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Teoría de Probabilidad

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by

Arturo Fonseca

on 2 September 2016

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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Teoría de la Probabilidad

Probabilidad
DEFINICION Y NOTACION DE CONJUNTOS
Se llama conjunto a una lista o colección bien definida de objetos; los objetos comprendidos en un conjunto son llamados sus elementos o miembros.

Un conjunto se denota así:
A={1,2,3,4,...}
Son varias las formas de determinar las probabilidades de un evento, en donde es posible calcular la probabilidad de que ocurra un evento con el método clásico, si la descripción física del evento lleva a creer que los posibles resultados son igualmente probables. En este caso, la probabilidad del evento “A” está dada por:
Combinaciones
Es una colección de cosas en la cual
EL ORDEN NO TIENE IMPORTANCIA.

La fórmula para calcular Combinaciones es:
Teoremas Relativos A Conjuntos
Unidad II
Probabilidad
y
Estadística

LA PROBABILIDAD.- Es un mecanismo por medio del cual pueden estudiarse sucesos aleatorios cuando estos se comparan con los fenómenos determinísticos.

Existen tres enfoques para definir la probabilidad, que son:
ENFOQUE CLÁSICO
1) De acuerdo con el ENFOQUE CLÁSICO. De la probabilidad:
Si
n(A)
resultados elementales posibles son favorables en el evento A, existen N(S) posibles resultados en el espacio muestral y todos los resultados elementales son igualmente probables y mutuamente excluyentes, entonces, la probabilidad de que ocurra el evento A es:
Este enfoque se basa en la suposición de que cada uno de los resultados es igualmente probable.
p(A)
= La probabilidad de que ocurra el evento A

N(A)
= No. De observaciones de A.

N(S)
= Total de posibles resultados
Enfoque de Frecuencia Relativa
Se determina la probabilidad con base en la proporción de veces que ocurre un resultado favorable en un determinado número de observaciones o experimentos (no existe suposición de igualdad de probabilidades).
La probabilidad de que ocurra un evento A de acuerdo con este enfoque es:
Enfoque Subjetivo o Enfoque Personal
En este enfoque la probabilidad es particularmente apropiado cuando solo existe una probabilidad de que el evento ocurra, y se da el caso de que ocurra o no esa única vez, o sea que aquí; la probabilidad de un evento es el grado de confianza que una persona tiene en que el evento ocurra. (la probabilidad es a juicio personal).
Conjuntos, sus operaciones, leyes y su representación
UNIÓN
Es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a “A” o “B” se escribe y se representa así:
INTERSECCIÓN
El conjunto de todos los elementos que pertenecen simultáneamente a “A” y “B” se escribe y se representa así:
CONJUNTOS DISJUNTOS
Dos conjuntos “A” y “B” tales que = O, es decir que no tienen elementos comunes se llaman conjuntos disjuntos. Y se representa así:
DIFERENCIA
El conjunto que consiste en todos los elementos de “A” que no pertenecen a “B” se llama la diferencia de A y B. Y se representa así:
COMPLEMENTO
El complemento de “A” expresado es el conjunto de los elementos que no pertenecen a “A” o sea; que es la diferencia entre el conjunto universal y el conjunto A. Y se representa así:
Se utiliza el símbolo P para designar la probabilidad de un evento, por ello P(A) denota la probabilidad de que ocurra el evento “A” en una sola observación o experimento. El menor valor que puede tener una probabilidad es cero (lo cual indica que el evento no es posible) y el mayor valor que puede tomar es 1 (lo cual indica es seguro que ocurra), por ello en general la probabilidad está entre 0 y 1 o sea; 0≤P(A)≤1.
En una observación o experimento dado, el evento debe ocurrir o no, por ello, la suma de la probabilidad de ocurrencia mas la probabilidad de no ocurrencia siempre es igual a 1 por ello:
Un diagrama de Venn es un diagrama relacionado con la teoría de conjuntos que permite ilustrar los ejemplos que pueden ocurrir dentro de una observación y en experimentos específicos.
Análisis Combinatorio, principio Aditivo y multiplicativo
(Diagrama de Árbol)
Eventos Mutuamente Excluyentes
Eventos dependientes, eventos independientes y probabilidad condicional
Dos eventos son
independientes
cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno no tiene ningún efecto sobre la ocurrencia del otro.

