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Aplicaciones reales con transformada de laplace

edwin jhunseon huasco

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Transcript of Aplicaciones reales con transformada de laplace

Un moderno avión comercial

Ejemplos de procesos automatizados

Aplicaciones reales de la transformada de Laplace
La transformada de Laplace


INTRODUCCION
Control de Procesos
Observa que la transformada de Laplace es una integral impropia, uno de sus límites es infinito:

Nació en Beaumont-en-Auge, Francia, el 28 de marzo de 1749 y murió en París, el 5 de marzo de 1827. Sus orígenes humildes impidieron a su padre ayudarle en la educación y los estudios.
Fue un astrónomo, físico y matemático francés que inventó y desarrolló la transformada de Laplace y la ecuación de Laplace. Compartió la doctrina filosófica del determinismo científico."

Pierre-Simon Laplace
Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827)
Transformada de laplace


La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples de la álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica La transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas originales.
Es un procedimiento desarrollado por el matemático y astrónomo francés Pierre Simón Marques de Laplace (1749 - 1827) que permite cambiar funciones de la variable del tiempo t a una función de la variable compleja s.

Facultad: Ingenierías y Arquitectura
Carrera: Ingeniería civil
Semestre: IV ciclo
Asignatura: Ecuaciones Diferenciales
Alumno: Edwin J. Huasco Utani
Prof: Lic. Anibal Bellido Miranda

Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su transformada de Laplace se define como:

donde s es una variable compleja
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe si la integral converge
.

Notación:

Satélites
Control de la concentración de un producto en un reactor químico
Ejemplos de procesos automatizados
Control en automóvil

Control de Procesos
El campo de aplicación de los sistemas de control es muy amplia.
Y una herramienta que se utiliza en el diseño de control clásico es precisamente:

La transformada de Laplace

¿Por qué Transformada de Laplace?
El comportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza puede representarse de manera aproximada por el siguiente modelo general de comportamiento dinámico lineal:

La transformada de Laplace es una herramienta matemática muy útil para el análisis de sistemas dinámicos lineales.

Conociendo el proceso …
Fuerza de entrada

MODELACIÓN MATEMÁTICA

Suspensión de un automóvil

Desplazamiento, salida del sistema

Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas
Suspensión de un automóvil

El rol de la transformada de Laplace
La función de transferencia
Representa el comportamiento dinámico del proceso
Nos indica como cambia la salida de un proceso ante un cambio en la entrada

Diagrama de bloques

Entrada del proceso
(función forzante o
estímulo)

Salida del proceso
(respuesta al
estímulo)

La función de transferencia
Diagrama de bloques

Entrada del proceso
(Bache)

Suspensión de un automóvil
Salida del proceso
(Desplazamiento de automóvil)

Conclusion
Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.

Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puede calcular mediante la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación, habitualmente más sencilla.

Ejemplo de aplicacion
Ejemplo de aplicación
Se tiene un proceso como el mostrado en la figura. El flujo de entrada cambió repentinamente de 5 m3/min a 15 m3/min


¿Cuál es la altura final del tanque una vez que alcanzó la estabilización?


La respuesta del proceso en el tiempo
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
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