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Splines Cubicos

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Jose Gustavo Rodriguez Cortes

on 28 November 2012

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Transcript of Splines Cubicos

Carlos Eduardo Martin Rubiano 1020019016
José Gustavo Rodríguez Cortés 0811042567 Splines Cubicos Qué es un Spline Cubico? Definición matemática Ejemplos Splines Algoritmo Spline Cubico Ejemplo Como vimos en parte del curso de Métodos hay un metodo llamado de segmentos o trazadores los cuales su idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar todos los datos, se
pueden usar segmentos de polinomios entre pares coordenados de datos y unir cada uno de
ellos adecuadamente para ajustar los datos.
Vale la pena resaltar que entre todas las formas de ajustar datos, los splines cúbicos han
resultado ser los más adecuados para cualquier tipo de aplicación ademas que estos muestran más finura y exactitud El spline cúbico (k=3) es el método más empleado como se ha mencionado anteriormente,
debido a que proporciona un excelente ajuste a los puntos tabulados y su cálculo no es
excesivamente complejo.
Sobre cada intervalo [t0,t1],[t1,t2],...,[tn-1,tn], S está definido por un polinomio cúbico diferente. Sea Si el polinomio cúbico que representa a S en el intervalo [ti,ti-1], por tanto: Aplicando las condiciones de continuidad del spline S y de las derivadas primera S' y
segunda S'', es posible encontrar la expresión analítica del spline. No vamos a obtener esta
expresión, ya que su demostración queda fuera del ámbito de estos apuntes. Simplemente
se dirá que la expresión resultante es: Input n,ti,yi
for i=0,1,…,n-1 do
hi=ti+1-ti
bi=6(yi+1-yi
)/hi
end
U1=2(ho+h1)
V1=b1-b0
for i=2,3,…,n-1 do
ui=2(hi+hi-1)-h
2
i-1/ui-1
vi=bi
-bi-1-hi-1vi-1/ui-1
end
zn=0
for i=n-1,n-1,...,1 do
zi=)vi
-hizi+1)/ui
end
zo=0
output zi Para hacer más firme el entendimiento, se escribe la definición
correspondiente a este caso (k=3).
Dados n+1 datos: Interpolar los siguientes datos mediante un spline cúbico: Al igual que en el caso de los splines cuadráticos, se presentan ecuaciones que pueden tener discontinuidad en los cambios de intervalo; las posibles discontinuidades son los puntos donde se cambia de intervalo, en este caso x=3. Para evitar esta discontinuidad, se
en x=3 los dos polinomios y se igualan de la siguiente manera: 3a1(3)^2+2b1(3)+c1= 3a2(3)^2+2b2(3)+c2. Siendo igual a:
27a1+6b1+c1=27a2+6b2+c2 Ec5
De la misma manera se procede con la segunda derivada: Los polinomios Si-1 y Si interpolan el mismo valor en el punto ti, es decir, se cumple: Si-1(ti)=yi=Si(ti) 1<= i <= n-1
Por lo que se garantiza que S es continuo en todo el intervalo. Además, se supone que S' y S'' son continuas, condición que se emplea en la deducción de una expresión para la función del spline cúbico. En la expresión anterior, hi=ti+1-ti y z0,z1,...,zn son incógnitas. Para determinar sus valores, se utilizan las condiciones de continuidad que deben cumplir estas funciones. El resultado (que tampoco se demuestra) es: La ecuación anterior, con i=1,2,....,n-1 genera un sistema de n-1 ecuaciones lineales con
n+1 incógnitas z0,z1,...,zn. Se puede elegir z0 y z1 de forma arbitraria y resolver el
sistema de ecuaciones resultante para obtener los valores de z1,z2,...,zn-1. Una elección
especialmente adecuada es hacer z0=z1=0. La función spline resultante se denomina spline
cúbico natural y el sistema de ecuaciones lineal expresado en forma matricial es: En donde: Este sistema de ecuaciones, que es tridiagonal, se puede resolver mediante eliminación
gaussiana sin pivoteo. El código acepta como entrada un conjunto de nodos (ti) y el
conjunto de los valores de la función correspondiente (yi
) y produce un vector con los
vectores zi
. Por último, el valor del spline S en un punto x cualquiera interpolado se puede
calcular de forma eficiente empleando la siguiente expresión:
Un Spline cúbico que interpola estos datos, es una función s(x) definida como sigue: Donde cada si(x) es un polinomio cúbico; si
(xi)=yi, para toda i=0,1,....,n y tal que s(x)
tiene primera y segunda derivadas continuas en (xo,xn)
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