No se requieren expresiones de probabilidad condicional para eventos independientes porque por definición no existe relación entre la ocurrencia de estos eventos, por lo tanto, si los eventos A y B son independientes la probabilidad no condicional
P(B | A)
siempre es igual a la probabilidad simple (no condicional) P(B).
Eventos Independientes
Eventos Dependientes
Dos eventos son
dependientes
cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno si afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.

Cuando dos eventos son dependientes, se utiliza el concepto de probabilidad condicional para denotar la probabilidad de ocurrencia de un evento relacionado. La expresión
P(B | A)
indica la probabilidad de ocurrencia del evento B dado que el evento A ya ha ocurrido.
Por tanto, un método que permite probar la independencia de dos eventos A y B consiste en comparar si:
Si se conoce la probabilidad simple (no condicional) de un primer evento A y la probabilidad conjunta de 2 eventos A y B, entonces se puede determinar la probabilidad condicional mediante:
Las reglas de Adición
Se utilizan las reglas de adición cuando se desea determinar la probabilidad de que ocurra un evento u otro (o ambos) en una sola observación. Simbólicamente puede representarse la probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B mediante P(A ó B). En el lenguaje de la teoría de conjuntos existen dos variaciones a la regla de adición, dependiendo de si los dos eventos son o no mutuamente excluyentes, así:
PARA EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Para eventos que no son mutuamente excluyentes
Se les resta la intersección de las probabilidades simples de los dos eventos, y puede representarse la probabilidad de la ocurrencia conjunta mediante P (AyB) o , así la regla de la adición para eventos que no son mutuamente excluyentes es:
P(A o B)=P(A)+P (B)-P(A y B)
REGLAS DE MULTIPLICACION
Estas se refieren a la determinación de la probabilidad de ocurrencia conjunta de A y B, o sea la . Existen 2 variaciones a la regla de multiplicación de acuerdo a si los eventos son independientes o dependientes
Regla de multiplicación para eventos independientes
Para eventos Dependientes
La probabilidad de ocurrencia conjunta de “A y B” es la probabilidad de A multiplicada por la probabilidad condicional de B dado A, o sea:
P(A | B)
. Si se invierte la posición de los dos eventos se obtiene un valor equivalente. Por tanto, la regla de multiplicación para eventos Dependientes es:
P ( A y B ) = P ( A ) P ( B | A )
TEOREMA DE BAYES
Teorema que formuló en 1761 el reverendo Tomas Bayes sobre la probabilidad condicional. El teorema de Bayes se usa para calcular la probabilidad
P[A | B]
cuando la información disponible no tiene compatibilidad inmediata con lo necesario para aplicar directamente la definición de la probabilidad condicional.

La forma general del Teorema de Bayes es:
Lo importante de este Teorema es que se aplica en el contexto de eventos secuenciales y además proporciona la base para determinar la probabilidad condicional de un evento que ha ocurrido en la primera posición secuencial, dado que se ha observado un evento específico en la segunda posición secuencial.
EJEMPLO
EJERCICIO
EJEMPLO
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES
Permutaciones
Son comunes dos tipos de problemas de conteo, el primero es el de permutaciones, y el segundo es el de combinaciones.
Es un arreglo en donde EL ORDEN DE SUS ELEMENTOS SÍ ES IMPORTANTE. La notación para permutaciones es P(n,r) que significa la cantidad de permutaciones de “n” elementos si solamente se seleccionan “r”.

