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maximos , minimos , cavidad y puntos de inflexion

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Transcript of maximos , minimos , cavidad y puntos de inflexion

Los puntos de inflexión
están caracterizados
por: Maximos, Minimos, Cavidad y Puntos de inflexion métodos para calcular máximos Y mínimos de una función Concavidad El punto que, en una función continua, separa la parte convexa de la cóncava, se llama punto de inflexión de la función. En ellos la función no es cóncava ni convexa sino que hay cambio de concavidad a convexidad o al revés. concavidad negativa presenta concavidad negativa en x=a si existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a f(x) < f'(a)(x-a) + f(a). APLICACIÓN DE MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS APLICACIÓN DE MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS APLICACIÓN DE MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS Concavidad y puntos de inflexión Nota: Máximos y Mínimos concavidad La función presenta concavidad positiva en el punto a si, en un entorno reducido de a, la gráfica de f está "por encima" de la recta tangente a f(x) en el punto a. Entre los valores q puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el mas grande y otro que sea el mas pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos. Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto critico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo. Por el contrario, si una función continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto critico mínimo relativo, o simplemente minimo Una función puede tener uno, ninguno o varios puntos críticos.
Curva sin máximos ni mínimos función sin máximos ni mínimos. En los puntos críticos máximos, las funciones tienen un valor mayor que en su entorno, mientras que en los mínimos, el valor de la función es menor que en su entorno En un punto critico maximo relativo, al pasar la funcion de creciente a decreciente, su derivada pasa de positiva a negativa. En un punto critico minimo relativo, la funcion deja de decrecer y empieza a ser creciente, por tanto, su derivada pasa de negativa a positiva Para conocer las coordenadas de los puntos críticos máximos y mínimos relativos en una función, analizaremos dos mecanismos: CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA, UTILIZADO PARA UNA FUNCION CONTINUA Y SU PRIMERA DERIVADA TAMBIEN CONTINUA.
+obtener la primera derivada.
i+igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.
+El valor o valores obtenidos para la variable, son donde pudiera haber máximos o mínimos en la función.
+se asignan valores próximos (menores y mayores respectivamente) a la variable independiente y se sustituyen en la derivada. Se observan los resultados; cuando estos pasan de positivos a negativos, se trata de un punto máximo; si pasa de negativo a positivo el punto crítico es mínimo.
+Cuando existen dos o más resultados para la variable independiente, debe tener la precaución de utilizar valores cercanos a cada uno y a la vez distante de los demás, a fin de evitar errores al interpretar los resultados.
+sustituir en la función original (Y) el o los valores de la variable independiente (X) para los cuales hubo cambio de signo. Cada una de las parejas de datos así obtenidas, corresponde a las coordenadas de un punto crítico. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Este método es más utilizado que el anterior, aunque no siempre es más sencillo. Se basa en que en un máximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en consecuencia, su derivada será negativa; mientras que en un punto mínimo relativo, la concavidad es hacia arriba y la segunda derivada es positiva.
+Este procedimiento consiste en:
+calcular la primera y segunda derivadas
+igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.
+sustituir las raíces (el valor o valores de X) de la primera derivada en la segunda derivada.
+Si el resultado es positivo, hay mínimo. Si la segunda derivada resulta negativa, hay un máximo.
+Si el resultado fuera cero, no se puede afirmar si hay o no un máximo o mínimo.
+sustituir los valores de las raíces de la primera derivada en la función original, para conocer las coordenadas de los puntos máximo y mínimo. Existen muchos campos del conocimiento (aritmética, geometría, economía, física, biología, industria, etc.) donde se presentan problemas que se resuelven aplicando los conceptos de máximos y mínimos del cálculo diferencial.



Para resolver los problemas a partir de los datos existentes, es importante en primer lugar, encontrar la expresión matemática de la función que represente el problema y cuyos valores máximos o mínimos se desean obtener. Si la expresión matemática contiene varias variables, deberá plantearse en función de una sola; las condiciones del problema deben aportar suficientes relaciones entre las variables, para poderse expresar a todas ellas en función de una sola variable independiente.



Una vez que se tenga la función en la forma Y=f(X), se aplican las normas ya estudiadas. En muchos problemas prácticos resulta muy sencillo identificar cuales valores críticos dan máximos o mínimos; y en consecuencia, ya no será necesario aplicar el procedimiento completo.
Es conveniente construir la grafica que represente la función en cuestión, a fin de verificar los resultados obtenidos. Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A, , si es creciente sobre A. Si es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo. Clasificación de los puntos de inflexion: Sea la ecuación de una función.
Si no existe, y la derivada cambia de signo
al pasar
por el valor de x=a, entonces, el punto

de la función
de abscisa x=a es un punto de inflexión. teorema punto de inflexión Los puntos de inflexión donde la función es derivable, tienen la característica de tener una recta tangente que cruza la gráfica de f. presenta concavidad positiva en x=a si existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a f(x) > f'(a)(x-a) + f(a). concavidad La función presenta concavidad negativa en el punto a si, en un entorno reducido de a, la gráfica de f está "por debajo" de la recta tangente a f(x) en el punto a.
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