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TPE sur les impacts du Nombre d'Or

Présentation de notre TPE sur le nombre d'or.
by

Taupin Sévan

on 18 March 2015

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Transcript of TPE sur les impacts du Nombre d'Or

Un critère de beauté pour l'homme ?
Présence dans la
nature ?
Conclusion
Mythe ou réalité ?
Nombre d'or
Mythe ou réalité ?
Taupin Sévan
Bureau Victor
Doucet Grégory
Le nombre d'or
= 1,618033...
Philosophie
Arithmétique
Biologie
Art
Géométrie
Fleurs
Phyllotaxie
Architecture
Le nombre d'or est-il alors simple fruit de l'imagination de l'homme ou réalité indéniable ?
Une réalité mathématique ?
Des propriétés algébriques
La seule solution positive de cette
équation est le nombre d'or
On en déduit :
Des propriétés géométriques
Des figures géométriques dites "dorées"
Appelé Phi (de l'architecte grec Phidias)

Nombre mystérieux ?

(la solution négative est notée )
Le rectangle d'or
1
Spirale d'or
Triangle d'or 2
Pentagone régulier
Triangle d'or 1
"Des propriétés arithmétiques et géométriques remarquables...
... conséquence directe de sa définition.


En aucun cas un nombre mystérieux.


Conclusion
Conclusion
"Végétaux : apparition du nombre d'or dans certains végétaux, mais rapports souvent simplistes.

Les rapports obtenus ne sont jamais parfaitement exact, le nombre d'or serait-il alors une sorte d'imposture ?

Chez l'Homme : clef de l'harmonie de son corps ? Moyen de s'associer à la divine proportion ?

Il reste loin d'être évident à trouver : très peu d'exemples et manque de précision

Mais des études entretiennent le doute sur sa présence"
Le nombre d'or dans la peinture ?
Sacrement de la Dernière Cène
, Salvador Dali
La Naissance de Vénus
, Boticelli, 278,5 * 172,5
Construction très subjective
le peintre n'a jamais revendiqué son utilisation
Utilisation explicite et revendiquée (rare)
D'autres : Henri Cartier-Bresson, Jacques Villon etc...
Propriétés arithmétiques intéressantes mais pas mystérieuses
Nature : des exemples parfois interpellant... mais très rares.
Harmonie de tout l'univers résumé à la présence d'un seul nombre ?
Impossible !
Une utilisation rarement revendiquée des artistes.
Nombre d'or : soulève des réflexions métaphysiques et philosophiques :

Le nombre d'or est-il un moyen de retrouver Dieu dans la Nature ?
Peut-on concilier science et religion ?
D'où vient la beauté ?
Mythe populaire sans réelle consistance scientifique
Questions
Chez les végétaux ?

Et chez les animaux, l'homme ?
L'expérience de Douady et Coudert
Expérience qui prend en compte les contraintes de formation de la plante et l'apparition successive des primordia.
Contraintes d'encombrement et d'optimisation de l'espace
L'expérience des tailles
"[Le nombre d'or] est une loi universelle [...] dans laquelle est contenu le principe fondamental de tout effort de beauté et de complétude [...] qui a trouvé sa plus parfaite réalisation dans la forme humaine."
Adolf Zeising
Le visage selon Marquardt
Nombre d'or : la clé de l'harmonie du corps ?
TPE - Le nombre d'or dans la nature
Pour obtenir le carré du nombre d'or il suffit de lui ajouter un : φ² = φ + 1
Pour calculer l'inverse du nombre d'or, il suffit de lui retrancher 1 : 1/φ = φ - 1
Puissances du nombre d'or
φ² = φ + 1
φ3 = φ² + φ = 2 φ + 1
φ4 = 2 φ² + φ = 2 φ + 2 + φ = 3 φ + 2
φ5 = 3 φ² + 2 φ = 3 φ + 3 + 2 φ = 5 φ + 3
φ6 = 8 φ + 5
φ7 = 13 φ + 8
La suite de Fibonacci est une suite d’entiers dite «de récurrence» on dit qu’il s’agit d’une suite de récurrence car il est impératif de calculer les termes qui se trouvent avant la valeur que l’on cherche à déterminer.
La suite de Fibonacci est une suite de nombres entiers. Voici le début de cette suite :
0 ,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… jusqu’à l’infini.
Un nombre de la suite est le résultat de la somme de ses deux précédents : N3 = N1 + N2.
Voici maintenant pourquoi le nombre d'or et la suite de Fibonacci sont étroitement liés:
1/0 n’existe pas
1/1=1
2/1=2
3/2=1.5
5/3=1.6666….
8/5=1.6
13/8=1.625
21/13=1.61538…
34/21=1.61904
C'est ainsi qu'en continuant de la même façon, les valeurs des fractions de Fibonacci s'approchent du nombre d'or (soit 1,618...)
Un nombre d'or qui semble se retrouver un peu partout dans la nature
Chez l'ananas
Chez le chou romanesco
Dans la phyllotaxie de certaines plantes
Comme le montre schéma ci contre on trouve deux types de spirales superposées comme chez le tournesol : on a 34 et 21 spirales.
Or 34/21 = 1,61905…
Relation entre le nombre d'or et la suite de Fibonacci
Mais ce n'est pas tout...
Des figures géométriques qui sembleraient flatter l'oeil de par leur beauté...
Chez la pomme de pain
La pomme de pin montre clairement les spirales de Fibonacci : 8 vertes dans un sens, 13 rouges dans l'autre sens.