La fórmula para calcular Permutaciones es:
EJERCICIO
INTERPRETACIÓN DE LAS PROBABILIDADES
La capacidad de interpretar las probabilidades se da por sentada en nuestra cultura. Todo mundo a oído oraciones como “La probabilidad de lluvia hoy es de 95%” u “Hoy se tiene 0% de probabilidad de que llueva”. Se supone que el público en general o las personas pueden interpretar correctamente esos valores. La interpretación de las probabilidades se resume como sigue:
1. La probabilidad en un numero entre 0 y 1 refleja cuan factible es que ocurra un evento físico.
2. Que la probabilidad de que cercano a 1 indica que es muy factible que ocurra el evento. Ello no significa que el evento ocurrirá, si no únicamente que se considera que es una ocurrencia común.
3. Que la probabilidad sea cercana “0” refleja que es muy poco factible que tenga lugar el evento. Ello no significa que necesariamente no ocurrirá, si no tan solo que es un evento raro.
4. Si fuera la probabilidad cercana a ½ indica que es igualmente factible que el evento ocurra o no.
5. Puesto que los números entre 0 y 1 pueden expresarse como porcentajes que van de 0 a 100, es usual representar las probabilidades en forma porcentual. Ello es particularmente común en escritos de la naturaleza no técnica.
Las probabilidades recién descritas son lineamientos para interpretar las probabilidades una vez que se reconocen, sin que indiquen como asignar probabilidades a los eventos. Tres métodos son de uso generalizado: el enfoque personal, el de frecuencia relativa y el clásico.
ESPACIO MUESTRAL Y EVENTOS
AXIOMAS Y TEOREMAS
Espacio Muestral
Cuando se realiza un
experimento
, que es cualquier proceso que produce un resultado o una observación, se van a obtener un conjunto de valores. A este conjunto de valores que puede tomar una
variable
se le denomina
espacio muestral
.

Si existen más de una variable, el espacio muestral está formado por las combinaciones de valores de cada una de las variables.

Si tomamos un subjunto cualquiera del espacio muestral tenemos lo que se denomina un evento, y si este consta de un solo elemento entonces es un
evento elemental
.

Como se puede uno imaginar, existen eventos que siempre, no importa el número de experimentos o su situación, ocurren, y en cambio existen otros que nunca ocurren. Los que siempre ocurren son los
eventos seguros
, y los que nunca son los
eventos imposibles
.

Sin embargo, no todos los resultados son al azar, pues si un experimento es cualquier proceso entonces los resultados pueden tomar cualquier tipo de valor. Por esta razón, se define como
experimento aleatorio
al proceso en el que se pueden predecir con certeza la ocurrencia de sus eventos, con excepción del seguro o del imposible.

Hay que hacer la observación que esta definición habla en términos generales y no específicamente sobre algún experimento en particular. A aquella variable que está asociada a un experimento de este tipo se le denomina
variable aleatoria
.

En cambio, a un experimento no aleatorio se le denomina
experimento determínistico
.

Cuando hablamos de varios eventos dentro del mismo experimento se pueden dar varios casos. Si dos o más eventos no pueden ocurrir simultáneamente, se llaman
eventos mutuamente excluyentes
, es decir, que la intersección de ambos eventos es vacía.
PROBABILIDAD DE EVENTOS
Para calcular la probabilidad de eventos es necesario que estos se comporten de una manera más o menos estable. Precisamente, se echa mano de la
regularidad estadística
, que es la propiedad de los fenómenos aleatorios, y que consiste en que al aumentar el número de repeticiones de un experimento en condiciones prácticamente constantes, la
frecuencia relativa
de ocurrencia para cada evento tiende a un valor fijo.

Sin embargo, al momento de definir la probabilidad de un evento podemos tomar en cuenta los siguientes criterios:
Se la asigna la persona que hace el estudio. Y depende del conocimiento que esta persona tenga sobre el tema. Precisamente por su carácter de subjetividad no se considera con validez científica, aunque en la vida diaria es de las más comunes que se utilizan al no apoyarse más que en sentido común y los conocimientos previos, y no en resultados estadísticos.
1. La probabilidad subjetiva de un evento
Es el valor fijo al que tienden las frecuencias relativas de ocurrencia del evento de acuerdo a la regularidad estadística. Esta definición seria la mas real, pero proporciona probabilidades aproximadas, es decir, proporciona estimaciones y no valores reales. Además, los resultados son a posteriori, pues se necesita realizar el experimento para poder obtenerlo.
2. La probabilidad frecuencia de un evento
Que denotaremos por P(E), se define como el numero de eventos elementales que componen al evento E. entre el numero de eventos elementales que componen el espacio muestral
3. La probabilidad clásica de un evento E
Es la definición más utilizada porque supone de antemano que todos los eventos Elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir.
P ( E ) =
1. Sea el “S” espacio maestral de un experimento:

