Loading presentation...

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Make your likes visible on Facebook?

Connect your Facebook account to Prezi and let your likes appear on your timeline.
You can change this under Settings & Account at any time.

No, thanks

Untitled Prezi

No description
by

Jae Yeong Choi

on 13 April 2013

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of Untitled Prezi

음수단원 지도
<형식적, 구조적 접근방식> But 형식적 · 구조적 접근방식 일상언어로만

(수학적 사고의 진보x) 다. 수업의 이해 라. 공학적 도구의 활용 다른 영역(함수의 그래프, 극한의 직관적 이해)에 비해 수와 연산 영역에서 활용기회↓

But, 계산을 신속! 정확! 어느 정도 활용가능 Ex ) 제곱근의 계산 √ 2 의 값을 추측하는 활동 2. 음수의 사칙연산을 설명하는 다양한 모델을 조사하거나 만들어보고, 각각의 모델이 갖는 한계에 대해서 생각해보자.
3. 음수의 연산 이외에 형식불역의 원리로 이해될 수 있는 수학적 개념의 확장 사례를 조사해보자. 가. 교육과정의 이해 수와 연산 교수 · 학습 실제 나. 교과서의 이해 a/(-b) = (-a)/b · 유리수?

- 7차 교육과정
-> 양(음)의 유리수 : 분모, 분자가 모두 자연수인
분수에 + ( - )를 붙인 수

-개정에 따른 교육과정 : 분모(0이 아닌)와 분자가
모두 정수인 분수 분수로 나타낼 수 없는 수 1. 유리수를 소수로 나타내면 유한소수
또는 무한소수의 형태이다.
2. 유한소수로 나타낼 수 없는 모든 유리수는
항상 순환소수로 나타낼 수 있다.
3. 역으로, 유한소수 또는 순환소수는 항상
분수로 나타낼 수 있다. 무리수 = 유한소수 or 순환소수 유리수 = 순환소수로 나타낼 수 없는 무한소수 무리수 = √ 2 무리수 0.10110111011110… : 무리수 : 무리수 ? 다. 정수와 유리수 3/(-4) (-3)/4 외연적 정의
내연적 정의 자연수 기수
Cardinal 서수
Ordinal Peano
공리계 새수학 Rusell
문제점 수개념 획득 2) 실수한과 관련된 문제 1)자연수 개념과 집합론 가능적 실 무한 0.999… = 1 NCTM √ 2 =1.414… 유리수의 코시수열 Dedekind의
절단 가. 수와 연산 지도의 의의 1 -> Ⅰ , ㅡ , 하나, 일, 첫 나. 수 개념의 발생 1) 수 개념은 어디에서 추상되는가? 추상화란? 수 3 ●●● ●●●●●● ●● ●● ●● Dewey 활동으로 부터 Piaget 사물에 대한
인간의 행동 경험적
추상화 반영적
추상화 Piaget의 이론에서 ‘활동’이 중요한 의미를 갖는 것은 그가 수학적 개념을 ‘조작’
‘조작’은 ‘내면화된 가역적 행동’을 의미수
수학적 개념은 바로 ‘행동의 일반적 조정에 대한 반영적 추상화의 결과로 구성되는 조작’ 3) 수 개념의 조작적 구성 조작과 조작이 되지 못한 행동에는 어떤 차이가 있을까? 2) 수 개념의 원천이 되는 활동 수 개념이 사물 자체의 고유한 속성이 아니라 사물을 다루는 인간의 능동적인 활동의 산물이라면, 수 개념을 발생하게 하는 활동은 어떤 활동이며, 그것을 촉발시키고 지속, 발달 시키는 원천은 무엇인가? 1단계 : 모호한 전체(명확히 규정될 필요가 있는 한정된 크기나 양)

2단계 : 전체를 (명확하게) 구성하는 데 도움이 되는 부분 (단위)

3단계 : 명확한 전체를 구성하는 측정의 과정 (수 값의 결정) ‘구성적 활동의 방법’이라는 산술 지도 방법을 제시 =>Dewey의 산술 교수법은 수 개념을 처음부터 완전히 추상화된 수학적 대상으로 제시하는 것이 아니라 측정 ‘활동’을 통하여 반성되고 성장되는 것으로 지도되어야 한다. 4) 유리수 개념의 지도 구조적인

