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Geometrie non euclidee

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by

Francesco Bozzola

on 28 June 2014

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Transcript of Geometrie non euclidee

Lobacevskij(1792-1856):
il matematico della steppa

Gli
Elementi
di Euclide

Il V postulato e l’età dei lumi
"le scandale des elemens de geometrie" , D'Alambert
Gauss:
la rottura definitiva con Euclide
Pirandello e il relativismo
Nei “Nuovi principi della geometria con una teoria completa delle parallele” (1829) introdusse una nuova relazione di parallelismo che ammetteva l’esistenza di almeno due rette parallele (non più una) relative ad una retta data e passanti per uno stesso punto
Riemann e la matematica del “martello”
Come Einstein fondò il relativismo spazio-temporale ammettendo la necessità di un sistema di riferimento per fornire un'interpretazione della realtà, analogamente Riemann dimostrò il relativismo dal punto di vista matematico ammettendo un'infinità di varietà locali e tutte reali all'interno di una varietà globale. Il relativismo rappresenta il sostrato filosofico del '900, in particolar modo per letterati come Pirandello.
Edwin Abbott Abbott and "Flatland: a romance of many dimensions"

The major resonance on literature of Riemann’s ideas about geometry is certainly represented by the fantastic and satyrical novel Flatland: a romance of many dimensions by the theologian E. A. Abbott, 1884.
La geometria del sistema Terra
Geometrie non euclidee
Nato ad Alessandra d'Egitto verso la fine del IV sec. a.C. ,Euclide fu il più grande matematico dell'antichità. Egli sistematizzò in modo coerente ed organico tutto il sapere matematico costituito sino ai suoi tempi nel primo e più importante trattato di matematica dell'antichità: gli
Elementi
.
Assiomi
:
Cose uguali ad una stessa cosa sono uguali tra loro
Aggiungendo (quantità) uguali a (quantità) uguali le somme sono uguali
Sottraendo (quantità) uguali da (quantità) uguali i resti sono uguali
Cose che coincidono con un'altra sono uguali all'altra
L'intero è maggiore della parte




Postulati
:
1. Un segmento di linea retta può essere disegnato unendo due punti a caso.

2. Un segmento di linea retta può essere esteso indefinitamente in una linea retta

3. Dato un segmento di linea retta, un cerchio può essere disegnato usando il segmento come raggio ed uno dei suoi estremi come centro

4. Tutti gli angoli retti sono congruenti tra loro

5. Se due linee sono disegnate in modo da
intersecarne una terza in modo che la somma degli angoli interni, da un lato, sia minore di due angoli retti, allora le due linee si intersecheranno tra loro dallo stesso lato se sufficientemente prolungate.
“Data una qualsiasi retta r ed un punto P non appartenente ad essa, è possibile tracciare per P una ed una sola retta parallela alla retta r data.”

Kant

“Lo spazio è una rappresentazione a priori, necessaria, che sta a fondamento di tutte le intuizioni esterne”

“Le proposizioni geometriche sono apodittiche, ossia legate alla coscienza della loro necessità; tale é per esempio la proposizione che lo spazio ha solo tre dimensioni.”
la geometria di una superficie corrisponde a quella euclidea se la curvatura é nulla,
a quella sferica se la curvatura é positiva,
a quella iperbolica se negativa.

[...] qui ho consolidato ulteriormente molte cose, e la mia convinzione, che non possiamo fondare la geometria completamente a priori, è divenuta, se possibile, ancora più salda.
Nel frattempo, non mi deciderò ancora per molto tempo a elaborare per una pubblicazione le mie molto estese ricerche sull'argomento, e ciò forse non avverrà mai durante la mia vita, perché temo le
strida dei Beoti
, qualora volessi completamente esprimere le mie vedute…”

A Gottinga porta a compimento la sua tesi di dottorato sulla geometria differenziale, elabora il concetto di superficie di Riemann, ma soprattutto conosce Gauss.
[...]giunge alla formulazione di una originale concezione di geometria che lega la matematica alla fisica e alla filosofia.
Sulle ipotesi che stanno a fondamento della geometria (1867)
“E’ noto che la geometria presuppone come qualcosa di dato sia il concetto di spazio che i concetti basilari per le costruzioni nello spazio."
"Il rapporto tra questi postulati rimane quindi nell’oscurità, non si vede se e in che modo la loro connessione sia necessaria, nè, a priori, se sia possibile.
Da Euclide fino a Legendre [...] questa oscurità non è stata eliminata nè dai matematici nè dai filosofi”

