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Ecuación paramétrica y cartesiana del plano en el espacio

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by

camila antúnez

on 28 May 2015

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Transcript of Ecuación paramétrica y cartesiana del plano en el espacio

Ecuación paramétrica y cartesiana del plano en el espacio
Planos en el espacio
Ecuación vectorial: II: (x,y,z)=(x ,y ,z )+λ(p ,p , p )+ μ(q ,q ,q )
Gráfica en el plano
Rectas en el espacio
Restando a la segunda ecuación la primera quedaría
y - x = 2 - 1 + λ - λ + 2μ - μ

El sistema se reduce a:
y - x = 1 + μ
z = 2 + 5μ
Intersecciones de planos en el espacio
Cuandos dos planos son paralelos al ser intersectado con otro, los tres son paralelos en cuyo caso la intersección es vacía y son dos rectas paralelas
Intersecciones de rectas en el espacio
Ecuación cartesiana de un plano
Está dada por: Ax + By + Cz + D = 0, es decir, los puntos del espacio (x, y, z) que satisfacen la ecuación y forman un plano.

Para encontrar la ecuación cartesiana de un plano, cuuando está escrita en ecuación paramétrica:
Se igualan las coordenadas
Se escribe como un sistema de ecuaciones correspondiente
Se eliminan los parámetos para encontrar una única ecuación lineal en variables x, y, z
Función paramétrica del plano: función cuyo dominio es el plano cartesiano y recorrido el espacio, tiene como imagen un plano en el espacio f(λ,μ)= (x + λp +μq , y +λp +μq , z +λp +μq )
Ecuación vectorial: (x,y,z)=(x , y , z )+λ(p , p , p )
Ecuación paramétrica: L: (x,y,z), donde:
x= x + λp
y= y + λp
z= z + λp
Si dos rectas son paralelas, no se intersecan, pero existe un único plano que las contiene.
Si son secantes, existe un único punto de intersección y un plano que las contiene
Si son alabeadas, no hay un punto en común y tampoco hay un plano que las contiene a ambas.
*donde p, son vectores directores
Por cada par de valores λ y μ que reemplacemos en la ecuación obtendremos un punto en el espacio y el conjunto de todos esos puntos obtenidos corresponde a un plano en el espacio


Ecuación paramétrica: función que asocia un punto de la recta a cada valor del paramétro en la recta numérica. x= x + λp + μq y= y + λp + μq z= z + λp + μq
Donde, el vector posición P =(x ,y ,z ) y los vectores directores son p=(p +p +p ) y q=(q +q +q )

A partir de la ecuación vectorial del plano II, escribimos las ecuaciones como un sistema de inecuaciones, y se resuelve de modo que se eliminen los parámetros λ y μ, y así obtener la ecuación cartesiana de un plano cuya forma general es: Ax+By+Cz+D=0
Cuando no son paralelas, la intersección es un punto que pertenece a los tres planos, la recta resultante de los dos primeros es paralela al tercer plano y entonces la interseccion de los tres planos es vacía
Considera la ecuación: (x,y,z)=(2,1,-2)+λ(1,3,1)+ μ(4,0,1). Para los sgtes. valores de λ y μ determina los ptos. en el espacio que corresponden en el plano
a) λ=1, μ=2




b)λ=2, μ=1
Considera la ecuación: (x,y,z)=(2,1,-2)+λ(1,3,1)+ μ(4,0,1). Para los sgtes. valores de λ y μ determina los ptos. en el espacio que corresponden en el plano
c) λ=0, μ=0





d) λ=0, μ=1
Considera la ecuación: (x,y,z)=(2,1,-2)+λ(1,3,1)+ μ(4,0,1). Para los sgtes. valores de λ y μ determina los ptos. en el espacio que corresponden en el plano
e) λ=2, μ=2

f) λ=-3, μ=4
1. Escribir la representación paramétrica del plano
(x, y, z) = (1 + λ + μ, 2 + λ + 2μ, 2 + 5μ)
2.Igualamos las coordenadas que satisfacen la ecuación
x= 1 + λ + μ
y= 2 + λ + 2μ
z= 2 + 5μ
3. Eliminar parámetos para determinar la relación entre x, y, z
y= 2 + λ + 2μ
x= 1 + λ + μ
z= 2 + 5μ

Ejemplo: Dado el plano de ecuación vectorial (x, y, z)= (1, 2, 2) + λ(1, 1, 0) + μ(1, 2, 5), determina su ecuación cartesiana.
Amplificamos por -5 para eliminar μ
5x - 5y = -5 - μ
z = 2 + 5μ
5x - 5y + z = -3
Por lo tanto la cuación cartesiana del plano es 5x - 5y + z = -3

Intersección con el eje X: reemplazamos en la ecuación y=0 y z=0, entonces: 5x=20 x=4 -->(4, 0, 0)
Intersección con el eje Y: reemplazamos en la ecuación x=0 y z=0, entonces: 2y=20 y=10 -->(0, 10, 0)
Intersección con el eje Z: reemplazamos en la ecuación x=0 e y=0, entonces: 4z=20 z=5 -->(0, 0, 5)
Ecuación cartesiana: 5x + 2y +4z =20
Dos planos en el espacio, o son paralelos,o bien se intersecan en una recta
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