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Estimación de parametros

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Luz Nery Burbano Portilla

on 16 November 2014

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Transcript of Estimación de parametros

La estadistica
Estimación de parametros
nos proporciona herramientas que formalizan y uniforman los procedimientos
para sacar conclusiones
característicos de un buen estimador
la media o la desviación típica
pueden tomarse como estimadores de los parámetros
Introducción
Conviene que los estadísticos, en su función de estimadores de los correspondientes
parámetros, reúnan determinados requisitos. Fundamentalmente son:
Carencia de sesgo
Consistencia
al aumentar el tamaño de la muestra, - n -
su valor se acerca cada vez más al parámetro correspondiente .
Eficiencia
la precisión que alcanzan
los estadísticos en la estimación de los parámetros
si la media de la distribución muestral del estadístico considerado = valor del parámetro.
Algunos estimadores sesgados son consistentes, acercándose cada vez más sus valores a los de
sus respectivos parámetros a medida que el tamaño de la muestra (n) aumenta.
Así, entre la media y la mediana, la primera es
claramente más eficiente.
MOMENTOS
Consiste en tomar como estimadores de los momentos poblacionales a los momentos muestrales. Se obtiene una ecuación de donde podemos despejar el parámetro a estimar.
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA MEDIA
La hallamos si desconocemos la distribucion de la población, basandonos en un resultado que se conoce como -->
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA PROPORCIÓN
Si en una población de Bernoulli de parámetro p definimos la v.a X=n° éxitos en la muestra, X sigue una distribución binomial de parámetros (n,p). Si la muestra es grande, tenemos que la proporción muestral P=X/n se distribuye aproximadamente como una normal N{p, pq/n} y podremos usar el teorema central del límite.
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA
Desigualdad de TChebychev
Sean dos poblaciones independientes con desconocidos. Extraemos muestras de tamaño as respectivamente.
Como y desconocemos los valores,

aproximaremos las proporciones poblacionales por las proporciones muestrales correspondientes. Por tanto, el intervalo de confianza será :

Si tenemos una población con desconocida, entonces:
El intervalo de confianza para la varianza poblacional de confianza lo podemos obtener como sigue:
Despejando tenemos:
es decir:
Es aquella que considera un unico valor como estimacion del parametro; es decir se usa un solo estadistico muestral
para estimar el parametro poblacional correspondiente.

ESTIMACION PUNTUAL

Si se desea conocer el promedio de horas que los alumnos universitarios dedican a ver television se elige aleatoriamente una muestra y se calcula la media. Se supone que la muestra es representativa de la poblacion y por lo tanto el valor calculado puede considerarse como una buena estimacion del parametro correspondiente. Tomamos un único valor como estimacion de su correspondiente parametro.


Ejemplo

Sea ( X1, X 2 ,..., X n ) una muestra aleatoria simple de una poblacion X con funcion
Masa Pθ , o de densidad fθ , donde θ = (θ1 ,θ2 ,...,θk ) es el vector parametrico a estimar.
El estimador de θ por el metodo de los momentos es el formado por los valores θˆ1 ,θˆ2 ,...,θˆk
Obtenidos al resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

METODOS

Sea ( X1, X 2 ,..., X n ) una muestra aleatoria simple de una poblacion X con función de masa Pθ , o de densidad fθ , donde θ = (θ1 ,θ2 ,...,θk ) es el vector parametrico a estimar. El estimador de θ por el metodo de maxima verosimilitu d es el formado por los valores θˆ1 ,θˆ2,...,θˆk que maximizan la llamada funcion de verosimilitud de la muestra (x1, x2 ,..., xn ) obtenida

La funcion de verosimilitud expresa la probabilidad, o densidad, que los diferentes valores de θ dan a la muestra obtenida. Lo que hacemos es maximizar esa probabilidad, o densidad.

Metodo de máxima versimiltud

OTRA FORMA

Sea una muestra aleatoria de tamano n de una poblacion X con distribucion de Bernoulli de parametro p. Encontramos el estimador pˆ del parametro p.

En este caso la funcion de masa es P(x) = p x (1− p)1−x

EJEMPLO

Estimador por el metodo de los momentos:
E[ X ] = p , como 1 Σn xi = x ,
tomamos como estimador del parametro p el n i=1
valor de la media muestral pˆ = x .

SOLUCION

METODO DE LA MAXIMA VEROSIMILITUD

DOS O MAS PARAMETROS

UN PARAMETRO

MAXIMA VERISIMILITUD

y desconocemos los valores de p 1 y p 2 ,
aproximaremos las proporciones poblacionales por las proporciones muéstrales correspondientes. Por tanto, el intervalo de confianza será:

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES.

