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APLICACIONES DE LAS DERIVADAS EN ECONOMIA

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by

fabio scielzo

on 4 May 2015

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APLICACIONES DE LAS DERIVADAS EN ECONOMIA
COSTE TOTAL
Coste: El coste de un producto es el gasto económico que representa la fabricación de un producto o la producción de un servicio.
INGRESOS TOTALES
Ingresos Totales: es la cantidad de dinero que recibe una empresa por la venta de sus productos o servicios.
BENEFICIO TOTAL
Es la ganancia o beneficio obtenido al llevar a cabo una actividad económica.

Se calcula restando a los Ingresos que produce la actividad económica , los costes de la misma.

Función --> Bº(x) = I(x) - C(x)
INTRODUCCIÓN
Las derivadas en economía son una herramienta muy útil puesto que nos permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio (Se trata de la magnitud que compara dos variables a partir de sus unidades de cambio), cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual sea la cantidad económica que se esté considerando: costo, ingreso, beneficio o producción.
Las funciones de costo, ingreso, beneficio o producción marginal son las derivadas de las funciones de costo, ingreso, beneficio y producción total.
Esta idea fue posible gracias a Carnot seguido de León Walras, Stanley Jevons y Alfred Marshall.
Esta innovación se conoce como revolución marginalista.
La idea es medir el cambio instantáneo en la variable dependiente por acción de un pequeño cambio en la segunda variable.
COSTE MARGINAL


Costo marginal: Es el aumento en el coste total que se produce cuando la cantidad de producida total varia , apareciendo una o mas cantidades adicionales, esta variacion siempre tiene que ser minima.

Función --> Derivada del Coste Total ->C'(x)
EJEMPLO

Una empresa estima que el coste de producción por bienes es C(x) = 2600 +2x + 0,001x2

Coste:para hallar el coste usamos la función del corte c(x) metiendo el dato dado -->x=2000
C(2000)= 2600 + 2(2000) + 0,001(2000)2
C(x) = 10600 u.m

Coste marginal:Usamos la derivada del coste -->C(x)
C'(x) = 2 + 0,002x
C'(x) = 2 + 0,002 . 2000
C'(x) = 6 u.m


Función Ingresos Totales
--> P(x) P es Precio Bn o Sv
X es Nº de Bn o Sv vendidos
INGRESO MARGINAL
Ingreso Marginal: es la variación que se produce en los ingresos totales cuando la cantidad total de bienes y servicios vendidos aumentan en una o varias cantidades adicionales.
Funcion Ingreso Marginal --> Derivada de la funcion de Ingreso Total --> I´(x)
BENEFICIO MARGINAL
EJEMPLOS
Beneficio Marginal: representa la ganancia adicional obtenida si la cantidad de bienes producidos o servicios prestados varia en un pequeño incremento.
Función --> Bº´(x)
Imaginemos que estudiamos 4 días a las semana y la media de sus exámenes es un 7 entonces decide para mejorar sus notas estudiar un día más y su media pasa a un 7.5.

Su beneficio marginal es 0.5 pues es la diferencia que hay al estudiar un dia mas es decir al realizar una actividad adicional tiene un beneficio del 0.5

OTRAS APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
PROBLEMAS / APLICACIÓN DERIVADAS A ECONOMÍA
Un hotel tiene 71 habitaciones y la tarifa es de 180 euros cada noche.
El jefe se da cuenta de que cada 20 euros de aumento en la tarifa se desocupa una habitación si el mantenimiento cuesta 40 euros.
¿Cuantas habitaciones deben ocuparse para obtener la máxima ganancia?

Solución (71-x) = número de habitaciones ocupadas
X = Nº habitaciones desocupadas.
Ingresos Totales = (71-x)(180+20x)
Costes :40(71-x)
Beneficios = (71-x)(180+20x) - 40(71-x)

9940+1280x-20x2

Beneficio Marginal

Para calcular el máximo beneficio hay que hacer la derivada

B´=1280-40x

1280-40x=0
X=32

Sutituimos con las tres opciones x
0,71, 32 0 32 31

F(0) = 9940$
F(32) = 30420$
F(71) = 0$

PROBLEMAS
La cotizacion de las acciones de una determinada sociedad, suponiendo que la bolsa funciona 30 dias por mes, responde a la siguiente ley.
C(x)= x3 – 45x2 + 243x + 30000
C = Cotizaciones X = Nº de Dias
a) ¿Cuál ha sido la cotización en bolsa el segundo dia?
C(2) = 23 – 45 . 22 + 243 . 2 + 30000

2º Dia Cotizacion en la Bolsa de la empresa
Cotización = 30314 $

b) Determina los días que alcanza las cotizaciones máximas y minimas.

C´(x)= 3x2 - 2 . 45x + 243

3x2 – 90x + 243 = 0 soluciones X1= 27 X2= 3

c) Calcula esas cotizaciones máximas y minimas.
Máximos C(3) = 33 – 45 . 32 +243 . 3 + 30000
C(3)= 30351 $
Minimos C(27) = 273 – 45 . 272 + 243 . 27 + 30000
C(27) = 23439 $

PROBLEMAS
Una persona ha invertido acciones en una empresa durante 10 años. El valor de su cartera de acciones (dinero invertido + beneficios/perdidas obtenidos) viene dado por la expresión.
F(x) = (x-2)2 . (1-2x) + 252x +116 (0 </= X </= 10) X = Años

a) Determina los intervalos de tiempo en los que el valor de la cartera creció y aquellos en los que decreció.

1º Desarrollamos f(x)
F´(x)= (x2 – 2x + 4) (1 - 2x) + 252x + 116
F´(x)= -2x3 + 4x2 – 8x + 252x + 116
F´(x) = -6x2 + 8x + 244

-6x2 + 8x + 244 = 0 X1= -5,7 No nos vale X2= 7,07 (Aprox = 7)

F´(x) = -6x2 + 8x + 244 f(6) = +76 f(8) = - 808







b) El individuo retira sus ingreso transcurridos 10 años.
¿Cuál hubiera sido el mejor momento para haberlo hecho?
¿Cuánto pierde por no haberlo retirado en ese momento?

10 años f(10) = -2.103 + 4.102 + 244.10 + 116 f(10) = 956 $

7 años f(7)= -2.73 + 4.72 + 244.7 + 116 f(7)= 1334 $

Pierde 378 $

Derivadas en física: se aplican en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación.

Derivada en geometría: se define como la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto previamente establecido.

Derivadas en Biología: La mayoría de los fenómenos biológicos estamos acostumbrados a observarlos con respecto al tiempo.
Entonces la diferencia que observas de un fenómeno en el tiempo, con respecto a lo que observas en el tiempo dos, es una derivada. Por ejemplo el crecimiento, la mortalidad, etc
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