동치관계 유리수 개념의
발생 & 맥락 등분할된
부분과 전체 분배 결과의 몫 ax = b 비율 a : b = c : d a : c = b : d 연산자 x → x*(a/b) 두 집합의 대등성 여부를 일대일 대응에 의해 판단할 수 있다. 두 집합의 대등성이 원소의 배열과 무관하게 보존된다. 합성가능성 가역성 결합법칙 일반 항등 조작 특수 항등 조작 구체적 조작의 체계를 T라고 하면 A+A'도 T에 속한다. A+A'=B에 대하여 B+(-A')=A, 역조작 -A가 존재한다. (A+A')+B'=A+(A'+B') A+O=A인 항등조작 O가 T에 속한다. A+A=A이고 B+A=B
즉, 각 조작에 대하여 더하여도 결과가 변하지 않는 조작이 존재한다. 수 개념 - 수학을 공부하는 가장 기본적인
수단인 동시에 탐구의 대상

- 발생적인 관점을 바탕으로
수와 연산을 지도하는데 고려 할 수 있는
교수, 학습 이론을 알아보자. ·음수의 지도를 위한 구체적인 모델들이 음수의 대수적 구조를 설명하는 데 한계가 있다는 것의 대안 ★형식 불역의 원리 적용, 처음부터 형식적 도입을 주장하는 Freudental의 관점 반영 이러한 접근방식만이
정답은 아니다 음수의
사칙연산 예1) □+2=0이 되는 □의 값을 -2라 한다. 이와 같은 수를 음의 정수라 부른다. ↓ 일반화 예2) x+a=0이 되는 x의 값을 -a라 한다. 각a에 대하여 -a는 유일하게 정해지며, -a를 a의 덧셈에 대한 역원이라고 한다. 덧셈 2+(-3)=□라 하자.
1+2+(-3)=3+(-3)=0이므로 1+□=0이다.
따라서 □=-1, 곧 2+(-3)=-1이다. 뺄셈
예를 들면, 다음과 같이 계산할 수 있다.
3-(-2)=3+(-(-2))=3+2=5
(-4)-5=(-4)+(-5)=-9
(-2)-(-7)=(-2)=(-(-7))=(-2)+7=5 정수의 뺄셈은 빼고자 하는 수의 반대수를 더하는 것과 같다. 곱셈 2x(-3)=□라 하자.
2x(3+(-3))=2x0=0이므로 (2x3)+(2x(-3))=0,
즉, 6+□=0이다. 따라서 □=-6, 곧 2x(-3)=-6이다. 곱셈에 대한 이러한 규칙들이 파악되면 다음과 같이 정리가능
정수의 곱셈에서는 다음과 같은 규칙이 성립한다.
(양수)x(양수)=(양수), (양수)x(음수)=(음수)
(음수)x(양수)=(음수), (음수)x(음수)=(양수) 나눗셈 나눗셈의 경우는 곱셈의 역연산으로서 설명가능
5x3=15이면 15÷3=5
(+2)x(+3)=(+6)에서 (+6)÷(+3)=(+2)
(-2)x(-3)=(+6)에서 (+6)÷(-3)=(-2)
(-2)x(+3)=(-6)에서 (-6)÷(+3)=(-2)
(+2)x(-3)=(-6)에서 (-6)÷(-3)=(+2) 정수의 나눗셈에서도 곱셈과 같은 다음의 규칙이 성립한다.
(양수)÷(양수)=(양수), (양수)÷(음수)=(음수)
(음수)÷(양수)=(음수), (음수)÷(음수)=(양수) 추상적 대수만의 학습

