadora ya que se usaran diversas herramientas de la misma. Una vez que se tiene el material necesario podremos proceder con el tema. En este capítulo podremos encontrar cierta variedad de fórmulas que nos ayudaran a resolver los problemas planteados, además se tendrán que tener bien presentes las propiedades de los logaritmos así como sus reglas y procedimientos. La dinámica de esta presentación del tema consistirá en la exposición de su forma de solución mediante un proceso, por consiguiente se expondrán ejemplos de solución de los diferentes tipos de problemas con el fin de tener una mayor idea acerca de cómo resolverlos. Veremos como es graficada una función exponencial mediante una tabla de valores, una vez que se muestren las gráficas se deberá analizar y después se explicara porque son de una manera en particular. Sería importante señalar que las matemáticas guardan una estrecha relación con la vida cotidiana debido a que las podemos encontrar en la mayoría de las acciones que realizamos, es por eso que el modelo matemático de este tema será presentado. Al finalizar esta presentación se deberán comprender los temas vistos y así ya se podrán aplicar una serie de ejercicios para reforzar el conocimiento.
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IÓN
Como conclusión al tema se espera que el alumno haya comprendido con eficacia los temas y que por sí mismo pueda resolver problemas y ejercicios de los temas vistos usando los procedimientos indicados. También se espera que sea capaz de poder resolver ejercicios de los mismos temas con diferente grado de dificultad usando su capacidad de investigación del tema. Para finalizar es importante resolver todas las preguntas o dudas que se puedan tener acerca del tema, de lo contrario el proceso de comprensión será mas lento y mas difícil.
BIBLIOGRAFÍA
www.youtube.com/watch?v=3daASOhcRRQ
www.fra.utn.edu.ar/catedras/sunmat/Lec_Int_logaritmos.pdf
www.vitutor.com/al/log/ecuActividades.html
www.vitutor.com/al/log/ecuaciones.html
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