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Numbers

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by

Gloria Delfín

on 27 September 2014

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Transcript of Numbers

Los números han surgido a través de la historia como una herramienta para resolver problemas de conteo, medición, ordenación, entre otro.



Los números
Los Números Reales
Los primeros números que surgieron fueron los números naturales, que nos sirve para contar cosas.

Entre ellos se contempla al 0

Se representa con el símbolo N
Números naturales
Observa
Números enteros
¿Dónde encontramos esos números negativos?
¿Qué sucede cuando dividimos dos números?





Observa
¿Donde encontramos los números racionales?
Números Racionales
¿Qué sucede si restas dos
números naturales?



3 - 5
3 - 5 = -2
Los números negativos junto con los positivos forman los números enteros y se denotan como Z
Nos da como resultado un número

negativo
3 / 4
No se obtiene un número entero
A estos números se le llamaron Racionales y se denotan con el símbolo

Q = {p/q para p y q que pertenecen a los Z y q es diferente de 0}
Sinteticemos en el siguiente mapa conceptual
lo que hemos aprendido

Diagrama representativo:

Aplicar la operatoria básica en los números naturales y enteros.

Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricos en sus diversas formas de expresión, tanto en las ciencias exactas como en las ciencias sociales y en el ámbito cotidiano.

Todo número entero es racional.

IN IN0 Z Q

1

3

Por ejemplo:
3 es Natural (3 IN),
3 es Cardinal (3 IN0),
3 es Entero (3 Z), y como

3 = , 3 es racional (3 Q).

Reconocer regularidades numéricas (secuencias).

Resolver problemas que involucren operaciones con números enteros, decimales y fracciones.

Aplicar las operaciones básicas en los números racionales.

Q*=

U

Q

Q* =

2. Números Irracionales (Q*)

Son aquellos que NO se pueden escribir como una fracción (decimales infinitos NO periódicos).

IR x II = C

II C

IN IN0 Z Q IR C

Diagrama representativo:

Es el conjunto formado por el producto cartesiano entre los números reales y los números imaginarios.

5. Números complejos (C)

Raíces de índice par y parte subradical negativa:

Ejemplo:

II = O

U

IR

Todos aquellos números que NO son reales, son imaginarios.

4. Números imaginarios (II)

Ejemplo:

Nota: Se llama “ante período” a los números que hay entre la coma decimal, y el período.

2. El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y tantos ceros (0), como cifras tenga el ante período.

1. El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del ante período.

De un número decimal semi periódico a fracción:

90

90

289

3,21 = 321-32 =

1.5 Secuencia numérica

5. Números complejos ( C )

4. Números imaginarios ( II )

3. Números reales ( IR )

Contenidos

2. Números irracionales (Q*)

1.4 Comparación de fracciones

1.3 Transformaciones de números racionales

1.2 Operatoria en los racionales

1.1 Propiedades de los racionales

Números racionales (Q)

Q* IR

IN IN0 Z Q IR

23,491002

2,18;

7

-2;

-89,

3,

Diagrama representativo:

Ejemplos:

Es el conjunto formado por la unión entre los números racionales y los números irracionales.

3. Números Reales (IR)

Nota: Se llama “período” al conjunto de dígitos que se repite indefinidamente.

999

999

0,376 = 376 – 0 = 376

Ejemplo 2:

99

99

2,35 = 235 – 2 = 233

Ejemplo 1:

2. El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período.

1. El numerador de la fracción es la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma, y la parte entera.

De un número decimal periódico a fracción:

Fracción propia, donde el numerador es menor que el denominador.
Fracción impropia, donde el numerador es mayor que el denominador.
Fracción Mixta, está compuesta de una parte entera y de otra fraccionaria.

Las fracciones se pueden clasificar en:

18

12

=

3

2

Al amplificar la fracción por 6 resulta:

6

6

Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador como el denominador por un mismo número.

