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transferencia de calor en 2D

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by

eduardo lopez

on 8 June 2016

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Transcript of transferencia de calor en 2D


Muchos problemas de transferencia de calor que se encuentran en la práctica se pueden aproximar como si fueran unidimensionales, pero éste no siempre es el caso.
A veces también se necesita considerar transferencia de calor en otras direcciones, cuando la variación de temperatura en esas direcciones es significativa.
A continuación se considera la formulación numérica y la solución de la conducción bidimensional de calor en estado estacionario de coordenadas rectangulares, mediante el método de separación de variables, diferencias finitas y método gráfico.

análisis:
A fin de apreciar cómo se aprovecha el método de separación de variables para resolver problemas de conducción en 2 dimensiones, consideramos el sistema de la figura 1. Tres lados de la placa rectangular se
mantienen a una temperatura constante T1, mientras el cuarto lado se mantiene a una temperatura constante T1≠T2. Estamos interesados en la distribución de temperaturas T(x,y), pero para simplificar la solución introducimos la transformación


Transferencia de calor en 2D
Eduardo López Urquizo

separación de variables
al sustituir las ecuaciones la ecuación diferencial transformada es

como la ecuación es de segundo orden en X y Y, se necesitan 2 condiciones de frontera para cada una de las coordenadas. Estas son



Advierta que a través de la transformación de la ecuación, tres de las cuatro condiciones de frontera son ahora homogéneas y el valor de θ esta restringido al intervalo entre 0 y 1

Aplicamos ahora la técnica de separación de variables suponiendo que es posible expresar la solución deseada como el producto de dos funciones, una de las cuales depende solo de X mientras la otra depende solo de Y.
Es decir, suponemos la existencia de una solución de forma



Al sustituir en la ecuación anterior y dividir entre XY, obtenemos
Y es evidente que la ecuación diferencial es, de hecho, separable. Es decir, el lado izquierdo de la ecuación depende solo de x y el lado derecho solo de y. así la igualdad se aplica en general solo si ambos lados son iguales a la misma constante. Al identificar esta constante de separación −hasta ahora desconocida− como, λ^2 tenemos

y la ecuación diferencial parcial se reduce a dos ecuaciones diferenciales ordinarias. Advierta que la
designación de λ^2 como una constante positiva no fue arbitraria. Si se seleccionara un valor negativo o se
eligiera un valor de λ^2 = 0, seria fácil demostrar que es imposible obtener una solución que satisfaga las
condiciones de frontera que se establecen.

las soluciones generales a las ecuaciones son respectivamente

En cuyo caso la forma general de la solución en 2 dimensiones es
Al aplicar la condición que θ (0,y) = 0, es evidente que C1 = 0. Además el requerimiento que θ (x,0) = 0,
obtenemos


Que solo satisface si C3 = − C4. Aunque el requerimiento también podría satisfacerse con C2 = 0, esta igualdad eliminaría por completo la dependencia de x y por ello proporcionaría una solución inaceptable. Si recurrimos al requerimiento θ(L,Y) = 0, obtenemos

La única forma de satisfacer esta condición es hacer que λ tome valores discretos para los que sen λL = 0.
estos valores deben entonces, ser de la forma

λ=nπ/L n=1,2,3…………
donde se excluye el entero n = 0 pues proporciona una solución inaceptable. La solución que se desea se expresa como

Al combinar constantes y reconocer que la nueva constante depende de n, obtenemos

donde también hemos utilizado el hecho de que (e^(nπy/L) −e^(nπy/L)) = 2 senh(nπy/L). En la forma anterior obtuvimos realmente un número infinito de soluciones que satisfacen la ecuación diferencial original y las condiciones de frontera. Sin embargo, como el problema es lineal, se obtiene una solución más general a partir de una superposición de la forma

Para determinar Cn aplicamos ahora la condición de frontera restante, que es de la forma
Aunque la ultima ecuación parecería ser una relación extremadamente complicada para evaluar Cn , se dispone un método estándar. Este implica escribir una expansión en serie infinita análoga en términos de funciones ortogonales. Un conjunto infinito de soluciones g1(x), g2(x)....... gn(x), se dice que es ortogonal en el dominio a ≤ x ≤b si


Muchas funciones exhiben ortogonalidad, incluidas las funciones trigonométricas sen(nπx/L) y cos(nπx/L)
para 0≤x≤L. Su utilidad en el problema actual radica en el hecho de que cualquier función f(x) se expresa en
términos de una serie infinita de funciones ortogonales

La forma de los coeficientes An en esta serie se determina multiplicando cada lado de la ecuación por gn (x) e
integrando entre los límites a y b.

