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Gráficas de las Funciones Trigonométricas

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Sara Valentina Gomez Giraldo

on 13 April 2015

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Transcript of Gráficas de las Funciones Trigonométricas

Gráficas de las Funciones Trigonométricas
Gráficas trigonométricas
Gráfica de la función Seno
Realizado por Manuela Giraldo Herrera
Comprensión, Alargamiento y Reflexión
Líneas Trigonométricas
Gráfica de la función Cotangente
Gráfica función Cosecante
Gráfica de la función Secante
Gráfica de la función Tangente
Amplitud y Período
Translación y Desface
Gráfica de la función Coseno
Son aquellos segmentos que tiene la misma medida que una función trigonométrica de un ángulo a.

Con respecto a la imagen anterior los segmentos OQ y QP son líneas trigonométricas.
Por construcción se traza QP perpendicular al eje x, formando el triángulo OPQ con ángulo a.
Al buscar las funciones trigonométricas resulta que:

Sen a = y = QP = QP Cos a = x = OQ = OQ
r 1 r 1
Para realizar las gráficas de las funciones trigonométricas se deben seguir los siguientes pasos:

1.Se tabula, es decir se realiza una tabla de valores de F(x) = y; o también se puede trazar la circunferencia unitaria con algunos ángulos especiales medidos en radianes.
2.Si se realiza la circunferencia unitaria se trazan las líneas trigonométricas respectivas para cada ángulo, dependiendo de la función que se vaya a realizar.
3.Se realiza el plano cartesiano; en el eje x se colocan los ángulos que se tomaron para tabular o hacer la circunferencia unitaria; y en el eje y las medidas de las respectivas líneas trigonométricas o el resultado de F(x).
4.Después de tener el plano cartesiano con la escala correspondiente se colocan los puntos que corresponden a F(x) = y; y para terminar se unen los puntos, así queda dibujada la gráfica.

Si se siguen los pasos resulta la gráfica que se ve en la imagen anterior y también resulta esta tabla si se tabula, en la tabla x es el ángulo y y es Sen(x)
En la función seno se cumple que:
- Dominio de Sen(x) = todos los números reales
- Rango de Sen(x) = [1, -1]
- La función y = Sen(x) es periódica, y su periodo es de 2π
- La función Sen(x) varía de la siguiente manera: de 0 a π crece; de π a π decrece;
2 2
de π a 3π decrece y de 3π a 2π crece.
2 2
Si se siguen los pasos para realizar una gráfica trigonométrica, resulta la gráfica de la imagen anterior; y resulta esta tabla si se tabula, en la tabla x es el ángulo y y es Cos(x).
Las siguientes son las características que debe cumplir la función coseno:
- Al igual que la función Seno el Dominio de Cos(x) = todos los números reales
- El Rango de Cos(x) = [1,-1]
- El Período de Cos(x) = 2π
- La función Cos(x) varía de la siguiente manera:de 0 a π decrece; de π a π
2 2 decrece; de π a 3π crece y de 3π a 2π crece, esto se comprueba con la imagen
2 2
La gráfica de la tangente, si se tabula se construye a partir de la siguiente tabla.
características de la función tangente:
- Dominio de Tan(x) = R - [(2n + 1) π/2]
- Rango de Tan(x) = los números reales (R)
- El Período de Tan(x) = π
- Como se puede observar en la tabla, la Tan de π/2 y 3π/2 No Existe, por lo tanto en el momento de graficar se genera una asíntota, es decir que la función sigue aumentando o disminuyendo según corresponda, pero nunca pasa por x de la forma x = n(π/2), siendo n un número entero par.
Para construir la gráfica de la función cosecante se puede realizar esta tabla
Características de la función cosecante:
- El Dominio de Csc(x) = Son los números reales exceptuando los múltiplos de π, es decir, R - [(2n+1)π]
- El Rango de Csc(x) = R - (1, -1). Al tener este Rango la función cosecante no puede corta el eje x.
- El Período de Csc(x) = 2π
- Como se pudo ver en la imagen la función Csc(x) tiene asíntotas verticales en los valores múltiplos de π


Para realizar la gráfica de la función Secante se puede realizar esta tabla
Características de la función Sec(x):
- El Dominio de Sec(x) = los números reales excepto los multiplos impares de π/2, es decir, R-[(2n+1)π/2]
- El Rango de Sec(x) = R- (1,-1). Al igual que la función Cosecante, la función Secante no corta el eje x, ya que su rango no incluye (1,-1)
- El Período de Sec(x) = 2π
- Como la función Sec(x) tiene valores que no existen, tiene asíntotas en los valores de x = n(π/2), siendo n un número impar entero
La gráfica de la función cotangente se puede construir a partir de la siguiente tabla
Para hallar la Cot(x) de puede buscar 1/Tan(x); ya que está es inversa a la Tangente, por lo tanto la Cotangente no existe en los puntos que la Tangente es 0, es decir para los múltiplos de π, cuando el valor de x se acerca a los múltiplos de π se produce una asíntota vertical.
Otras características de la función Cot(x) son:
- Dominio de Cot(x) = R - [(n)π], es decir, los números reales menos los múltiplos de π
- Rango de Cot(x) = los Números Reales
- Período de Cot (x) = π
- La Función Cot(x) corta con el eje x para los múltiplos de π/2, es decir cuando Cot(x) = 0

Análisis de gráficas
La Amplitud indica la distancia que existe entre el eje horizontal central y la cresta, la cual es el punto más alto que alcanza una gráfica.

La amplitud siempre es el valor absoluto de A en la función F(x) = A Senϴ

Se cumple que si:
- A > 1, la amplitud crece
- 0 < A < 1, amplitud decrece
- A > 0, la función no cambia de sentido
- A < 0, la función se vuelve inversa
El Período Indica la medida de un ciclo, se representa con la letra T, y se halla con T = 2π
B

En la función F(X) = Sen(ϴ)(B), siendo B > 0
Una Función trigonométrica se desfasa cuando se produce un movimiento en sentido horizontal del período.
En la función F(x) = Sen (Bx + C) el desface es igual a d= C
B
El desface se representa con la d minúscula.

Si C < 0, el movimiento es hacia la derecha
Si C > 0, el movimiento es hacia la izquierda

Una función trigonométrica se traslada cuando se produce un movimiento del eje central D unidades hacia arriba o abajo, en la función:
F(x) = Sen (x) + D

El desplazamiento o traslación se representa con la letra D mayúscula.

El signo con el que este D determina la dirección para donde se traslada la función, es decir, si es
-D la función se traslada hacia abajo, pero si es +D la función se traslada hacia arriba.

Reflexión de funciones
Con las funciones se pueden realizar dos reflexiones, una al eje x y otra al eje y.
Esto sirve para determinar la función - F(x) y la función F(-x)

- La gráfica de la función y = - F(x) se obtiene al reflejar la función principal con el eje x
- La gráfica de la función y = F(-x) se obtiene al reflejar la unción principal con el eje y
Alargamiento
Sea y = F(x) una función y a un número real positivo, pueden ocurrir dos tipos de alargamiento
-Si a > 1, la gráfica de y = aF(x) es un alargamiento vertical de la función F(x)
-Si 0 < a < 1, la gráfica de y = F(ax) es un alargamiento horizontal de la función F(x)
Si se tiene la función F(x) y a un es número real positivo, pueden ocurrir dos tipos de compresión:
- Si 0 < a < 1, la gráfica de y = aF(x) es una comprensión vertical de F(x)
- Si a > 1, la gráfica de y = F(ax) es una comprensión horizontal de F(x)
Compresión
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