(교수학적 단절의 원인) 진정한 음수 개념형성을 위해

"균형 잡힌 관점이 요구” + → ※ 수와 연산 영역에서 공학적 도구의 활용은 다음과 같은 측면에서 검토할 필요

①길고 복잡한 계산을 계산기에 맡김으로써 학생들을 개념 학습에 더욱 집중
②계산기의 즉각적인 피드백을 활용하여 학생들이 자신의 추측을 정당화
③상황과 문제를 더 복잡하고 실제적인 방식으로 모델화 경제성,
휴대 가능성,
조작의 간편성 생각해 볼 문제 저 수 양의 정수 0 음의 정수 Diophantus,
Brahmagupta,
al-Khwarizmi,
Bhaskara,
Fibonacci,
Cardano,
Descartes,
Maclaurin ① 작은 수에서 큰 수를 빼는 것이 어떻게 가능한가?
② -3은 2보다 작은데 (-3)의 제곱은 2의 제곱보다 크다. 작은 수의 제곱이 어떻게 큰 수의 제곱보다 클 수 있는가?
③ (-4)(-5)=20임을 인정하면 1:-4=-5:20이 된다. 더 큰 수와 더 작은 수의 관계가 어떻게 더 작은 수와 더 큰 수의 관계와 같을 수 있는가?
④ (-4)×3=(-4)+(-4)+(-4)임은 직관적으로 인식할 수 있다. 예를 들면 4달러를 세 번 빌린 것으로 생각하면 결국 12달러를 빌린 것이다. 그러나 4×(-3)은 직관적으로 아무 의미가 없다. 19세기 독일의 Hankel은 음수가 어떤 구체적이고 실제적인 것을 나타낸다는 관점을 버리고 형식적인 구조만으로 음수를 이해하였고, 음수가 대수적으로 모순이 없다는 것을 보였다. 이렇게 함으로써 음수는 독립된 개념으로 인정받을 수 있게 되었다. 1. 셈돌 모델 장점 : 덧셈과 뺄셈이 비교적 자연스럽게 설명된다. 자연수의 개념을 물건의 개수와 관련짓는데 익숙한 학생들에게 무리 없이 음수의 덧셈과 뺄셈을 지도할 수 있는 모델.
단점 : 곱셈과 나눗셈을 설명하는 데에는 한계를 갖는다. 두 가지 색의 돌을 이용하여 정수를 나타내고 연산을 정의하는 모델 2. 지렛대 모델 정수를 지레에서의 힘과 거리로 표현한 모델. 힘과 거리의 곱은 모멘트가 되며 모멘트의 합이 0이 되면 지렛대는 평형상태를 이룬다는 것을 이용. 장점 : (-3)×(-6)과 같이 음의 정수를 곱하면 마이너스 부호들은 서로 상쇄된다는 것을 자연스럽게 보여준다.
단점 : 계산의 합이 0이 되는 상태에서 평형만 시각적으로 파악이 가능하므로 등식의 좌변, 우변의 개념과 관련되고 모멘트개념 역시 높은 수준의 개념이므로 쉽게 지도되고 이해하기 힘들다. 3. 수직선 모델 수평으로 직선을 그려서 기준점 0을 임의로 잡고 한쪽 방향에 일정한 간격으로 양수를 배열하고 반대쪽 방향으로 음수를 같은 간격으로 배열한 모델 장점 : 음수를 처음 학습할 때 겪는 어려움은 수가 ‘크기’를 나타낸다는 관념에 기인한 것인데 수직선 모델에서는 ‘크기’ 외에도 ‘방향’이라는 요소가 음수 개념에 포함되어야 한다는 것을 잘 보여준다. 수직선상에서 정수가 배열되는 방식은 ‘순서 구조’를 그대로 유지하고 있다. 다른 어떤 모델보다 두 정수 사이의 대소 관계를 명확하게 잘 드러낸다.
단점 : 음의 부호가 다중적인 의미를 갖는다.(왼쪽을 향한다, 반대 방향, 뺄셈) 4. 우체부 모델 어음(양수)과 고지서(음수)를 배달하는 우체부를 등장시키는 모델 장점 : 학생들에게 재미있는 이야기로 음수를 도입하며 초등학생에게도 음수를 가르칠 수 있게 한다. 곱셈까지 설명 가능하다. 일상적으로 일어나는 현상에서 음수 개념의 필요성을 인식하게 된다. 실제적인 맥락에서 음수의 의미를 해석할 수 있다.
단점 : 고지서나 어음이라는 어려운 용어로 학생들에게 오히려 혼란을 가증시킬 수 있다. 나눗셈을 자연스럽게 설명할 수 없다. 음수 지도 모델 1. 셈돌 모델
2. 지렛대 모델
3. 수직선 모델
4. 우체부 모델 개념 : 어떤 대수적 또는 기하적 구조를 확장할 때에는 기존의 체계에서 인정된 성질이 유지되도록 해야 한다는 것을 의미
음수 지도에서 형식 불역의 원리 : 음수는 방정식과 그 해집합의 구조를 완전하게 하려는 형식적인 요구로부터 생겨난 것이다. 그렇다면 구체적인 모델을 통한 음수 지도가 아니라 자연수 체계에서 확장된 순수한 형식 체계로서의 음수를 지도하는 것이 필요하다. 이러한 수 체계의 확장에서 하나의 원칙이 되는 것이 ‘형식 불역의 원리’이다. 형식불역의 원리 Thank you 6조 수와 연산 Presentation 6조 수와 연산 좌표평면 모델 수직선 모델 수직선 모델 셈돌 모델 조밀성 : 임의의 실수 사이에 무수히 많은 유리수가 있다 무리수
Full transcript