Es evidente que todos excepto uno de los términos en el lado derecho de la ecuación deben ser cero, lo que nos deja con

Las propiedades de las funciones ortogonales sirven para resolver la ecuación para Cn a través de una serie
infinita análoga para la forma apropiada de f(x). De la ecuación primera se desprende que debemos elegir f(x)
= 1 y la función ortogonal gn(x) = sen(nπx/L). Al sustituir en la última ecuación obtenemos

Por lo tanto obtenemos la ecuación
Que es simplemente la expansión de la unidad en una serie de Fourier. Al comparar la primera ecuación con
esta última obtenemos

figura 2
isotermas para la conducción bidimensional en una placa rectangular
Al sustituir las ecuaciones obtenemos entonces la solución final

método de diferencias finitas
• Considere una región rectangular en la cual la conducción de calor es significativa en las direcciones x y y. Divida ahora el plano x-y de la región en una malla rectangular de puntos nodales con espacios x y y en las direcciones x y y, respectivamente, como se muestra en la figura 3, y considere una profundidad unitaria de ∆z = 1 en la dirección z. • El objetivo es determinar las temperaturas en los nodos y resulta conveniente numerarlos y describir su posición por los números, en lugar de las coordenadas reales.
. Un esquema lógico de numeración para los problemas bidimensionales es la notación de subíndice doble (m, n), donde m = 0, 1, 2, . . . , M es el conteo de los nodos en la dirección x, y n = 0, 1, 2, . . . , N es el conteo de los mismos en la dirección y. Las coordenadas del nodo (m, n) son simplemente x = m∆x y y = n∆y, y la temperatura en el nodo (m, n) se denota por Tm, n.

Considere ahora un elemento de volumen de tamaño x y 1, con centro en un nodo interior general (m, n), en una región en la que el calor se genera con una razón de e• y la conductividad térmica k es constante, como se muestra en la figura 4. Una vez más, si se supone que la dirección de la conducción de calor es hacia el nodo que se está considerando, en todas las superficies, el balance de energía sobre el elemento de volumen se puede expresar como
elemento de volumen de un nodo interior
general (m,n) para la conducción bidimensional en coordenadas rectangulares
Para el caso estacionario. De nuevo, si se supone que las temperaturas entre los nodos adyacentes varían linealmente y se nota que el área de transferencia de calor es Ax = ∆y x1 = ∆y, en la dirección x, y Ay = ∆x x 1 = ∆x, en la dirección y, la relación de balance de energía antes dada queda
para m 1, 2, 3, . . . , M 1 y n 1, 2, 3, . . . , N 1. Esta ecuación es idéntica a la ecuación obtenida con anterioridad al reemplazar las derivadas de la ecuación diferencial por diferencias para un nodo interior (m, n). De nuevo, una región rectangular con M nodos igualmente espaciados en la dirección x y N nodos igualmente espaciados en la dirección y tiene un total de (M 1)(N 1) nodos.
En el análisis con diferencias finitas por lo común se usa, por sencillez, una malla cuadrada (excepto cuando las magnitudes de los gradientes de temperatura en las direcciones x y y son muy diferentes) y, por tanto, x y y se
consideran iguales. Entonces x y l y la relación antes dada se simplifica a

Es decir, la formulación en diferencias finitas de un nodo interior se obtiene al
sumar las temperaturas de los cuatro vecinos más cercanos del nodo, menos
el cuádruplo de la temperatura del propio nodo y más el término de generación
de calor. También se puede expresar en la forma que sigue, la cual es fácil
de recordar:

Cuando no se tiene generación de calor en el medio, la ecuación en diferencias
finitas para un nodo interior todavía se simplifica más a Tnodo (Tizquierda +
Tarriba + Tderecha + Tabajo)/4, la cual tiene la interpretación interesante de que
la temperatura de cada nodo interior es el promedio aritmético de las temperaturas
de los cuatro nodos vecinos. Esta proposición también se cumple
para los problemas tridimensionales, excepto que, en ese caso, los nodos interiores
tendrán seis nodos vecinos en lugar de cuatro.