Lo que haremos es sustituir p por

Caso particular: Si tenemos p 1 = p 2 = p , entonces E P 1 − P 2 [ ] = 0 y

Ejemplo: En dos grandes empresas se lleva a cabo un estudio sobre la proporción de mujeres entre sus empleados diplomados y licenciados. De cada empresa se toma una m.a.s. de 40 empleados entre los diplomados y licenciados, obteniéndose que en la empresa A había 16 mujeres y en la empresa B, 22 mujeres. Obtener el intervalo de confianza para la d
iferencia de proporciones poblacionales al nivel de confianza 0'96. Podemos pensar que la proporción es la misma?


El intervalo contiene al cero, pero el extremo inferior se aleja bastante de cero.

Sustituyendo en el intervalo

Es decir,

Despejando σ 2 tenemos:

El intervalo de confianza para la varianza poblacional al nivel de confianza 1−α
lo podemos obtener como sigue:

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA.

Si tenemos una población X → N ( μ , σ 2 )
con σ 2 desconocida, entonces

Ejemplo: De acuerdo con las tablas de altura, los varones tienen una altura superior a las mujeres en la población española. Según las ultimas tablas en el servicio militar
los varones entre 18 y 20 anos presentan una varianza de 0'0529. de las mujeres no tenemos información, por ello tomamos una muestra de 101 mujeres entre 18 y 20 anos y obtenemos 0'18 1 = n− s. Entre que valores se encontrara la verdadera varianza a un nivel de 0'95 de confianza?

Sustituyendo en el intervalo tendremos:

A partir de aquí deducimos el intervalo de confianza para el cociente de varianzas poblacionales al nivel de 1−α y obtenemos

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA RELACIÓN DE VARIANZAS

La distribución muestral del cociente de varianzas muéstrales,
cuando teníamos dos poblaciones normales e independientes era:


Ejemplo: Con los datos del ejemplo de la pag. 11, calcular el intervalo de confianza para el cociente de varianzas al
nivel de confianza 0'95. Podríamos aceptar la suposición de que las varianzas poblacionales son iguales?

DETERMINACIÓN DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA

En general, cuanto mas estrecho es un intervalo de confianza mayor precisión tendrá nuestra estimación (será menor el error muestral máximo). Ahora bien, la amplitud de un intervalo depende de dos factores: el nivel de confianza que decidimos utilizar y el tamaño del erro r típico (es la desviación típica) del estadístico utilizado como estimador.
Si disminuimos el nivel de confianza, disminuye la amplitud del intervalo, pero aumenta el riesgo. Debemos intentar reducir la amplitud del intervalo manteniendo constante el nivel de confianza; para ello hay que reducir el error típico del estimador.

BASADO EN LA MEDIA DE LA POBLACIÓN

Por lo tanto, variando el tamaño muestral variaremos el error típico. Al aumentar n, disminuye xσ .
Por tanto, manipulando el tamaño de la muestra podemos obtener los intervalos de la precisión que deseemos.

En el caso de la media, el error típico es

Ejemplo:
Queremos estimar la media de una población normal con varianza poblacional igual a 4. que tamaño muestral debemos tomar para que E=0'02 al nivel de confianza 0'95?

BASADO EN PROPORCIÓN DE LA POBLACIÓN

Como conocemos la varianza poblacional, el tamaño muestral será:

BASADO EN LA DIFERENCIA DE LAS MEDIAS DE LA POBLACION

Comparación de medias
Grupos independientes
Grupos emparejados
el cálculo del tamaño de muestra para la comparación de medias de datos cuantitativos
, cuando los dos grupos son independientes, asume que los datos siguen una distribución normal y se basa en la prueba t de Student. Los factores que intervienen en el cálculo son:

La diferencia de medias esperada entre los dos grupos.



Esta cantidad representa la magnitud de la diferencia que se considera clínicamente relevante y que se quiere poder declarar, en caso de que exista, como estadísticamente significativa, con el nivel de confianza y la potencia prefijadas. Es lo que, en ensayos clínicos, s
e conoce como "tamaño del efecto". Un índice que cuantifica la magnitud de la diferencia entre los grupos, pero que es independiente de las unidades de medida, es la denominada diferencia estandarizada de medias (d), y que resulta de dividir la diferencia de medias, en valor absoluto, entre la desviación estándar común de los dos grupos.

Razón entre los tamaños de muestra de los dos grupos.


Habitualmente, el diseño de un estudio para la comparación de medias en dos grupos independientes contempla la selección de dos muestras de igual tamaño, pero puede ocurrir que esto no sea así.
En Epidat 3.0, es necesario especificar la razón entre los tamaños de muestra de los dos grupos. Si se selecciona la opción de calcular tamaños de muestra, el resultado que produce es el tamaño de cada uno de los grupos en función del valor o valores de potencia especificada. En el caso contrario, cuando se pide calcular potencia, el dato de entrada debe ser el tamaño de muestra total, es decir, la suma de los dos grupos.

GRACIAS POR SU ATENCION
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