8 et 13 sont deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci : 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13.
Ses écailles sont alignées selon la spirale de Fibonacci : on représente les 4 coins des écailles de la pomme de pin par des points. Lorsqu'on relie ces points, on obtient des spirales qui tournent vers la droite, et d'autres vers la gauche
Le nombre de spirales vers la gauche et vers la droite sont deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci.

Chaque point appartient à deux spirales. Les nombres de points sur chacune de ces spirales sont aussi deux nombres de la suite de Fibonacci.
Prenons l'exemple des abeilles...
Quasiment toutes les espèces de cette famille ont une particularité chimique assez curieuse: les oeufs fécondés donnent naissance à des femelles tandis que ceux qui ne l'ont pas été donnent naissance à des mâles.
On schématise les ancêtres (M=mâle ; F=femelle) d'une abeille mâle.
En remontant les générations, on trouve donc des nombres d'ancêtres égaux aux nombres de la suite de Fibonacci .
On remarque également qu'à chaque génération, les nombres de femelles et de mâles sont deux nombres consécutifs de cette suite.

Un sondage qui émet des doutes...
Le nombre d'or est une proportion, définie initialement en géométrie comme l'unique rapport a/b entre deux longueurs a et b telles que le rapport de la somme a+b des deux longueurs sur la longueur la plus grande (a) soit égal à celui de la plus grande sur la plus petite (b) soit : a+b/a = a/b
Le découpage d'un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide découpage en « extrême et moyenne raison »

Soit un segment [AC]. D'après Euclide et son partage en deux segments en "extrême et moyenne raison", il faut trouver un point B sur [AC] et plus proche de C de sorte que:

[AB]/[BC]=[AC]/[AB]


On pose [AB]= x et [BC]= 1 soit : A ----------------- x --------------- B ------- 1 ------- C

On a donc [AC]= x+1 et x/1= (x+1)/x

d'où x= (x+1)/x donc x²= x+1

soit x² - x - 1= 0

On obtient une équation du second degré que l'on résout en posant :

∆= b² - 4ac soit ∆= 1 + 4 = 5 d'où les deux racines: x= (1+√5)/2 et x= (1- √5)/2.

Sachant que l'on étudie des longueurs, alors on ne prend pas la racine négatif (1-√5)/2

On a donc une solution: x= (1+√5)/2
Le rectangle 3 correspond au rectangle d'or.
Le sondage suivant émet donc quelques doutes vis à vis de la beauté réelle qu'apporte ce nombre bien que ce rectangle soit majoritairement choisi. Le rectangle 3 ne possède pas 100% des votes, la beauté serait alors très subjective, et diffère selon chacun
La phyllotaxie des plantes et leur développement
Réactions
SOURCES
Et même au niveau des organes du corps humain
Dans des recherches menées de 1985 à 1987, le physicien américain B. J. West et le Docteur A. L. Goldberger ont révélé l'existence du nombre d'or dans la structure du poumon.
Le réseau des bronches qui constituent le poumon est caractérisé PAR une asymétrie. Par exemple, la trachée se divise en deux bronches principales, une longue (gauche), et une petite (droite). Cette division asymétrique se retrouve
dans les subdivisions internes des bronches.

Le rapport de toutes ces divisions de la petite bronche sur la grande est toujours égal à l'inverse du nombre d'or soit 1/1.618
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