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Segmentos Proporcionales

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by

Gabi Alvarado Agudelo

on 27 October 2014

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Transcript of Segmentos Proporcionales

Semejanza y congruencia de triángulos
Razón: Se llama razón de dos números enteros, al cociente de la división del primero por el segundo.

Proporción: Se llama proporción a la expresión de la igualdad de dos razones.
Llamamos proporcionalidad de segmentos a la aplicación existente entre el conjunto de cantidades de longitud en sí mismo, de tal forma que la aplicación sea biyectiva, conserve el orden, la igual y además mantenga la correspondencia con la operación de la suma



Segmentos proporcionales
El concepto de proporcionalidad es equivalente al de semejanza cuando se comparan dos triángulos semejantes. De hecho las propiedades de la proporcionalidad (reflexividad, simetría y transitividad) son las mismas que las de la semejanza.
Teorema fundamental de la proporcionalidad
El concepto de semejanza de triángulos viene significar que, teniendo dos triángulos de medidas diferentes, guardan una cierta proporcionalidad entre ellos. Dicha proporcionalidad entre triángulos se da cuando todas las partes (lados y ángulos) de esas figuras son proporcionales entre sí.


Razones y proporciones
Semejanza de triangulos
Si dos rectas cualquiera son cortadas por rectas paralelas, los segmentos que determina en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra.
Este teorema nos permite calcular, por tanto, la longitud de un segmento si conocemos su correspondiente en la otra recta y la proporción entre ambos.

Teorema de Thales
Teorema de Thales
Teorema de bisectriz
El teorema de la bisectriz del ángulo interno de un triángulo es un teorema de la geometría elemental la cual es una consecuencia o corolario del teorema de tales.
Teorema de la bisectriz
Teorema de los puntos medios
Si por el punto medio de uno de los lados de un triángulo se traza una recta paralela a un segundo lado, esta recta corta en su punto medio al tercer lado, la longitud del segmento que se determina es igual a la mitad de la longitud del lado al cual es paralela
Teorema de los puntos medios
Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.


Ejemplos
Criterios de semejanza de triangulos
Se llaman Criterios de Semejanza de dos triángulos, a un conjunto de condiciones tales que, si se cumplen, tendremos la seguridad de que los triángulos son semejantes. Esos criterios o casos son:
Primer Criterio
Dos triangulos son semejantes cuando tienen 2 angulos iguales
Segundo Criterio
Dos triangulos son semejantes cuando tienen los lados proporcionales
Tercer Criterio
Dos triangulos son semejantes cuando tiene un lado igual y los lados que los forman son proporcionales
Congruencia de triangulos
Se dice que un Δ ABC es congruente con otro Δ DEF si sus lados respectivos son iguales y sus ángulos respectivos también lo son.

Para expresar en lenguaje matemático que los dos triángulos de la izquierda son congruentes, se usa la siguiente simbología:



Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?
El dinero de Juan es el dinero de pedro como 7 es a 3 .si Juan gasta S/.200 le queda S/150 ¿Cuánto de dinero tiene pedro? .Halla el total de Juan y pedro.


La edad de un padre es a la edad de su hijo como 7 a 2, además entre las edades sumas 72 ¿que edad tiene el hijo hace 2 años?

Resolución:
P = 7k
H = 2k
Si 500 alumnos de la especialidad de negocios internacionales y administración realizan un examen de ingreso del curso de matemática de los cuales la relación de los que aprobaron y las que no aprobaron es de 7 es a 3 ¿Cuántos alumnos aprobaron .
Resolución:
EJEMPLOS
EJEMPLO 1
EJEMPLO 3
EJEMPLO 2
Calcula la distancia en el ejemplo siguiente:
Calcula el valor de x en la siguiente figura:
Hallar la longitud del segmento en la siguiente figura:
EJEMPLOS
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
3,08/X = 3/7
X= 3,08*3/3,7
X=2,5
EJEMPLO 3
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
En una fotografía, María y Fernando miden 2,5 cm y 2,7 cm, respectivamente; en la realidad, María tiene una altura de 167,5 cm. ¿A qué escala esta hecha la foto? ¿Qué altura tiene Fernando en la realidad?
EJEMPLO 3
Postulados o criterios básicos de congruencia de triángulos
Postulado LAL
LAL significa lado-ángulo-lado.

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo determinado por ellos respectivamente iguales.
Postulado ALA
ALA significa ángulo-lado-ángulo.

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y el lado común a ellos, respectivamente, iguales.
Postulado LLA
LLA significa lado-lado-ángulo

Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos.
Postulado LLL
LLL significa lado-lado-lado.

Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales.
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