El axioma No.1
, expresa un hecho que muchas personas consideran evidente a saber, que la probabilidad máxima =1.
2. P[A]> 0 con cualquier evento A

El axioma No.2, garantiza que las probabilidades no son negativas.
AXIOMAS
Axioma 1
Axioma 2
Axioma 3
3. Sean
A1 A2 A3
... Una colección finita o infinita de eventos mutuamente excluyentes entonces:

El axioma No.3, afirma que cuando se tienen eventos mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra por lo menos uno de ellos puede calcularse al sumar las probabilidades de esos eventos.
Una consecuencia importante de este último axioma es que permite calcular la probabilidad de un evento cuando no son igualmente probables los puntos muéstrales en un mismo espacio del experimento.
TEOREMAS
P [ A1, UA2, UA3 ... ] = P [ A1 ] + P [ A2 ] + P [ A3 ] + ...
Teorema 1
P [0]=0

Significa que la probabilidad asignada al evento imposible es 0.
Teorema 2
P [A’]=1-P[A]

Significa que la probabilidad de que un evento no ocurra es igual a la unidad menos la probabilidad de que ocurra.
Teorema 3
Sean A1, A2, eventos tales que por lo menos,
P[A2] si P[A1] = 0
A1 y A2 son independientes si y solo si:
P{A2
|
A1} = P[A2] si P[A1] = 0
EJEMPLO
EJEMPLO
EJEMPLO
Dos o más eventos son mutuamente excluyentes si NO pueden ocurrir al mismo tiempo, es decir la ocurrencia de un evento automáticamente impide la ocurrencia del otro.
Excluyentes
EJEMPLO
No Excluyentes
Dos o más eventos son no excluyentes cuando es posible que ocurran al mismo tiempo. Esta definición no indica que estos eventos deban necesariamente ocurrir en forma conjunta.
EJEMPLO
EJEMPLO
EJEMPLOS
EJEMPLO
EJEMPLO
EJEMPLO
EJEMPLO
EJERCICIOS
En un mazo de cartas que contiene 4 ases y 48 cartas de otro tipo, ¿Cuál será la probabilidad de obtener un as (A) en una sola extracción?
Antes de incluir la cobertura para ciertos tipos de problemas dentales en pólizas de seguros médicos, una compañía de seguros desea determinar la probabilidad de ocurrencia de esa clase de problemas, para que pueda fijarse la prima de seguros de acuerdo con esas cifras se recopilan datos de 10 000 adultos, de los cuales 100 han experimentado el problema durante el año anterior, por ello; la probabilidad de ocurrencia es:
Debido a los impuestos y a los posibles usos alternativos de sus fondos, un inversionista ha determinado que la compra del terreno vale la pena solo si existe una probabilidad de cuando menos 0.90 de que el terreno tenga plusvalía por 50% más en los próximos 4 años, para esto, hace un estudio y concluye de que existe una probabilidad de aproximadamente 0.75 de que se dé la plusvalía que requiere. Por lo tanto, como esta probabilidad es menor a la mínima que requiere, no debe llevarse a cabo la inversión.
Ley conmutativa de las uniones
Ley asociativa de las uniones
Ley conmutativa de las Intersecciones
Ley asociativa de las intersecciones
Primera ley distributiva
Segunda ley distributiva
Primera ley de Morgan
Segunda ley de Morgan
EJEMPLO
P{A1
|
A2} = P[A1] si P[A2] = 0
Supóngase que se consideran dos posibles eventos “as y rey” con respecto a la extracción de una carta de una baraja. Estos dos eventos son mutuamente excluyentes porque ninguna carta puede ser al mismo tiempo “as y rey”.
Supóngase que de una baraja se consideran los dos posibles eventos “as y trébol”. Estos eventos son no excluyentes porque una carta determinada SÍ puede ser al mismo tiempo as y trébol, sin embargo esto no indica que todo as sea trébol o que todo trébol sea as.
En un estudio de la conducta de consumidores se clasificó a las personas que entran en una tienda de aparatos de sonido de acuerdo con su sexo (M o F) y su edad (menos de 30 o más de 30).