La
metodologia di Riemann
procede a ritroso,
dai fatti empirici a concetti matematici universali
, ed egli si propone “di costruire il concetto di una
grandezza multiplamente estesa
dal concetto generale di grandezza (o varietà)”

L’importanza del concetto di varietà n-dimensionale e il relativo
annullamento delle certezze della tradizione matematica e filosofica
ha notevoli implicazioni in fisica e in geografia astronomica per quanto riguarda l’incommensurabilmente grande o l’incommensurabilmente piccolo
La geometria del sistema terra è un geometria sferica , in cui non vi sono rette parallele
Questa geometria rappresenta un caso particolare della geometria ellittica elaborata da Riemann
Le differenze più evidenti dalla geometria non euclidea sono:
la somma degli angoli interni di un triangolo sferico è sempre maggiore di 180° e minore di 460°
tutte le perpendicolari ad una retta passano per una stessa coppia di punti diametralmente opposti;
le rette della geometria sferica hanno lunghezza 2πr , mentre quelle della geometria euclidea sono infinite;
sulla superficie sferica non esistono triangoli simili, infatti se gli angoli sono congruenti necessariamente sono congruenti i lati opposti e quindi i triangoli.
Con la definizione di varietà n-dimensionale, è riuscito a superare la contraddizione sorta da un fondamento errato e formulare una conseguenza la quale è tuttavia parziale. Secondo Riemann, che riprende da Herbart, la
contraddizione
è
l’essenza dell’atto speculativo
e il filosofo o lo scienziato deve tentare di superare le contraddizioni dovute al progresso delle conoscenze umane.
La conseguenza tuttavia non è completamente contenuta nel fondamento ma
se ne separa
da esso giungendo a nuova conoscenza: la scienza e la filosofia procedono dunque secondo una serie di
parziali cambiamenti
che sono tuttavia
rivoluzioni
"Così è (se vi pare)", trasposizione teatrale della novella "La signora Frola e il signor Ponza, suo genero"
"Uno, nessuno centomila"
Men are represented as polygons and their social status is determined by the regularity and the number of the sides, considering the circle as the perfect shape; on the other hand women are simple lines. The society is rigidly divided into classes from the lowest class of the triangles
Social aspiration to climb up the social ladder is the main feature of Flatland’s inhabitants
The most negative feature of Flatland’s society is the narrow-mindedness that emerges in the incapability of its inhabitants to imagine a third dimension
All these elements contribute for an explicit criticism to victorian society, an age of contradictions hidden by respectability and social cohesion.
Le geometrie non euclidee nell’arte: Escher
Il disco di Poincaré è un modello di geometria iperbolica elaborato dal matematico J. H. Poincaré con curvatura costante pari a -1, un disco n-dimensionale in cui:
le geodetiche sono archi di circonferenza ortogonali al bordo (gli angoli sono determinati dalle tangenti) o un diametro della pseudosfera(simile alla falda di un iperboloide)

I punti della pseudosfera sono identificati con tutti i punti interni ad una circonferenza (la circonferenza limite) .

Data una retta r e un punto P ad essa non appartenente esistono almeno due rette passanti per P e parallele a r (cioè che non intersecano r).


Prese tre rette iperboliche, r,s,t se r è parallela ad s ed s è parallela a t non è detto che r sia parallela a t.

Per due punti distinti passa una e una sola retta.

Immaginando il piano iperbolico si comprende come il bordo del disco sia all’infinito, e sia dunque possibile una infinita tassellazione del piano come comprese Escher elaborando il celebre Limite del cerchio III.

La tecnica artistica prevalentemente utilizzata da Escher nelle sue opere, fra cui Limite del cerchio III,è la litografia: una tecnica di riproduzione meccanica di immagini per cui l’artista incide con una matita grassa su una pietra (calcarea) opportunamente levigata l’immagine da riprodurre, successivamente vi riversa l’inchiostro il quale viene trattenuto dalle parti incise dalla matita, quindi al torchio la carta riceve solo l’inchiostro in corrispondenza delle parti disegnate.
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