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A game of pawns

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by

Lucas Moreira

on 6 January 2017

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Transcript of A game of pawns

A Game of Pawns Um jogo de peões Jogador 1 Jogador 2 Jogador 1 Jogador 2 Jogador 1 Jogador 2 Jogador 1 Jogador 2 Jogador 1 Jogador 2 Jogador 1 Jogador 2 Jogador 1 Jogador 2 Jogador 1 Jogador 2 GANHOU!! Jogador 1 Jogador 2 GANHOU!! Jogador 1 Jogador 2 Jogador 1 Jogador 2 Jogador 1 Jogador 2 Jogador 1 Jogador 2 Jogador 1 Jogador 2 Jogador 1 Jogador 2 Jogador 1 Jogador 2 Em um jogo finito que não empata, um dos jogadores sempre tem estratégia vencedora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jogada do jogador J2 . . . . . . . . . J1 J2 A1 A2 A3 J3 . . . Ai Ji A3 A4 . . . J1 J2 A1 A2 A3 J3 Ai Ji . . . Ai+1 Ji+1 Jogador 2 P A0 A0 P O jogador 1 vai ter uma estratégia vencedora, basta: "Jogar pra não perder" = Jogar na defensiva Jogador 1 Jogador 2 Jogador 1 Jogador 2 Ganhou!! . . . J1 J2 A1 A2 A3 J3 . . . Ai Ji P A0 "Um jogo é um sistema no qual os jogadores envolvem-se em um conflito artificial, definida por regras, que determina um resultado quantificável". (Katie Salen e Eric Zimmerman)

"Um jogo é uma forma de arte na qual os participantes, denominado jogadores, tomar decisões, a fim de gerir os recursos através de elementos de jogo na busca de um objetivo." (Greg Costikyan)

"Um jogo é uma atividade entre dois ou mais tomadores de decisão independentes que procuram atingir os seus objetivos em um contexto de limitação." (Clark C. Abt)

"Em seu nível mais elementar, então podemos definir jogo como um exercício de sistemas de controle voluntário em que há uma oposição entre forças, confinados por um procedimento e as regras a fim de produzir um resultado de desequilíbrio". (Elliot Avedon e Brian Sutton-Smith)

Em Inteligência Artificial, um jogo é um modelo teórico de conflitos de interesse (decisões possíveis, resultados possíveis) entre dois ou mais agentes que tem motivações conflitantes. O que é Jogo? De uma forma mais específica... Jogo vai ser partida para qual existe uma condição de vitória entre os jogadores e
cada um deve fazer sua jogada a partir das jogadas dos outros jogadores Exemplos: Jogo da velha, xadrez, damas, etc... especificando um pouco mais... Vamos trabalhar com jogos "finitos",
i.e., jogos em que o número de jogadas é finito e com um número finito de jogadores Exemplos: Tic-Tac-Toe, Go, Hex Mais especificamente... Sequência de passos que lhe dirão como jogar em função das jogadas dos seus oponentes Exemplo: Sigma:Jogue sempre na primeira coluna, de cima para baixo, e, se não for possível, jogue randômico Estratégias "...the determination of the basic long-term goals and objectives of an enterprise, and the adoption of courses of action and the allocation of resources necessary for carrying out these goals" "A rule that tells the player which action to choose at each instant of the game." Exemplo Jogo da velha
Dois Jogadores
Estratégia Jogador 1: A do apresentador
Estratégia Jogador 2: Sigma Estratégia vencedora É aquela estratégia que um jogador possui, tal que não importa como o outros jogadores joguem, estes outros vão sempre perder Estratégia vencedora, exemplo: Jogo do número mais alto: O jogo é "finito" e existe estratégia vencedora Se o jogador um falou n, diga n+1 Corrida de peões É um jogo com dois jogadores
É um jogo finito
O "tabuleiro" é uma árvore
Ganha o jogador que chegar primeiro em um folha Existe estratégia vencedora? Supor que o jogador 2 não tem estratégia vencedora Por simplicidade vamos supor também que tem apenas dois jogadores Como as jogadas são finitas, então o jogador 1 tem
J1, J2, J3, ..., Jn jogadas
e dependendo de cada jogada do jogador 1 o jogador 2 tem
K1, K2, K3, ..., Km jogadas Supondo que o jogador 1 começa, então existem Jn jogadas possíveis J1, J2, J3, J4, ..., Jn onde destas jogadas, existe uma em que o jogador 2 não terá a jogada ou uma sequêcia de jogadas que é vencedora O jogador 2 então faz uma jogada Km
em que ele não ganhará O jogador 1 faz então a jogada
Jp O jogador 1 tem outras t jogadas Fazendo essa interação várias vezes... O jogador 1 vai ganhar!!! J1 J2 A1 A2 A3 J3 P A0 J1 J2 A1 A2 A3 J3 P A0 J1 J2 A1 A2 A3 J3 P A0 J1 J2 A1 A2 A3 J3 P A0 J1 J2 A1 A2 A3 J3 P A0 J1 J2 A1 A2 A3 J3 P A0 J1 J2 A1 A2 A3 J3 P A0 J1 J2 A1 A2 A3 J3 P A0 J1 J2 A1 A2 A3 J3 P A0 J1 J2 A1 A2 A3 J3 P A0 O jogador 2 não tem estratégia vencedora Necessariamente o jogador 1 tem a estratégia vencedora Como o jogador 2 não fez a jogada vencedora
em nenhuma das suas jogadas... J1 J2 A1 A2 A3 J3 P A0 Ai Ai+1 Ai+2 Ki Ki+1 Ki+2 Referências

Galvin's "Racing Pawns" Game and a Well Ordering of Trees (Memoirs of the American Mathematical Society)

Wikipedia Jogador 1 Jogador 2 Árvore 1 Árvore 2 Jogador 1 Jogador 2 Árvore 1 Árvore 2 Jogador 1 Jogador 2 Árvore 1 Árvore 2 Jogador 1 Jogador 2 Árvore 1 Árvore 2 Jogador 1 Jogador 2 Árvore 1 Árvore 2 Até agora... Vimos como funciona o jogo e a hipótese de que
nesse jogo deve existir um jogador com a estratégia
vencedora O que vou fazer agora... Vou supor por absurdo que todos os jogadores 2
tem estratégia vencedora, e assim chegar em uma
contradição
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