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Modelación matemática de las vibraciones de un edificio durante un terremoto

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Heli Mariano Santiago

on 20 May 2014

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Transcript of Modelación matemática de las vibraciones de un edificio durante un terremoto

Modelación matemática de las vibraciones de un edificio durante un terremoto
(cc) photo by theaucitron on Flickr
(cc) photo by theaucitron on Flickr
Motivación
Resonancia
Primero
¿Qué es un sismo? ¿qué es un terremoto?
Un terremoto o sismo es una liberación de enegía manifestado por la perturbación(vibración) del terreno, que se produce por los desplazamientos repentinos a lo largo de lo bordes de las placas o por el movimiento de las fallas geológicas. La zona donde se inicia la liberación de energía se llama foco y su proyección sobre la superficie se conoce como epicentro.
Se considera que los sismos con intensidad mayor o igual a 7.0 son terremotos.
La ocurrencia de un sismo siempre depende de la región, existen regiones con m´as probabilidad de suceso que otras.
Conceptos utilizados
Ley de Hooke: Establece en el m.a.s que la fuerza de
restitución, F, opuesta a la dirección del alargamiento es proporcional a la cantidad de alargamiento x. En concreto F = -􀀀kx, donde k es una constante de proporcionalidad.
Frecuencia Natural: Es la frecuencia a la que un sistema mecánico seguirá vibrando después que se quita la señal de excitación.
Amortiguamiento de Coulomb: Constante mecánica de amortiguación en la que la energía es absorbida por la fricción por deslizamiento. Es un valor constante sin importar el deslizamiento o la velocidad.
Resonancia: Es un fenómeno que se produce cuando
un cuerpo capaz de vibrar es sometido a la acción de una fuerza periódica, cuyo periodo de vibración coincide con el periodo de vibración característico de dicho cuerpo. En el cual una fuerza relativamente pequeña aplicada en forma repetida, hace que una amplitud de un sistema oscilante se haga muy grande
¿Cómo se miden los sismos?
Actualmente se utilizan dos escalas de magnitud, la de Richter y la de Mercalli. La de Richter mide la energía liberada durante un sismo, mediante el uso de sismógrafos y la escala de intensidad, por otro lado, la de Mercalli mide los efectos del sismo.
Para entender la escala de Richter,
es bueno compararla con la enegía
liberada.
Modelo
Solución
Con amortiguación pero sin fuerza externa:
Sin amortiguación y sin fuerza externa:
Solución
Solución
Solución
Curva de resonancia
Ganancia de frecuencia
Cuando b=0
Una sola planta ó una masa y un resorte:
Se concluye
Se determinan
Periodo
Frecuencia
Deriva las siguientes ecuaciones:
Matriz de masa
Matriz de rigidez
Solución al sistema
Se concluye
Lo peligroso que resulta hacer
un edificio sin amortiguación.
Durante un terremoto
se aplica una gran fuerza
al primer piso.
Surge un problema en la
solución analítica.
Aplicaciones
Ejemplo1 :
Supongamos un edificio de 10 pisos en el cual cada
piso tiene 10000kg de masa y el valor de cada ki es
de 5000kg/s2. Puesto que las matrices M y K son de
10 10 entonces la matriz A tambi´en es de 10 10, por tanto:
Se obtiene la siguiente tabla
a partir de un C.A.S.
No parece correr peligro de desarrollar resonancia durante un terremoto normal cuyo periodo de duración suele ser de 2 a 3 segundos.
También podemos calcular la reacción del edificio a diferentes periodo de duración de un terremoto.
Multiplicamos la matriz de rigidez por 10
para obtener los siguientes resultados:
Ejemplo2:
Sin amortiguación
Indiscutible mejora
Con amortiguación
Semejanza
Conclusiones:
El problema de modelar un edificio afectado por un terremoto, se puede decir, es un tema abierto. A lo largo del artículo se hizo énfasis en el daño que puede ocasionar que la frecuencia del sismo coincida con la frecuencia característica de un piso del edificio, pero también hay que decir que no es lo único que puede ocasionar daños estructurales sobre la edificación, otros fractores como que rupturas en la corteza terrestre(hundimientos) pueden ocasionar daños a la estructura.
x(t)=ASen(wt+a)
REFERENCIAS
[1] Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera.
Dennis G. Zill, Michael R. Cullen. Quinta edici ´on, pag. 364-406.
[2] Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera.
Nagle, Saff, Snider. Cuarta edici ´on, pag. 196-218.
[3] Ecuaciones Diferenciales. Henry Edwards, David Penney. Cuarta
edici ´on, pag. 410-423.
[4] Learning Differential Equations by Exploring Earthquakes Induced
structural Vibrations: A Case Study. Rich Marchand, Timothy J.
McDevitt, Deparment of Mathematics, Millersville University.
[5] Oscilaciones y ondas. Alicia Guerrero,Universidad Nacional de
Colombia, cap. 1 y 2.
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