Los eventos o clasificaciones (masculinas o femeninas) son mutuamente excluyentes puesto que ninguna persona podría clasificarse en ambas categorías.

Igual las personas (menores de 30 y mayores de 30) son mutuamente excluyentes. Sin embargo los eventos (masculino y menores de 30) no son mutuamente excluyentes porque este evento si puede ser posible en una persona.
o bien;
Suponga que un estudiante optimista estima que la probabilidad final de obtener 10 en el curso de estadística de negocios es de 0.60 y que la probabilidad de obtener 8 es de 0.40 Por supuesto no puede obtener ambas calificaciones en forma final, puesto que son mutuamente excluyentes.
a) Determine la probabilidad condicional de que obtenga un 8 dado que de hecho a recibido la calificación final de 10.
b) Aplique una prueba apropiada para determinar si son eventos dependientes e independientes.
De 500 empleados, 200 participan en un plan de reparto de utilidades de la compañía (P), 400 tienen una cobertura de gastos médicos mayores (M) y 200 empleados en ambos programas.
a) Determine la probabilidad de que un empleado participe en un plan de reparto de utilidades (P) considerando que tiene seguro de gastos médicos mayores (M).
b) Determine si son eventos dependientes o independientes.
Determine la probabilidad de obtener un as(A), un rey (R) o un dos (D), cuando se extrae una carta de una baraja de 52 cartas.
De 300 estudiantes de negocios, 100 están inscritos en contabilidad (C) y 80 en estadística (E), estas cifras de inscripción incluyen 30 estudiantes que de hecho están inscritos en ambos cursos. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar este inscrito en contabilidad o en estadística?
De 100 personas que solicitaron un puesto de analista de sistemas en una empresa grande el año pasado, 40 tenían algo de experiencia de trabajo (T), Y 30 un certificado profesional (C ), sin embargo 20 de los solicitantes tenían tanto experiencia como certificado, y por ello están en ambos conteos.
a) Construya un diagrama de Venn para ilustrar los eventos.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un solicitante elegido al azar tenga experiencia de trabajo o certificado (o ambos)?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un solicitante elegido al azar tenga experiencia de trabajo o certificado, (pero no ambos)?
EJEMPLO
Si se lanza una moneda 2 veces ¿cuál será la probabilidad de que ambos resultados sean cara?
P ( A y B ) = P ( A ) P ( B | A )
Si se sabe que de un conjunto de 10 refacciones 8 están en buen estado (B) y 2 son defectuosas (D). Si se seleccionan al azar refacciones sin reemplazo.
¿Cuál es la probabilidad de que dos de las refacciones seleccionadas estén en buen estado?
Cuando se muestrea sin reemplazo en una población finita los valores de la probabilidad asociados con los diversos eventos dependen de que los eventos (elementos muestreados) han ocurrido ya, por otro lado, cuando se muestrean con reemplazo los eventos son siempre dependientes.
a) Suponga que se eligen al azar 3 naipes, sin reemplazo de un mazo de 52 cartas ¿Cuál es la probabilidad de que las tres cartas sean as?


