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수학 프레지

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by

민준 박

on 25 April 2016

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Transcript of 수학 프레지


n
n
수열
Kyungmin IT High School
여러가지 수열의합
1 합의 기호 ∑
2 자연수의 거듭제곱의 합
3 분수로 표시된 수열의 합
계차수열
1 계차수열의 뜻과 활용
수학적 귀납법
1 수열의 귀납적 정의
2 수학적 귀납법의 원리
알고리즘과 순서도
1 알고리즘
2 순서도
수열의 귀납적 정의
수학적 귀납법
계차수열
여러가지 수열의합
알고리즘과 순서도
알고리즘
순서도
ASPHALT 8
∑...과연 이기호는 무엇일까?
기호 ∑란?
:영어 Sum의 첫 글자 s에 해당하는
그리스 알파벳의 대문자로서
'시그마(sigma)라고 읽는다.
∑..이 글자는 뭘까?




























계차수열
이웃한 두 항 중에서 어떤 항에서 그 앞항을 뺀 것
계차
원수열 : 1 3 7 13 21 31 .....
n
a
n-1
b
계차수열 : 2 4 6 8 10 ......
=1+(2+4+6 ... + ) = 1+(n-1)n = n -n+1
2
박민준 조장 : 디자인 , 총괄
박재현 : 발표 , 여러 가지 수열의 합
천범석 : 자료조사 , 수열의 귀납적 정의
이원준 : 음악 , 계차수열
최용준 : 자료조사, 알고리즘과 순서도
민준 버스
n-1
b
n
a
1
a
2학년 7반
계차수열의 일반항

k=1
b
k
n-1





단, (n 2)
>

+
계차수열
어떤 수열의 각 수에서 그 하나 앞의 수를 뺀 차
계차
1
a

k=1
b
k
n-1



계차수열이란 인접하는 두 항의
차로 이루어지는 수열이다.
.
+
계차수열의 일반항
단, (n >= 2)
계차수열의 활용
등차 등비수열도 아니면서
일반항이 바로 보이지 않으면
계차를 구해본다.
∑ 의 기본성질을 알아보자

두수열{a }, {b }과 상수 c에 대하여
감사합니다










k=1
n
...
...
...
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
n
n
n
n
k
k

k=1
n

k=1
n
a
b
k
k
-
=



































[2] (a - b )=(a - b )+(a - b )+(a - b )+ +(a - b )
=(a +a +a + +a )- (b +b +b + +b )

k=1
n
ca
k
...
...
1
1
2
2
3
3
n
n

k=1
n
c
a
k

























[3] =ca +ca +ca + +ca

=c(a +a +a + +a )=
n
c
...

k=1










[4] =c+c+c+ +c=cn













k=1
n
...
...
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
n
n
n
n
...
k
k

k=1

k=1
a
b
k
k
+
n
n
=
















[1] (a +b )=(a +b )+(a +b )+(a +b )+ +(a +b )
=(a +a +a + +a )+(b +b +b + +b )
























k=1
(a +b )
k
k
=

k=1
a
k

k=1
+
b
k

k=1
(a - b )
k
k
=

k=1
a
k

k=1
-
b
k
n
n
n

k=1
n
ca
k
=

k=1
n
c
a
k

k=1
n
c=cn (단 , c는 상수)
(단, c는 상수)
[1]
[2]
[3]
[4]
n
n
n


































이상을 정리하면 다음과 같다.
합의 기호 ∑
이때, k 대신에 i또는 j등의 다른 문자를 쓸수있다.


k=1
a
k
일반항
n
첫째항부터
제 n 항까지
1
2
3
n
...













a +a +a + +a =



∑의 뜻을 알아보자.

2
...
n
3
1
n





수열{a }의 첫째항부터 제n항 까지의 합
a +a +a + +a 은 기호 ∑를 사용하여
다음과 같이 간단하게 나타낸다.


.
.
.
k=1
(3k-2)
10
기본문제

1.다음 식을 기호 ∑를 사용하여 나타내여라.
(1)1+4+7+ +28
...

a =1+(n-1)3
a =3 -2
3 -2=28
3 =30
n=10
n
n
n
n
n
자연수 n에 대한 명제 p(n)이 자연수 n에 대하여
성립함을 증명하려면
다음의 [1]과 [2]를 밝히면 된다.
[1] n=1일 때, 명제p(n)이 성립한다.
[2] n=k일 때, 명제p(n)이 성립한다고 가정한다면
n=k+1일 때에도 명제p(n) 성립한다.