3∙

2∙

Ejemplo:

Amplificar y simplificar fracciones

1.1 Propiedades de los racionales

<

10

9

15

13

Como 130 < 135, entonces:

130 y 135

13 ∙ 10 y 15 ∙ 9

y

10

9

15

13

(Multiplicando cruzado)

Al comparar

Ejemplo:

Multiplicación cruzada:

1.4 Comparación de fracciones

Ejemplo:

2

9

es:

9

2

El inverso multiplicativo, o recíproco de

Inverso multiplicativo o recíproco de una fracción

45 :

27 :

45

27

Al simplificar la fracción por 3 resulta:

15

9

=

3

3

Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el numerador como el denominador por un mismo número.

Ejemplo:

=

25∙4

25∙7

4

7

=

1,75

=

175

100

El numerador corresponde al número sin comas, y el denominador es una potencia de 10 que depende del número de decimales que tenga el número.

Ejemplo:

De decimal finito a fracción:

= 1,75

4

7

Se divide el numerador por el denominador.

Ejemplo:

De fracción a decimal:

1.3 Transformación de números racionales

a: numerador y b: denominador

NO es racional

0

15,

3

14;

8

-1;

-0,647

2,18;

0,489;

7

-2;

2; 17; 0; -6; -45;

Ejemplos:

Q =

/ a y b son enteros, y b es distinto de cero

b

a

Es un conjunto infinito, ordenado y denso, donde todos los números se pueden escribir como fracción, es decir:

, entonces

Como 0,86 > 0,583

>

12

7

15

13

0,58333333…

=

12

7

0,86666666…

=

15

13

y

(Transformando a decimal)

Al comparar

12

7

15

13

Ejemplo:

Transformar a decimal:

>

12

7

15

13

Como 52 > 35, entonces

y

60

35

60

52

y

12∙5

7∙5

15∙4

13∙4

(Igualando denominadores)

y

Al comparar

12

7

15

13

Ejemplo:

Igualando denominadores:

es mayor que

4

13

3

10

Por lo tanto,

y

40

130

39

130

y

4·10

13·10

3·13

10·13

y

4

13

3

10

(Multiplicamos ambos numeradores por un factor para obtener el m.c.m. entre 10 y 13 en este caso 130)

Al comparar

Ejemplo:

Igualando Numeradores:

(Con n = posición del término)

5

1 + (2n - 1)

5

1

Es , más un número impar, lo que se expresa como:

Respuesta:

¿cuál es el valor del n-ésimo término de la secuencia?

Lo que nos permitiría saber, por ejemplo,

7°…

... ,









... ,

5

1 + 13…

5

1 + 7 ,

5

1 + 5 ,

5

1 + 3 ,

5

1 + 1 ,

La secuencia anterior también se puede analizar de la siguiente manera:

Observación:

1.5 Secuencia Numérica

Respuesta:

Es decir:

5

65 = 13

5

1 ,

5

65

Tendríamos que sumar a para obtener el 7° término.

5

66 .

De acuerdo a las características de la secuencia, el 7° término es

5

1 ,

¿Qué número tendríamos que sumar a para obtener el 7° término ?

5

36 , ...

5

26 ,

5

16 ,

5

6 ,

En la secuencia:

Ejemplo:

40

67

=

=

40

32 + 35

40

4∙8 + 5∙7

=

8

7

+

5

4

4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.):

36

29

=

=

36

15 + 14

36

5∙3 + 7∙2

=

18

7

+

12

5

3. Si los denominadores son primos entre sí:

y

15

-3

=

15

7

-

15

4

45

13

=

45

6 + 7

=

45

2∙3 + 7∙1

=

45

7

+

15

2

2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro:

15

11

=

15

7

+

15

4

1. Si los denominadores son iguales:

Ejemplos:

Suma y resta

1.2 Operatoria en los racionales

5

43

=

5

8∙5 + 3

=

5

3

8

Ejemplo:

Número Mixto:

-

35

32

=

8

7

:

5

-4

Ejemplo:

División:

-

40

28

=

40

-28



=

8

7

5

-4

Ejemplo:

Multiplicación:

=

35

-32

=

7

8



5

-4

Sinteticemos en el siguiente mapa conceptual
lo que hemos aprendido

Diagrama representativo:

Prof. Isaías Correa Marín

Aplicar la operatoria básica en los números naturales y enteros.

Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricos en sus diversas formas de expresión, tanto en las ciencias exactas como en las ciencias sociales y en el ámbito cotidiano.

IR x II = C

II C

IN IN0 Z Q IR C

Diagrama representativo:

Es el conjunto formado por el producto cartesiano entre los números reales y los números imaginarios.

5. Números complejos (C)

Todo número entero es racional.

IN IN0 Z Q

1

3

Por ejemplo:
3 es Natural (3 IN),
3 es Cardinal (3 IN0),
3 es Entero (3 Z), y como

3 = , 3 es racional (3 Q).

Reconocer regularidades numéricas (secuencias).

Resolver problemas que involucren operaciones con números enteros, decimales y fracciones.

Aplicar las operaciones básicas en los números racionales.

Q*=

U

Q

Q* =

2. Números Irracionales (Q*)

Son aquellos que NO se pueden escribir como una fracción (decimales infinitos NO periódicos).

Raíces de índice par y parte subradical negativa:

Ejemplo:

II = O

U

IR

Todos aquellos números que NO son reales, son imaginarios.

4. Números imaginarios (II)

Ejemplo:

Nota: Se llama “ante período” a los números que hay entre la coma decimal, y el período.

2. El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y tantos ceros (0), como cifras tenga el ante período.

1. El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del ante período.

De un número decimal semi periódico a fracción:

90

90

289

3,21 = 321-32 =

Q* IR

IN IN0 Z Q IR

23,491002

2,18;

7

-2;

-89,

3,

Diagrama representativo:

Ejemplos:

Es el conjunto formado por la unión entre los números racionales y los números irracionales.

3. Números Reales (IR)

Nota: Se llama “período” al conjunto de dígitos que se repite indefinidamente.

999

999

0,376 = 376 – 0 = 376

Ejemplo 2:

99

99

2,35 = 235 – 2 = 233

Ejemplo 1:

2. El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período.

1. El numerador de la fracción es la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma, y la parte entera.

De un número decimal periódico a fracción:

1.5 Secuencia numérica

5. Números complejos ( C )

4. Números imaginarios ( II )

3. Números reales ( IR )

Contenidos

2. Números irracionales (Q*)

1.4 Comparación de fracciones

1.3 Transformaciones de números racionales

1.2 Operatoria en los racionales

1.1 Propiedades de los racionales

Números racionales (Q)

Fracciones
equivalentes

Amplificación

Simplificación

División

Multiplicación

Sustracción

Adición

Decimal semiperiódico
a
fracción

Decimal periódico a
fracción

Decimal finito a
fracción

Transformaciones

Operatoria

Propiedades
y comparación


Conjunto Q

Fracción propia, donde el numerador es menor que el denominador.
Fracción impropia, donde el numerador es mayor que el denominador.
Fracción Mixta, está compuesta de una parte entera y de otra fraccionaria.

Las fracciones se pueden clasificar en:

18

12

=

3

2

Al amplificar la fracción por 6 resulta:

6

6

Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador como el denominador por un mismo número.

3∙

2∙

Ejemplo:

Amplificar y simplificar fracciones

1.1 Propiedades de los racionales

<

10

9

15

13

Como 130 < 135, entonces:

130 y 135

13 ∙ 10 y 15 ∙ 9

y

10

9

15

13

(Multiplicando cruzado)

Al comparar

Ejemplo:

Multiplicación cruzada:

1.4 Comparación de fracciones

=

25∙4

25∙7

4

7

=

1,75

=

175

100

El numerador corresponde al número sin comas, y el denominador es una potencia de 10 que depende del número de decimales que tenga el número.

Ejemplo:

De decimal finito a fracción:

= 1,75

4

7

Se divide el numerador por el denominador.