nodos de frontera
El desarrollo de la formulación en diferencias finitas de los nodos frontera en los problemas bidimensionales (o tridimensionales) es semejante al realizado en el caso unidimensional descrito al principio. Una vez más, la región se divide entre los nodos mediante la formación de elementos de volumen alrededor de ellos y se escribe un balance de energía para cada nodo frontera. Como se discutió para una pared plana, se pueden manejar varias condiciones de frontera, excepto que los elementos de volumen en el caso bidimensional comprenden transferencia de calor en la dirección y así como en la dirección x. • Las superficies aisladas todavía se conciben como “espejos” y se puede usar el concepto de imagen especular con el fin de tratar los nodos sobre fronteras aisladas como nodos interiores.
Para la transferencia de calor en condiciones estacionarias, la ecuación básica
que se debe tener presente al escribir un balance de energía sobre un elemento
de volumen es (figura 5)

sea el problema unidimensional, bidimensional o tridimensional. De nuevo, por conveniencia en la formulación, se supone que toda la transferencia de calor es hacia el elemento de volumen desde todas las superficies excepto para el flujo específico de calor, cuya dirección está ya determinada. Esto se demuestra en el ejemplo para varias condiciones de frontera.

ejemplo:
Conducción bidimensional de calor en estado estacionario en barras L

Considere la transferencia de calor en estado estacionario en un cuerpo sólido
con forma en L, cuya sección transversal se da en la figura 6. La transferencia
de calor en la dirección perpendicular al plano del papel es despreciable y,
por consiguiente, la transferencia de calor en el cuerpo es bidimensional. La
conductividad térmica del cuerpo es k = 15 W/m • °C y se genera calor en éste
con una velocidad de e• = 2 x10´6 W/m3. La superficie izquierda del cuerpo está
aislada y la inferior se mantiene a una temperatura uniforme de 90°C. La superficie
superior completa está sujeta a convección hacia el aire ambiental a T
25°C, con un coeficiente de convección de h 80 W/m2 • °C, y la superficie
derecha está sujeta a flujo de calor con una velocidad uniforme de q•R = 5 000
W/m2. La red nodal del problema consta de 15 nodos igualmente espaciados
Con Ϫ x = Ϫ y 1.2 cm, como se muestra en la figura. Cinco de los nodos están
en la superficie inferior y, como consecuencia, sus temperaturas se conocen.
Obtenga las ecuaciones en diferencias finitas en los nueve nodos restantes y
determine las temperaturas nodales al resolverlas.

esquema para el ejemplo y la red nodal
(las fronteras de los elementos de volumen
de los nodos se indican mediante lineas punteadas)
SOLUCIÓN Se considera la transferencia de calor en una barra sólida larga con
forma de L, con condiciones de frontera específicas. Con el método de diferencias
finitas se deben determinar las nueve temperaturas nodales desconocidas.

Suposiciones
1. La transferencia de calor es estacionaria y bidimensional, como
se expresa.
2. La conductividad térmica es constante.
3. La generación de calor
es uniforme.
4. La transferencia de calor por radiación es despreciable.

Propiedades: Se dice que la conductividad térmica es k = 15 W/m • °C.

Análisis: Se observa que todos los nodos son frontera, excepto el 5, que es interior.
Por lo tanto, se tiene que apoyar en los balances de energía para obtener
las ecuaciones en diferencias finitas. Pero, en principio, se forman los elementos
de volumen al dividir la región entre los nodos de manera equitativa, al trazar
líneas punteadas entre los nodos. Si se considera que el elemento de
volumen representado por un nodo interior es de tamaño completo (es decir Ϫ x X
Ϫy X 1), entonces el elemento de volumen representado por un nodo frontera
común, como el 2, se convierte en uno de mitad de tamaño (es decir, Ϫ x X
Ϫy/2 X 1) y el de un nodo de esquina, como el 1, es de un cuarto de tamaño (es
decir, Ϫ x/2 X Ϫ y/2 X 1). Se tiene presente la ecuación para el balance de
energía, las ecuaciones en diferencias finitas para cada uno de los nueve nodos
se obtienen como sigue:


a) Nodo 1. El elemento de volumen de este nodo de esquina está aislado a la izquierda y sujeto a convección en la parte superior y a conducción en las superficies derecha e inferior. Un balance de energía sobre este elemento da
[figura 7a]

b) Nodo 2. El elemento de volumen de este nodo frontera está sujeto a convección
en la parte superior y a conducción en las superficies derecha, inferior e
izquierda. Un balance de energía sobre este elemento da [figura 7b]

c) Nodo 3. El elemento de volumen de este nodo de esquina está sujeto a convección
en las superficies superior y derecha, y a conducción en las superficies
inferior e izquierda. Un balance de energía sobre este elemento da [figura 8a]

d) Nodo 4. Este nodo está sobre la frontera aislada y se puede tratar como un nodo interior al reemplazar el aislamiento por un espejo. Esto pone una imagen reflejada del nodo 5 a la izquierda del 4. Dado que x y l, la relación
del nodo interior general para el caso bidimensional de estado estacionario
[figura 8b]

e) Nodo 5. Éste es un nodo interior, y dado que x y l, la formulación en diferencias finitas de este nodo se obtiene directamente a partir de la ecuación [figura 9a]

f) Nodo 6. El elemento de volumen de este nodo de esquina interior está sujeto
a convección en la superficie expuesta con forma de L y a conducción en las
otras superficies. Un balance de energía sobre este elemento da [figura 9b]

Nodo 7. El elemento de volumen de este nodo frontera está sujeto a convección
en la parte superior y a conducción en las superficies derecha, inferior e
izquierda. Un balance de energía sobre este elemento da [figura 10]

h) Nodo 8. Este nodo es idéntico al 7 y se puede obtener la formulación en
diferencias finitas de aquel a partir del nodo 7 al desplazar en 1 los números de
los nodos (es decir, reemplazar el subíndice m por m + 1). Esto da

i) Nodo 9. El elemento de volumen de este nodo de esquina está sujeto a convección
en la superficie superior, a flujo de calor en la superficie derecha y a
conducción en las superficies inferior e izquierda. Un balance de energía sobre
este elemento da [figura 5-30b]

Fronteras irregulares
En los problemas con configuraciones geométricas simples, se puede llenar la
región completa mediante elementos de volumen simples, como tiras, para
una pared plana, y elementos rectangulares para la conducción bidimensional
en una región rectangular. También se pueden usar elementos con la forma de
capas cilíndricas o esféricas para cubrir por completo cuerpos cilíndricos o esféricos.
Sin embargo, muchas configuraciones que se encuentran en la práctica,
como las paletas de las turbinas o los monobloques de los motores,
no tienen formas simples y es difícil llenar esas configuraciones que tienen
fronteras irregulares con elementos sencillos de volumen. Una manera práctica
de tratar con esas configuraciones es reemplazar la configuración irregular
por una serie de elementos simples de volumen, como se muestra en la figura
11. Con frecuencia este simple procedimiento resulta satisfactorio para los
fines prácticos, en especial cuando los nodos están cerca uno de otro en la
vecindad de la frontera

ejemplo: perdida de calor a través de chimeneas
EL MÉTODO GRÁFICO. Se usa cuando se tienen fronteras adiabáticas e isotermas. Se construye una red de isotermas y líneas de flujo de calor.

1) Identificar las líneas relevantes de simetría
(2) Las líneas de simetría son adiabáticas, no hay
flujo de calor a través de ellas.

(3) Líneas isotermas son perpendiculares a las
adiabáticas

(4) Se forman cuadrados curvilíneos.

Ejemplo. Un cable de transmisión d = 25 mm, enterrado en una zanja a medio metro de profundidad en arena de Ka = 0.03 w/mK. La corriente disipa 1 w/m. La cubierta aislante de 3mm del cable con Kc = 0.01 w/mK. Calcule la temperatura en la interfase entre el conductor y el aislamiento cuando la temperatura de arena es de 200C
método gráfico
figura 1
figura 3
figura 4
figura 5
figura 6
figura 7a
figura 7b
figura 8a
figura 8b
figura 9a
figura 9b
figura 10
figura 11
12
figura 12
figura 13
14
figura 14
15
15
figura 15
16
figura 16
13
tabla 1. resumen de la ecuación nodal de diferencias finitas
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