이와 같은 방법으로 어떤 명제가 참임을 증명하는 방법
을 수학적 귀납법이라고 한다.
수학적 귀납법
계차수열의 뜻
계차수열의 활용
항등식(k+1) -k =4k +6k +4k+1의 k에 1, 2, 3, , n을 각각 대입하면
...
4
4
3
2
k=1일 때, 2 -1 =4 1+6 1 +4 1+1

k=2일 때, 3 -2 =4 2+6 2 +4 2+1

k=3일 때, 4 -3 =4 3+6 3 +4 3+1



k=n일 때, (n+1) -n =4 n +6 n +4 n +1
4
4
4
4
4
4
4
4
3
3
3
3
2
2
2
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
이 n개의 등식을 변끼리 더하여 정리하면
(n+1) -1 =4(1 +2 + +n )+6(1 +2 + +n )+4(1+2+ +n)+n
4
4
3
3
3
2
2
2
...
...
...
이 때 1 +2 + +n =S 이라 하고 식을 정리하면,
3
3
3
n
...
이 되므로
수학적 귀납법의 원리
1) 정수 n에 대하여 정의된 명제 P(n)이
다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
그러면, n≥c인 모든 정수 n에 대하여
P(n)은 참이다.
ⅱ. n≥c인 임의의 정수 n에 대하여,
P(n)이 참이면,P(n+1)도 참이다.
ⅰ. 어떤 정수 c에 대하여
P(c)는 참이다.
3)정수 n에 대하여 정의된 명제 P(n)이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
ⅰ. P(1)과 P(2)가 참이다.
ⅱ. 양의 정수 k에 대하여 P(k)가 참이면, P(k+2)도 참이다.
그러면, 모든 양의 정수 n에 대하여 P(n)은 참이다.
2) 정수 n에 대하여 정의된 명제 P(n)이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
ⅰ. P(1)과 P(2)가 참이다.
ⅱ. 양의 정수 k에 대하여 p(k)와 P(k+1)가 참이면, P(k+2)도 참이다.
그러면, 모든 양의 정수 n에 대하여 P(n)은 참이다.
자연수의 거듭제곱의 합[3]
이 된다.
수학적 귀납법의 원리
자연수의 거듭제곱의 합
자연수 거듭제곱의 합 공식
[1]

k=1
n
k=1+2+3+ +n이므로
...
첫째항이 1, 공차가 1이고 항의개수가 n개인 등차수열의 합이 된다.
따라서
이 된다.











항등식 (k+1) -k =3k +3k+1의 k에 1, 2, 3, , n을 각각 대입하면
...
3
3
2
k=1일 때, 2 -1 =3 1 +3 1+1

k=2일 때, 3 -2 =3 2 +3 2+1

k=3일 때, 4 -3 =3 3 +3 3+1



k=n일 때, (n+1) - n = 3n + 3n + 1
3
3
3
3
3
3
2
2
2
3
3
2
...
...
.
.
.
.
.
.
이 n개의 등식을 변끼리 더하여 정리하면
(n+1) -1 =3(1 +2 + +n )+3(1+2+ +n)+(1+1+ +1)
3
3
2
2
...
...
...
이 된다.
자연수 거듭제곱의 합 공식 [2]
분수로 표시된 수열의 합

일반항이 분수식이고, 분모가 두 일차식의 곱으로 나타나는 수열의 합을 구할 때에는 어떻게할까?
을 이용해보자.
a
k
의 일반항을 라고 하면
에서 수열
으로 정리된다.
[참고]
수학적 귀납법의 원리
알고리즘
알고리즘(영어: algorithm 알고리듬)
어떠한 문제를 해결하기 위한
여러 동작들의 유한한 모임
이란
무하마드 이븐무사 알콰리즈미
(Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi 780 ~ 850)
알고리즘 이란 용어는 9세기 아라비아의 수학자
알콰리즈미의 이름에서 따온 것이다.
순서도(영어: flowchart)는
알고리즘의 처리 순서를 알기 쉽도록
약속된 기호를 사용하여 그림으로
나타낸 것을 순서도라고 한다
시작
a ← 1
n ← 1
a ← a + 3
n ← n + 1
n = 4?
a를 인쇄

루프
아니오
1. a=1, n=1로 놓는다.
2. a+3의 값을 계산하고
이것을 다시 a로 놓는다.
3. n+1의 값을 계산하고
이것을 다시 n으로 놓는다.
4. n=4이면 5번으로 가고
n=4이면 2번으로 돌아간다.
5. n=4일 때 a의 값인 a4 를
인쇄한다.
순서도에서 같은 처리나 판단이
반복되는 부분을 루프(Loop)라고 한다.

a₁=1, an+1=an+3(n=1, 2, 3, …)로 정의된
수열 {an}의 제 4항을 구하는 순서도이다.
순서도를 그릴 때 많이 쓰이는 기호는 다음과 같다
시작과 끝을 나타내는 기호
처리기호
판단기호
(마름모 안에 판단기준을 쓴다)
흐름 기호
다음 순서도는
7
(1)a = ?
n
계차수열의 활용
문제 1) 2, 3, 5, 9, 17, .....
(2) 계차를 구해보면 1, 2, 4, 8, ...
계차수열 일반항 b = 2
n
n-1
a = 2 + ,------- + 10 = 2 +9 = 1033
n
2-1
2 - 1
10
10
계차수열의 활용
문제 2)
a =1, a -a = 4n+1 일 때, a =?
1
n+1
n
n
계차수열 일반항 b = 4n + 1 이므로
n
a = 1+ 2(n-1) + 3(n-1) = 2n -n
n
2
2
BGM : Microsoft Office iPad Promotion
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