Ejemplo:

De fracción a decimal:

1.3 Transformación de números racionales

Ejemplo:

2

9

es:

9

2

El inverso multiplicativo, o recíproco de

Inverso multiplicativo o recíproco de una fracción

45 :

27 :

45

27

Al simplificar la fracción por 3 resulta:

15

9

=

3

3

Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el numerador como el denominador por un mismo número.

Ejemplo:

a: numerador y b: denominador

NO es racional

0

15,

3

14;

8

-1;

-0,647

2,18;

0,489;

7

-2;

2; 17; 0; -6; -45;

Ejemplos:

Q =

/ a y b son enteros, y b es distinto de cero

b

a

Es un conjunto infinito, ordenado y denso, donde todos los números se pueden escribir como fracción, es decir:

es mayor que

4

13

3

10

Por lo tanto,

y

40

130

39

130

y

4·10

13·10

3·13

10·13

y

4

13

3

10

(Multiplicamos ambos numeradores por un factor para obtener el m.c.m. entre 10 y 13 en este caso 130)

Al comparar

Ejemplo:

Igualando Numeradores:

, entonces

Como 0,86 > 0,583

>

12

7

15

13

0,58333333…

=

12

7

0,86666666…

=

15

13

y

(Transformando a decimal)

Al comparar

12

7

15

13

Ejemplo:

Transformar a decimal:

>

12

7

15

13

Como 52 > 35, entonces

y

60

35

60

52

y

12∙5

7∙5

15∙4

13∙4

(Igualando denominadores)

y

Al comparar

12

7

15

13

Ejemplo:

Igualando denominadores:

(Con n = posición del término)

5

1 + (2n - 1)

5

1

Es , más un número impar, lo que se expresa como:

Respuesta:

¿cuál es el valor del n-ésimo término de la secuencia?

Lo que nos permitiría saber, por ejemplo,

7°…

... ,









... ,

5

1 + 13…

5

1 + 7 ,

5

1 + 5 ,

5

1 + 3 ,

5

1 + 1 ,

La secuencia anterior también se puede analizar de la siguiente manera:

Observación:

1.5 Secuencia Numérica

Respuesta:

Es decir:

5

65 = 13

5

1 ,

5

65

Tendríamos que sumar a para obtener el 7° término.

5

66 .

De acuerdo a las características de la secuencia, el 7° término es

5

1 ,

¿Qué número tendríamos que sumar a para obtener el 7° término ?

5

36 , ...

5

26 ,

5

16 ,

5

6 ,

En la secuencia:

Ejemplo:

40

67

=

=

40

32 + 35

40

4∙8 + 5∙7

=

8

7

+

5

4

4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.):

36

29

=

=

36

15 + 14

36

5∙3 + 7∙2

=

18

7

+

12

5

3. Si los denominadores son primos entre sí:

y

15

-3

=

15

7

-

15

4

45

13

=

45

6 + 7

=

45

2∙3 + 7∙1

=

45

7

+

15

2

2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro:

15

11

=

15

7

+

15

4

1. Si los denominadores son iguales:

Ejemplos:

Suma y resta

1.2 Operatoria en los racionales

5

43

=

5

8∙5 + 3

=

5

3

8

Ejemplo:

Número Mixto:

-

35

32

=

8

7

:

5

-4

Ejemplo:

División:

-

40

28

=

40

-28



=

8

7

5

-4

Ejemplo:

Multiplicación:

=

35

-32

=

7

8



5

-4

Aplicar la operatoria básica en los números naturales y enteros.

Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricos en sus diversas formas de expresión, tanto en las ciencias exactas como en las ciencias sociales y en el ámbito cotidiano.

Reconocer regularidades numéricas (secuencias).

Resolver problemas que involucren operaciones con números enteros, decimales y fracciones.

Aplicar las operaciones básicas en los números racionales.

Bibliografía
Isaías Correa Marín. (2013). Números Racionales. 2014, de Independiente Sitio web: redmatematica.bligoo.cl/.../Conjuntos_de_Los_N_meros_Racionales.pp

Angelitooon. (2001). Las aventuras de Troncho y Poncho. 2014, de Angelitoon Sitio web:
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