b) Suponga que se eligen al azar 3 cartas de un mazo de 52 naipes, pero que después de cada selección, se reemplaza el naipe y se revuelve el mazo antes de hacer otra selección ¿Cuál es la probabilidad de que las tres cartas sean as?
P { A | B } =
P [ A y B ]
P [ B ]
P ( A ) P ( B | A )
P ( A ) P ( B | A ) + P ( A' ) P ( B | A' )
P ( A | B ) =
La fórmula para el Teorema de Bayes es:
Se sabe que la caja A contiene 1c (c) y una peseta (P), mientras que la caja B contiene 2 pesetas (P). Se elije una caja al azar y después se elije una moneda también al azar.
a ) Construya un diagrama de árbol para ilustrar esta situación que implica eventos secuenciales.
b) Si se elije la caja A en la primera etapa ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione una peseta (P) en la segunda etapa?
c) Si se selecciona una peseta (P) en la segunda etapa ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido extraída de la caja A?
d) Si se selecciona 1c (en la segunda etapa) ¿cuál es la probabilidad de que haya sido extraída de la caja A?
El 80% del material de vinil que se recibe del vendedor A es de calidad excepcional en tanto que solo el 50% del material del vendedor B es de calidad excepcional. Sin embargo, la capacidad de fabricación del vendedor A es limitada y por esa razón, solo el 40% del vinil que la empresa adquiere proviene de este vendedor A.
Se inspecciona un embarque de vinil que acaba de llegar y se encuentra que es de excepcional calidad.
¿Cuál es la probabilidad de que provenga del vendedor A?
P ( A ) =
n ( A )
n ( S )
n ( A )
= número de veces que puede ocurrir el evento
n ( S )
= número de formas en que se puede proceder el experimento
nPr =
n !
( n - r )
!
nCr =
n !
r ! ( n - r ) !
Recordemos que O ! = 1
¿Cuál es el número de ordenaciones o permutaciones diferentes que consiste en dos letras cada una y que pueden formarse de las letras A, B, C, D?
NOTA: en las permutaciones si interesa el orden, Así por ejemplo AB y BA contarían como dos ordenaciones diferentes.
Si no nos interesa el orden, caeríamos en una combinación y en este caso AB y BA cuentan como una sola combinación y de esta manera; tendríamos la mitad de combinaciones que de permutaciones, o lo que es igual
nCr =
n !
r ! ( n - r ) !
4 !
2 ! ( 4 - 2 ) !
=
4 * 3 * 2 * 1
2 * 1 ( 2 * 1 )
12
2
=
= 6 combinaciones
nPr =
n !
( n - r ) !
4P2 = = = 12 Permutaciones
4 ! 4 * 3 * 2 * 1
( 4 - 2 ) ! ( 2 * 1 )
número de eventos elementales del evento E
número de eventos elementales del espacio muestral
EJERCICIO
Si hay un aumento en las inversiones de capital, la probabilidad de que aumente el precio del acero estructural es 0.90, si no hay aumentos en esa clase de inversión, la probabilidad de aumento es de 0.40. En general se estima que existe una probabilidad del 60% de que aumenten el siguiente año las inversiones del capital.
a) Utilizar l e l’ para indicar que se dan incrementos y que no se dan incrementos en las inversiones de capital y utilizando A y A’ para aumentos y no aumentos en los precios del acero, construya un diagrama de árbol para esta situación que implica eventos dependientes.
b) Cuál es la probabilidad de que no aumenten los precios del acero aún cuando haya un incremento en las inversiones del capital
c) Cuál es la probabilidad global (no condicional) de un aumento en el precio del acero estructural del siguiente año.
d) Suponga que de hecho aumentan los precios del acero en el siguiente año ¿Cuál es la probabilidad de que haya un incremento en las inversiones de capital?
a) Utilizar l e l’ para indicar que se dan incrementos y que no se dan incrementos en las inversiones de capital y utilizando A y A’ para aumentos y no aumentos en los precios del acero, construya un diagrama de árbol para esta situación que implica eventos dependientes.
b) Cuál es la probabilidad de que no aumenten los precios del acero aún cuando haya un incremento en las inversiones del capital
c) Cuál es la probabilidad global (no condicional) de un aumento en el precio del acero estructural del siguiente año.
d) Suponga que de hecho aumentan los precios del acero en el siguiente año ¿Cuál es la probabilidad de que haya un incremento en las inversiones de capital?
Supóngase que existen 2 urnas U1 y U2. La urna 1 tiene 8 bolas rojas y 2 verdes, en tanto una urna 2 tiene 4 bolas rojas y 6 verdes. Si se elije una urna al azar y después se selecciona al azar una bola de esa urna:
a) ¿Cuál será la probabilidad de elegir cualquiera de las 2 urnas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione de la Urna 1 una bola que es verde?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione de la Urna 1 una bola que es verde?
a) ¿Cuál será la probabilidad de elegir cualquiera de las 2 urnas?
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