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TEORíA PRELIMINAR

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by

Juan Pablo

on 25 September 2013

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Transcript of TEORíA PRELIMINAR

TEORíA PRELIMINAR
En la sección de Sistemas de ecuaciones lineales. Manejamos ecuaciones diferenciales de la siguiente manera:


Aquí restringiremos el estudio a los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden, como el siguiente:

En este capítulo emplearemos mucho la notación matricial y las propiedades de las matrices.
Este sistema de n ecuaciones de primer orden se llama sistema de orden n.
En donde las P
ij
representaban polinomios de diversos grados en el operador diferencial D.
Sistemas lineales Si cada una de las funciones gl, g2, . . . , gn es lineal en las variables dependientes ~1, ~2, . . ., Xi, entonces las ecuaciones (2) son un sistema de ecuaciones lineales de primer orden. Ese sistema tiene la forma normal o estándar
Un sistema con la forma de las ecuaciones (3) se denomina sistema lineal de orden n, o
simplemente sistema lineal. Se supone que los coeficientes, a
ij
, y las funciones, f
i
, son
continuos en un intervalo común, I. Cuando f
i
(t) = 0, i = 1,2, . . ., n, se dice que el sistema lineal
es homogéneo; en caso contrario, es no homogéneo.
Forma matricial de un sistema lineal Si X, A(t) y F(t) representan las matrices
respectivas
El sistema (3) de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden se puede expresar como
sigue:
O simplemente como:
TEOREMA 8.1
Existencia de una solución única
Sean los elementos de las matrices A(t) = F(t) funciones continuas en un intervalo común de I que contienen al punto t0. Existe una ecuación única del problema del valor inicial, en el intervalo.
TEOREMA 8.2
Principio de superposición
Sean X1, X2, ..., Xn, un conjunto de vectores solución homogéneo con la formula



en un intervalo I. la combinación lineal

X= c1X1+c2X2+....+cnXn
TEOREMA 8.3
Criterio para soluciones linealmente independientes

Sean
x11 x12 xn1
X1= (x21) , X2= (x22) , ... Xn=(xn2)
... ... ...
xn1 xn2 xnn

Y sean n vectores solución del sistema homogéneo, ecuación:


en un intervalo I. El conjunto de vectores es linealmente independiente en I si y solo si el wroskiano


W(X1, X2, ..., Xn)=
x11 ... x12 ... xn1
[ x21 ... x22 ... xn2 ]
... ... ... ... ...
xn1 ... xn2 ... xnn
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